获胜者-沪昆线

人教版数学五年级下册
第一单元《观察物体三》
1、 不同角度观察一个物体 ， 看到的面都是两个或三
个相邻的面。
2、 不可能一次看到长方体或正方体相对的面。
3、
至少用8个、27个、64个、125个。 。。正方体可拼成较大
的正方体，都可拼成较大正方体。

第二单元 因数和倍数
一、因数和倍数。
在整数除法中,如果商是整数而没有余数,我们就说
被除数是除数 的倍数,除数是被除数的余数.
又如整数a能被b整除(a÷b=c),那么a就是b的倍
数 ，b就是a的因数。因数和倍数是相互依存的，不
能单独存在。
因数：一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，
最大的因数是它本身。
一个数的因数的求法：成对地按顺序找,或用除法
找。
倍数：一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本
身。
一个数的倍数的求法：依次乘自然数。
二、自然数按能不能被2整除分为：奇数 偶数
奇数：不是2的倍数的数叫做奇数。
也就是个位上是1、3、5、7、9的数。

偶数：是2的倍数的数叫做偶数。
也就是个位上是0、2、4、6、8的数。
最小的奇数是1，最小的偶数是0。
2、3、5倍数的特征：
个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。
个位上是0或5的数，是5的倍数。
一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的
倍数。
如果一个数同时是2和5的倍数，那它的个位上的数
字一定是0。
同时是2、3、5 的倍数，个位上是0并且各位上的数
的和是3的倍数，这个数就同时是2、3、5的倍数。最大
的两位数是90，最小的两位数是30，最小的三位数是120。
三、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1.
质数：一个数，如果只有1和它本身 两个因数，这样
的数叫做质数（或素数）。如2,3,5,7，11，13,17,19……
都 是质数。
合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，
这样的数叫做合数。如4,6, 8,9，10,12,14，
15,16,18,20,22,26，49……都是合数。合数至少有三 个
因数，1、它本身、别的因数
1： 只有1个因数。“1”既不是质数，也不是合数。
最小的质数是2，最小的合数是4。
最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是2、3。

1 4
20以内的质数：有8个（2、3、5、7、11、13、17、19）
（1）所有的奇数都是质数。不对，因为9是奇数，但不是
质数，而是合数。
（2）所有的偶数都是合数。不对，因为2是偶数，但不是
合数，是质数。
（3）在 1,2,3,4,5,…中，除了质数以外都是合数。不对，
因为1既不是质数也不是合数。
（4）两个质数的和是偶数。不对，因为2是质数也是偶数，
而其他的质数都是奇数，偶数＋奇数＝奇数 。
四、100以内的质数（共 25 个）：2、3、5、7、11、13、
17、19、2 3、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、
71、73、79、83、89 、97
五，奇数＋奇数＝偶数（如：5+7=12 3+5=8 ……）
奇数＋偶数＝奇数（如：1+4=5 7+2=9 ……）
偶数＋偶数＝偶数（如：2+4=6 8+6=14 ……）
奇数×奇数＝奇数（如：5×7＝35 7×9＝63 ……）
奇数×偶数＝偶数（如：5×8＝40 7×8＝56 ……）
偶数×偶数＝偶数（如8×12＝96 14×24＝336 …）
六、公因数、最大公因数
几个数公有的因数叫这些数的公因数。其中最大的那个
因数就叫它们的最大公因数。
用短除法分解质因数 （一个合数写成几个质数相乘的形
式）例：12=2×2×3
互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。
两个质数的互质数：5和7；两个合数的互质数：8和9；一质一合
的互质数：7和8；
两数互质的特殊情况：
⑴1和任何自然数互质；⑵相邻两个自然数互质； ⑶
两个质数一定互质；⑷2和所有奇数互质； ⑸质数与比它
小的合数互质；
如果两数是倍数关系时，那么较小的数就是它们的最
大公因数。
如果两数互质时，那么1就是它们的最大公因数。
七、公倍数、最小公倍数
几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。其中最小的那个就
叫它们的最小公倍数。
用短除法求两个数的最小公倍数（除到互质为止，把所有
的除数和商连乘起来）
如果两数是倍数关系时，那么较大的数就是它们的最
小公倍数。例：3和6最小公倍数是6.
如果两数互质时，那么它们的积就是它们的最小公倍
数。；例：5和7最小公倍数是35.

