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五年级奥数 分数的速算与巧算（一）
一、知识要点

1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲 要求学生掌握
裂项技巧及寻找通项进行解题的能力
2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。
3、 循环小数与分 数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数
与分数的主要利用 运算定律进行简算的问题．
4、通项归纳法
通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换 元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，
使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的 复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式．

5、裂项综合

（一）、“裂差”型运算
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即
那么有< br>1
形式的，这里我们把较小的数写在前面，即
ab
，
ab
1111
()

abbaab
(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：
1
1
，形式的，我们有：
n(n1)(n2)
n(n 1)(n2)(n3)
1111
[]

n(n1)(n 2)2n(n1)(n1)(n2)
1111
[]

n(n 1)(n2)(n3)3n(n1)(n2)(n1)(n2)(n3)

裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都 是x(x为任意自然数)的，但是只要将x
提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

（二）、“裂和”型运算
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
a
2
b
2
a< br>2
b
2
ab
abab11
（1）



（2）
abababba
abababba
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算 的题目不仅有“两两抵消”型的，
同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

（三）、整数裂项
1
(n1)n(n1)

3
1
(2)
123234345...(n2) (n1)n(n2)(n1)n(n1)

4
(1)
122334...(n1)n

6、循环小数化分数结论：
纯循环小数 混循环小数
循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部分数字
所组成的数的差
分子 循环节中的数字所组成的数
word.

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分母 n个9，其中n等于循环节所含的数字个数
按循环位数添9，不循环位数添0，组成分母，其中9在0
的左侧
0.a

·
··
····
abca
aabab1ab
；

；
0.0ab
；

，……

990
9999910990
二、讲练结合
例1、
11111


1234234 53456678978910










练：
333

......
1234234517181920







例2、计算：
5719

L

．
1232348910






练2、计算：
1155
（





例3、



word.
571719


L

）
234345891091011< br>1111


LL

11212312L
100

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练3、
1








2310

< br>L

1
（
12
）
(12)(123)( 123
L
9)(123
L
10)
111111< br>
.
222222
例4、
31517191111131









练4、

35715


L

1
2
2
2
2
2
3
2
3
2
4
2
7< br>2
8
2





三、家庭作业
Day 1
1、








12349

L

223234234 5234
L
10

3
2
15
2
17
2
11993
2
11995
2
1
2、 计算：
2

2

2

L

．
22
3151711993119951




word.

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Day 2
12
2
2
3
2
50
2
3、计算：

L

．
13355799101







4、计算：
224466881010


13355779911









Day 3
5、计算：
1















6、计算：< br>1
111

12123122007

3< br>
111

L

35357357
L
21


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