广东松山职业学院-五年级语文上册教案

奥 数 专 题 同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，
要先通分 化成同分母分数后再计算。
(一)阅读思考
11 1
例如
丄丄 丄
，这里分母
3
、
4
是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的
3 4 12
乘积，把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式：
即］二 _______ 」
n n 1 n(n 1)
卡 1 1 1
或
n(n 1) n n 1
F
面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题
【典型例题】
例
1.
计算:

1 1 1 1
1994 1995 1985 1986 1986 1987 1987 1988
分析与解答：
上面
12
个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变 为
0
，这一来问题解起来就十分方便了。

像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其 中
一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。
111 1
例
2.
计算：_ 一 - …
1 1 2 1 2 3
——
1 2 3
…
100
公式的变式
当n分别取
1
,
2
,
3
,……，
100
时，就有
例
3.
设符号()、
＜＞
代表不同的自然数，问算式
I II III
—
—中这两个
6 ()
符号所代表的数的数的积是多少？
1 1 1 1 1 1
1
分析与解：减法是加法的逆运算，
—
—就变成丄 —
6() 6()
与前面提到的等式
—
— 相联系，便可找到一组解，即
n n 1 n(n 1)
1
—

I 1
丄
6 7 42
另外一种方法
III
设n
、
x
、
y都是自然数，且
x y
，当-
- 一
时，利用上面的变加为减的
想法，得算式
n x y
nx

1
这里
丄
是个单位分数，所以x n—定大于零，假定
x n t 0
,则x n t ,
y
y 代入上式得击*，即




又因为
y
是自然数，所以t 一定能整除
个
n
4 5
，即t是
n
2
的约数，有n个t就有n


y
，这一来我们便得到一个比



x nt ,






上面指出当


2

6 n




J
t是
n
的约数时，一定有丄丄丄，即
n x y
2
2
+ n
nt , y — t
t是
n
的约数时，一定有-
n
2
丄，这
y
36,
36
共有
1
,
2
,
3
,
4
,
6
,
9
,
12
,
18
,
36
九个约
数。




















1
时,
42
2
时,
24
3
时,
18
4
时,
10
,
12
,
15
,
15
6
时,
10
9
时,

10
4

更广泛的等式，即当
n(n 1)

当 t 12 时，x 18 ,
y 9
当 t 18 时，x 24 ,
y 8
当 t 36 时，x 42 ,
y 7
故（）和
v＞
所代表的两数和分别为
49
,
32
,
27
,
25
。
【模拟试题】（答题时间：
20
分钟）
.
尝试体验:
1.
计算:

2

.
计算：31
1111111111
10 15 21 28 36 45 55 66 78
111
3.
已知x
、
y是互不相等的自然数，当 丄 丄丄时，求
x y
18 x y

1
91
105

1
120

【试题答案】
1.
计算：
1
1 1
2.
计算：-
120
3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105
3.
已知x
、
y是互不相等的自然数，当 丄 --时，求
x y
。

18 x y
x y
的值为：75
，
81
，
96
，
121
，
147
，
200
，
361
。
1 1 1
因为
18
的约数有
1,2, 3, 6, 9, 18,
共
6
个，所以有一 ---------
18 18 (1 1)
还有别的解法

1 1
36 36