第三单元 长方体和正方体


1、长方体和正方体都是立体图形。正方体也叫立方体。
2、相交于一个顶点的三条棱的长度 分别叫做长方体的长、
宽、高。（长、宽、高都各有4条，分别平行并且相等）
3、长方体的特征：
① 面：有6个面，都是长方形（特殊情况下最多有两个

相对的面是正方形）。相对的面完全相同。
② 棱：有12条棱。相对的棱长度相等。
③ 顶点：有8个顶点。
4、正方体的特征：
① 面：有6个面都是正方形，6个面完全相同。
② 棱：有12条棱。12条棱的长度相等。
③ 顶点：有8个顶点。
不同点
相同点
面 棱
长方
都有6
6个面都是长方形。相对的棱的
体
个面，12
（有可能有两个相对长度都相等
条棱，8
的面是正方形）。
正方
个顶点。
6个面都是正方形。 12条棱都相
体 等。
5、正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一
种特殊的长方体。
至少要8个小正方体才能拼成一个稍大的正方体。
长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4 L=（a＋b＋h）×4
长=棱长总和÷4－宽 －高 a=L÷4－b－h
宽=棱长总和÷4－长 －高 b=L÷4－a－h
高=棱长总和÷4－长 －宽 h=L÷4－a－b
正方体的棱长总和=棱长×12 L=a×12
正方体的棱长=棱长总和÷12 a=L÷12
6、长方体或正方体6个面和总面积叫做它的表面积。
长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2
S=2（ab＋ah＋bh）
无底（或无盖）长方体表面积= 长×宽＋（长×高＋宽×高）×2
S=2（ab＋ah＋bh）－ab
S=2（ah＋bh）＋ab
无底又无盖长方体表面积=（长×高＋宽×高）×2
S=2（ah＋bh）
正方体的表面积=棱长×棱长×6 S=a×a×6
7、物体所占空间的大小叫做物体的体积。
长方体的体积=长×宽×高 V=abh
长=体积÷宽÷高 a=V÷b÷h
宽=体积÷长÷高 b=V÷a÷h
高=体积÷长÷宽 h= V÷a÷b
正方体的体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a=a
3

底面积： 长方体或正方体底面的面积叫做底面积。
底面积=长×宽
长方体和正方体的体积统一公式：
长、正方体的体积都=底面积×高 V=sh
8、箱子、油桶、仓库等容器所能容纳物体的体积，通常
叫做他们的容积。
长方体和 正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法
相同，但要从里面量长、宽、高。（所以物体的体积大于
它的容积）。
2 4
常用的容积单位有升和毫升也可以写成L和ml。
1升=1立方分米 1毫升=1立方厘米 1升=1000毫升
9、a
3
读作“a的立方”表示3个a相乘，（即a·a·a）
【体积单位换算】
高级单位
×进率
低级单位
低级单位
÷进率
高级单位
体积单位1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米
1立方分米＝1000立方厘米＝1升＝1000毫升
1立方厘米＝1毫升
1平方米=100平方分米=10000平方厘米
1平方千米=100公顷=1000000平方米
长度单位：1千米=1000米 1分米=10厘米 1厘米=10毫米
1分米=100毫米 1米=10分米=100厘米=1000毫米
面积单位：1平方千米=100公顷 1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方厘米 1公顷=10000平方米
质量单位：1吨=1000千克 1千克=1000克
人 民 币：1元=10角 1角=10分 1元=100分
时 分 秒：1天=24时 1时=60分 1分=60秒
10、长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数的立方倍。（如长、宽、高各扩大2倍，体积就
会扩大到原来的8倍）。
11、排水法：（计算不规则物体的体积）

被浸没物
① 容器的底面积×上升那部

体的体积
计算
分水的高度。
等于上升


方法


② 放入物体后的体积—原来水
那部分水
的体积

的体积
12、把长方体或正方体截成若干个小长方体（或正方体）
后，表面积增加了，体积不变。
表面积增加了切面面积×2

第四单元 分数的意义和性质
1、单位“1”表示：一个物体、一个计量单位或是一
些物体都可以看成一个整体。这个整体可 以用自然数1
来表示，我们通常把它叫做单位“1”
2、把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或
几份的数，叫做分数。
3、把 单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份的
数叫做分数单位。
最大的分数单位是
1
2
，没有最小的分数单
位。

4、分数与除法的关系：被除数÷除数=
被除数
除数

分数后不带单位表示两个量之间的倍数关系；分数带有单位表示一
个具体的数量。
5 、分数大小的比较：分母相同的两个分数，分子大的分

数较大。分子相同的两个分数，分 母小的分数较大。
异分母分数，先化成同分母分数（分数单位相同），
再进行比较。 6、真分数和假分数：真分数分子比分母小的分数叫做真
分数。真分数比1小。假分数分子比分母大 或分子和分母
相等的分数叫做假分数。假分数大于1或等于1。
（1）假分数化为整数或带分 数，用分子÷分母，商作为整数，余
数作为分子。（2）整数化为假分数，用整数乘分母得分子。（3） 带
分数化为假分数，用整数乘分母加分子，得数就是假分数的分子，
分母不变。
7、分数的基本性质——分数的分子和分母同时乘上或除
以相同的数(0除外)，分数的大不变。
最简分数：
分数的分子和分母只有公因数1，像这样的分数叫做最简分数。
一个最简分 数，如果分母中除了2和5以外，不含其他的质
因数，就能够化成有限小数。反之则不可以。

