简便运算5页(裂项法)
要求加薪-助学金申请书范文
分数简便运算——裂项法
专题简析：
前面我们介绍了运用定律和
性质以及数的特点进行巧算和简算的一些方法，下面再向同
学们介绍怎样用拆分法（也叫裂项法、拆项法
）进行分数的简便运算。
运用拆分法解题主要是使拆开后的一些分数互相抵消，达到简化运算的目的。
一般地，
1111111
形如 的分数可以拆成 － ；形如 的分数可以拆成 ×（ －
），
a×(a+1)aa+1a×（a+n）naa+n
a+b11
形如
的分数可以拆成 + 等等。同学们可以结合例题思考其中的规律。
a×bab
例题1。
计算：
1
1×2
+
111
2×3
+
3×4
+…..+
99×100
原式＝（1－
1
2
）+（
1
2
－
1
3
）+（
1
3
－
1
4
）+…..+
＝1－
1
2
+
1
2
－
1
3
+
1
3
－
111
4
+…..+
99
－
100
＝1－
1
100
＝
99
100
练习1
计算下面各题：
1.
1
4×5
+
1
5×6
+
1
6×7
+…..+
1
39×40
2.
1
10×11
+
1
11×12
+
1
12×13
+
1
13×14
+
1
14×15
3.
1
2
+
1
6
+
1
12
+
1
20
+
11
30
+
42
4.
1－
111
6
+
42
+
1
56
+
72
1
99
－
1
100
）
1
（
例题2。
计算：
1
2×4
+
1
4×6
+
1
6×8
+…..+
1
48×50
原式＝（
22221
2×4
+
4×6
+
6×8
+…..+
48×50
）×
2
＝【（
111111
2
－
4
）+（
4
－
6
）+（
6
－
8
）…..+
（
1
48
－
11
50
）】×
2
＝【
111
2
－
50
】×
2
＝
6
25
练习2
计算下面各题：
1.
1
3×5
+
1
5×7
+
1
7×9
+…..+
1
97×99
2.
1
1×4
+
1
4×7
+
1
7×10
+…..+
1
97×100
3.
1111
1×5
+
5×9
+
9×13
+…..+
33×37
4.
1
4
+
1111
28
+
70
+
130
+
208
2
例题3。
计算：1
1
3
－
7
12
+
9
20
－
11
30
+
1315
42
－
56
原式＝1
1
3
－（
1
3
+
1
4
）+（
1
4
+
1
5
）－（
1
5
+
1
6
）+（
1
6
+
1
7
）－（
1
7
+
1
8
）
＝1
1
3
－
1111111111
3
－
4
+
4
+
5
－
5
－
6
+
6
+
7
－
7
－
8
＝1－
1
8
＝
7
8
练习3
计算下面各题：
1. 1
15
2
+
6
－
7911
12
+
20
－
30
2. 1
1
4
－
9
20
+
111315
30
－
42
+
56
3.
1998
1×2
+
1998
2×3
+
1998
3×4
+
1998
4×5
+
1998
5×6
4. 6×
7
12
－
9
20
×6+
11
30
×6
3
例题4。
计算：
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
1
32
+
1
64
原式＝（
1
2
+
1111111
4
+
8
+
16
+
32
+
64
+
64
）－
64
＝1－
1
64
＝
63
64
练习4
计算下面各题：
1.
1
2
+
1
4
+
1
8
+………+
1
256
2.
1
2
+
1
4
+
1
1
8
+………+
512
3.
1
2
+
11
1
4
+
8
+………+
1024
4.
9.6+99.6+999.6+9999.6+99999.6
4
例题5。
111
计算：（1+ + + ）×（ + + +
）－（1+ + + + ）×（ + + ）
23423452345234
1111111
设 + + ＝a
+ + + ＝b
2342345
原式＝（1+a）×b－（1+b）×a
＝（b
+ab）－（a+ab）
＝ b－a
1111111
＝（ + + + ）－（ + + ）
2345234
1
＝
5
练习5
11111
1. （ + + + ）×（ + + + ）－（ + +
+ + ）×（ + + ）
2345345623456345
11111
2. （ + + + ）×（ +
+ + ）－（ + + + + ）×（ + + ）
8911
1111111111
3. （1+ + +
）×（ + + + ）－（1+ + +
02001
1111
+ ）×（ + +
）
2001
5
答案：
9168
2、 ＝ 3、 ＝
4、 ＝
403079
163395
练2 1、 ＝ 2、
＝ 3、 ＝ 4、 ＝
991003716
51
练3
1、 ＝1 2、 ＝1 3、 ＝1665 4、 ＝3
68
255242
练4 1、 ＝ 2、 ＝ 3、
＝111108
256243
111
练5 1、 ＝ 2、 ＝
3、 ＝
练1 1、 ＝
12962002
6