2015一本分数线-光棍节活动策划

* *
第5讲 简便计算（四）—— 列项相消法（拆分法）
一：裂项相消法（拆分法）：
把一个分数拆成两个或两个以上分数相减或相
加的形式，然后再进行计算的方法叫做裂项相消法，也叫拆分法。

二：列项相消公式
（1）
111


n(n1)nn1
k11


n

nk

nnk
（2）
（3）
1111
()

n(nk)nnkk

1111
（4）






2

n
n1

n2


nn1n1n2


（5）
ab11


abab
a
2
b
2
ba

（6）
abab
三：数列
（
1）定义：按一定的次序排列的一列数叫做数列。
(2)数列中的每一个数叫做这个数列的项。依次叫做这个数列的第一项（首项）、第二
项、、、、、、第n项（末项）。
（3）项数：一个数列中有几个数字，项数就是几。
四：等差数列
（1）定义：如果 一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这
个数列就叫做等差数列。而这个常数 叫做等差数列的公差。
（2）等差数列的和=
（首项+末项）×项数÷2

* *
（
3）等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1
（4）等差数列的末项=首项+公差×（项数-1）


三：经典例题
例1、
1111111


122334455 66778
（例1、例2、例3的运算符号都是加号相连，分母都可以分解为两个连续正整数的积 可用
公式
111

）
n(n1)nn1


1111111
例2、


261220304256








111111111
例3、
1+3+5+7+9+11+13+15+17 +19

612210

* *






例4、










11111
11111
例5、

例6、
1+3+5+7+9

315356399
315356399
111111


133557799111113

* *
例7、
11111

++++
144771010131316



例8、
222
+++
133557
+
22

+
2001200320032005





357937791105
例9、
-+-+-+

例10
、


26122304256
（例9和例 10的运算符号是一减一加，分母能分解成两个连续数相乘，分子恰好是这两个
数相加的和。可用公式< br>ab11

）
abab



< br>151119
例11、
++++
261220

970198 99

+
97029900
（观察到每个分数分母都比分子多1，分解分母， 可以看出分母都是两个两个连续的数相乘
的形式，想方设法将每个分数的分子都变为1，可用列项相消法 巧算。
）

* *





7391
例12、
+++++++

6122
（观察到每个分数分子都比分母多1，分解分母，可以看出分母都是两个两个连续的数相乘
的形 式，想方设法将每个分数的分子都变为1，可用列项相消法巧算。
）










例13、
+
10

13355779911
2< br>2
+
4
2
+
6
2
+
8
22

* *



例14、
11111


1232343454 56567
（观察到分子都是1，分母是连续的三个数相乘，所以可以用公式
1111



）


n
n1

n2


nn1n1n2
 

2













1
2
2
2
2
2
3
2
3
2
4
2

例 15、
122334
2001
2
2002
2

20012002
a
2
b
2
ba
< br>列项凑整，但不能相消。（观察此题可用公式）
abab

* *






四：考题精选
111111111
1、


612210








1111111111
2、
135791113151719
2612210

* *



3、







4、









1111

244668810

1
19982000
2222

244668810
< br>2

98100
1111
5、
1234
3 153563
10
1

399

* *










579111315
6、
1-+-+-+

61220304256




7、
3549637791105


61220304256





8、
11

234345

1

101112

* *









9、









10、


111111


13535757979119 1113111315
111

121231234

1

1232011

* *







1
2
2
2
2
2
3
2
3
2
4
2

11、
122334
1999
2
2000
2


19992000

* *