高一数学数列的裂项法 新课标 必修5
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高数学数列的裂项法一
（一）
同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母分数后再计算。
（一）阅读思考
例如
，这里分母3、4是相邻的两个自然数，公分母正好
是它们的乘积，把这个例题推广到一般情况，
就有一个很有用的等式：
即
或
下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。
【典型例题】
例1.
计算：
分析与解答：
1
上面12个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好
相互抵消变为0，这一来问题解起来就十分方便
了。
像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以相
互抵消，从而使
计算简化的方法，我们称为裂项法。
例2. 计算：
公式的变式
当
分别取1，2，3，„„，100时，就有
2
例3. 设符号（ ）、<
>代表不同的自然数，问算式
是多少？
中这两个符号所代表的数的数的积
分析与解：减法是加法的逆运算，
就变成
，与前面提到的等式
相联系，便可找到一组解，即
另外一种方法
设
都是自然数，且
，当
时，利用上面的变加为减的想法，得算式
。
这里
是个单位分数，所以一定大于零，假定，则，代入上式得，即
。
又因为
是自然数，所以一定能整除，即是的约数，有个就有个，这一来我们便得到一个比
更广泛的等式，即当，，是的约数时，一定有，即
上面指出当，，是的约
数时，一定有，这里，36共有1，2，
3，4，6，9，12，18，36九个约数。
当
当
当
当
当
时，
时，
时，
时，
时，
，
，
，
，
，
当
当
当
当
时，
时，
时，
时，
，
，
，
，
故（
）和< >所代表的两数和分别为49，32，27，25。
3
【模拟试题】
二.尝试体验：
1.
计算：
2. 计算：
3.
已知
是互不相等的自然数，当
时，求
。
【试题答案】
1. 计算：
2. 计算：
4
3. 已知
是互不相等的自然数，当
时，求
。
的值为：75，81，96，121，147，
200，361。
因为18的约数有1，2，3，6，9，18，共6个，所以有
（二）
前一节我们已经讲过，利用等式
，采用“裂项法”能很快求出
这类问题的结果来，把这一等式略加推广便得到另一等式：
利用这一等式来解一些分数的计算问题。
【典型例题】
，现
例1.
分析与解：此题如按异分母加法法则来求和，计算量太大，下面用裂项法试一试。
下面我们用
，现在给
、
一些具体的值，看看有什么结果。
当
时，有
当
时，有
5
当
„„
时，有
当
时，有
当
时，有
上面这998个等式左边的分数，其分母分别与题目中各
加数的分母一样，只是分子是2不是1，但是很容易将题目
中各数的分子变为2，例如
，„„，这样采用裂项法也能较快求出结果来。
因为
，„„，
，
所以
例2. 同样可得
因为
一般地，因为
所以
6
这里
是任意一个自然数。
利用这一等式，采用裂项法便能较快地求出例2的结
果。
例3. 计算：
分析与解：
而
即
连续使用上面两个等式，便可求出结果来。
7
【模拟试题】（答题时间：15分钟）
二. 尝试体验
1. 求和：
2. 求和：
3. 求和：
【试题答案】
8
1. 求和：
2. 求和：
3. 求和：
2在各项都为正数的等比数列｛a
n
｝中，首项a
1
=3
，前三项和为21，则a
3
+ a
4
+
a
5
=(C )
( A ) 33 ( B
) 72 ( C ) 84 ( D )189
3.设等比
数列
{a
n
}
的前n项和为S
n
，若
S
6
:S
3
1:2
，则
S
9
:S
3
（ C ）
A．1:2 B．2:3 C．3:4 D．1:3
4. 已知S
n
是等比数列
{a
n
}的前n项和,a
5
2,a
8
16,等S
6
等于 （ A ）
A．
2117
8
B．－
21
8
C．
8
D．－
17
8
5. 在
827
3
和<
br>2
之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为_216____
8．等比数列{a
n
}的前n项之和为
S
n
，如果
S3
:S
2
3:2
，则公比q的值是（ ）
A．1
B．
11
1
2
C．1或
2
D．
1
或
2
9．如果a、x
xx
1
、x
2
、b成等差数列，a、y<
br>1
、y
2
、b成等比数列，那么
12
y
等于（ D
）
1
y
2
A．
ab
ab
B．
ba
ab
C．
abab
ab
D．
ab
10．已知{a
n
}是等比数列，且
a
n
0
，
a
2
a
4
2a
3
a
5
a
4a
6
25
，,那么
a
3
a
5
的值
等于（A ）
A．5 B．
10
C．15 D．20
9