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05 分数的简便运算（二）
学习目标:
1、使学生够熟练掌握应用裂项法给分数求和。
2、让学生能够准确辨认出这类问题（应用裂项法求和）的形式,即什么时候用。
3、掌握如何拆项，能判断所处题目的运用的形式，并用其对应的方法进行解答，
即怎么用。
教学重点:
经历裂项的探究过程，观察裂项的规律。
教学难点：
能判断所处题目的运用的形式，并用其对应的方法进行解答.
教学过程：
一、情景体验
1、创设情境
师：同学们听说过阿凡提吗？他是个非常聪明的人，有 一天，阿凡提骑着自己的
小毛驴来到田边。他四处欣赏着美丽的田园风光。突然，听到有人叫他，回头一
看，原来是两位给地主巴依老爷干活的佃农。阿凡提忙问：“两位朋友有什么事
吗？”其中一位 农民说：“阿凡提，我们遇到一个难题，想来请教你。”然后这
位农民就把这个难题的由来讲了一遍。原 来，这两位农民被地主巴依老爷雇佣干
活，眼看到发工钱的时候了，地主却打起了坏主意。他和账房先生 一计算，要给
这两位农民各20块银元。地主心里非常不乐意，仿佛拿走他的钱就像割他的肉
一 样。于是和老婆一起想出了个主意，要两个农民明天早晨割
111111

亩 麦子，一点不能多，一点也不能少。明早八点之前，
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巴依老爷要亲自检查 。如果严格按要求完成了任务，就发工钱，而且还给回家的
路费。如果完不成任务，工钱就一分不给。两 位农民没有上过学，自然不知道
111111

亩麦子到底是多少，正在发愁 的时候，正好碰见了阿凡
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提，才有了开头那一幕。
阿凡提听完，笑了笑说：“两位朋友不用担心，你们只要按我说的去办，保

1

证能拿到工钱，而且还能赚取路费。”阿凡提讲完，把两位农民叫到眼前。悄 悄
地把解难题的办法告诉了两位农民。两位农民听了以后，非常高兴，对阿凡提千
恩万谢。
第二天早晨，巴依老爷和老婆一起来到地里检查两位农民任务完成的情况。
巴依老爷以为两 位农民这次肯定一分钱都拿不到，所以脸上带着得意的笑容。可
是走到地边却发现麦子正好割了
1
亩。两位农民说：“老爷，你的任务我们已经
7
按时完成了，你也该给我们工钱了吧 ！”巴依老爷没办法，只得叫账房先生给了
111111
农民工钱。同学们，你知道
 
有什么简便方法计算吗？我
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们今天就一起来研究这一类 算式的简便方法。

二、能思维探索（建立知识模型）
展示例题：
例1：计算。
11111


2334455667
师：谁来展示一下你的做法？
根据学生的情况，师板书各种情况。（逐一相加）
师：还有不同的做法吗？
生：没有了。
师：我们观察一下题中的数有什么特点？（提示学生分别观察分子分母）
生：分子为1，分母是两个连续数相乘。
师：我们能不能把一个分数如
3-2） < br>生：
1
改写成两个分数？（提示：把分子1改写成
23
13232 11

。
2323232323
师：依次类推，其他分数都能拆成这样的形式？
生改写其他项。
师：我们按照刚刚的结论把题目改写后，你能发现什么？
生：一个分数可以拆成两个分数的差，中间的都可以抵消掉。
生独立完成，指名学生说算理和计算过程，师评价。
师：很好，这里我们发现，拆项后，前一个分数的第二项和后一个分数的第一项

2

是可以抵消的。我们什么时候可以用这个方法拆数呢？（引导学生了解特点）
生：分子为1，分母是两个连续数相乘。
师：那我们就来用公式总结一下。
学生尝试小结
小结：公式1
111
n

n1


n
－
n1


展示例题：
例2：计算
11111
14

47

71 0

1013

1316

师：同学们，拿到这道题你们该如何思考呢？
生：裂项变成
1
11111 1111
4

4

7

7

10

10

13

13

16
，然 后中间抵消掉。
师：那同学们观察一下，
11
14
与
1
4
是不是相等的呢？
生：不相等。
师：为什么呢？（再次利用公式，引导孩子们 ，裂项时需要注意哪些问题）
生：分子为1，分母中相乘两个因数要是连续数才能成立。
师：这里我们观察到相乘的两个分母差是3,所以要怎么样？
生：乘以
1
3
。
师：非常好，大家能自己做出来吗？
指名演板，师评价小结。
小结：公式2
11

11

n

nd


d


n
－
nd




三、思维拓展（知识模型拓展）
展示例题：
11
例3：计算。
6

12

1
20

1
30
1
42

1
56

师：这种题目我们该怎么做呢？它和我们上面的例题一样吗？

3

生：（各抒己见）不一样，分母不是2个连续数相乘的形式。
师：有同学已经想到了，这一题是例题一的变型。
师：大家可以思考一下，怎么样运用刚才的方法解决呢？
生：把分母写成2个连续数相乘的形式。
师：很好，看来同学们都会基本的裂项方法。接下来，同学们自己完成例题三。
生独立完成，师评价小结

展示例题：
11111111
1357911131517
例4：计算。
6122
师：例4和之前的例题有什么区别？还能用之前的裂项法吗？
生：例4中出现带分数，不能直接裂项。
师：我们怎么解决这个问题呢？需要把代分数化成假分数吗？
引导学生发现分数部分符合裂项的条件。
生：我们可以把把整数部分相加，分数部分相加，分数部分可以用裂项法计算。
师：我们把分数部分和整数部分分别相加再看看算式中各部分的数有什么特点？
生：整数部分是首项为1，末项为17，公差为2的等差数列，分数部分和例3
类似。。
师：那大家能否自己完成这道题呢？
学生尝试独立完成，教师评价小结。
小结：分组法


四、融汇贯通（知识模型的运用）

展示例题：
6
......
例5：计算。
1986198 71987198820052006

师：大家观察例5和我们之前例题一样吗？

4

生：不一样，分子为1986而分母中两个因数相差1。
师：能直接用裂项法吗？（不能）我们能不能把它变成我们能用裂项法的形式呢？
（提示分子要么为1，要么等于分母两因数差）
生：我们把分子里的1986作为公因数提出 来，分子就为1了，再根据裂项公式
就可以解决了。
师：很好，接下来大家自己完成这道题。
生自主完成，师评价小结。

展示例题：
例6、计算：

123456





234567

点？
2

123456

1

123 456

23456







1




234 567

2

234567

34567
师：这个题看上去很复杂，但大家仔细观察这个算式中的分数，你能发现什么特
生：这个乘法算式每 个因数中的大部分加数是相同的。
师：那我们可不可以把这些相同的加数用一个字母来代替呢？这样的 方法叫做
123456
“换元法”或“代换法”，我们假设
a
， 那整个算式就变成
234567
怎样了呢？
11
生：
aa(1a)(a)
22

2
师：大家会化简这个算式吗？
1
提示生化简
(1a)(a)
时先把（1+a）看做一个整体用乘法分配律。另外这部分
2
是一个整体，要注意符号 。
生化简后师评价并提示注意部分。
五、总结
通过这节课学习，你收获了什么？

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