8、约分——把一个分数化成同它相等，但分子、分母都
比较小的分数，叫做约分。（方法就是 分子和分母同时除
以它们的公因数。）
分子、分母是互质数的分数，叫做最简分数。
9、通分——把异分母分数化成和原来分数相等的同分母
的分数，叫做通分。方法：先求出原来几个分 母的最小公
倍数，再根据分数的基本性质把各个分数化成用这个最小
公倍数作公分母的分数。
10、分数和小数的互化。
小数化成分数：原来有几位小数，就在1后面写几个0
作 分母，把原来的小数去掉小数点作分子；化成分数后，
能约分的要约分。0.23=
23
100

分数化小数：
用分子除以分母，除不尽的按要求保留几位小数。
（ 一般保留两位小数。）
求最大公因数的方法：
① 倍数关系： 最大公因数就是较小数。 ② 互质关系： 最大
公因数就是1 ； ③ 一般关系： 从大到小看较小数的因数是否是
较大数的因数。
判断分数是否能化成有限小数的方法：
① 判断分数是否是最简分数；如果不是最简分数，先把
它化成最简分数；
② 把分数的分母分解质因数:
如果分母中除了2和5以外，不含有其他质因数，这个
分数就能化成有限小数；
如果分母中含有2和5以外的质因数，这个分数就不能
化成有限小数。
11、
牢记：
1
2
=0.5
13
1
4
=0.25
4
=0.75
5
=0.2
2
3
5
=0.4
5
=0.6
4
5
=0.8
1
8
=0.125
3
8
=0.375
3 4

5
8
=0.625
7
8
=0.875
1
20
=0.05
1
25
=0.04。
第五单元 分数的加法和减法
（一）同分母分数加、减法
同分母分数相加、减，分母不变，只把分子相加减。能约分的要约
成最简分数。
（二）异分母分数加、减法
1、分母不同，也就是分数单位不同，不能直接相加、减。
2、异分母分数的加减法：
异分母分数相加、减，要先通分，再按照同分母分数加减法的方法
进行计算。
3、带分数加减法: 带分数相加减，整数部分和分数部分分别相加减，
再把所得的结果合并起来。
（三）分数加减混合运算
1、分数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的顺序相同。
在一个算式中，如果有括号，应先算括号里面的，再算括号外面的；
如果只含有同一级运算，应 从左到右依次计算。
2、整数加法的交换律、结合律对分数加法同样适用。
a+b=b+a a+b+c=a+（b+c）
3、减法的性质：a-b-c=a-(b+c) a-(b-c)=a-b+c= a+c –b（等式左右
可以交换的）
4、常见乘法计算（敏感数字） ：25×4＝100 125×8＝1000
第六单元 统计与数学广角
折线统计图
我们学过——条形统计图、折线统计图。
条形统计图优点：条形统计图能形象地反映出数量的多少。
折线统计图优点：折线统计图不仅能表示出数量的多少，还能比较
出数量的增减变化情况。 < br>复式折线统计图不仅能表示出几组数据数量的多少和数量的增减变
化，而且可以比较几组数据的变 化趋势。

【注意】① 画图时注意：一“点”（描点）、 二“连”（连线） 三“标”
（标数据）。
②要用不同的线段分别连接两组数据中的数。
打电话：
规律——人人不闲着，每人都在传。（1）逐个法：所需时间最多。
（2）分组法：相对节约时间。（3）同时进行法：最节约时间。
n
计算方法：n
分钟能通知2个人.例如：4分钟可以通知
2×2×2×2=16人

时间与通知人数 关系： 1 分钟通知1人；2 分钟通知2～3人；3分
钟通知 4～7人；4分钟通知 8～15人；5分钟通知 16～31人；6
分钟通知 32～63人。
找次品：

一、用天平找次品规律：
1、把所有物品尽可能平均地分成3份 ，（如余1则放入到最后一份
中；如余2则分别放入到前两份中），保证找出次品而且称的次数
一定最少。
2、数目与测试的次数的关系：

2～3个物体，保证能找出次品需要测的次数是1次
4～9个物体，保证能找出次品需要测的次数是2次
10～27个物体，保证能找出次品需要测的次数是3次
28～81个物体，保证能找出次品需要测的次数是4次
82～243个物体，保证能找出次品需要测的次数是5次
244～729个物体，保证能找出次品需要测的次数是6次
特殊问题：
1、握手、开锁问题方法1:1+2+3+4+…( n-1)=总次数；方法2：n×(n-1)
÷2=总次数；
2、数角、线段总个数1+2+3+4+…n=总个数（n表示小的角数或短
的段数）。
3.服装搭配问题：假如a件衣服b件裤子搭配共有a×b=a b种搭配
法。

第七单元
图形的运动
图形变换的基本方式是对称、平移和旋转。
（一）图形的平移
1、平移不改变图形的大小和形状。
2、平移的三要素：原图形 的位置、平移的方向、平移的距离。平移的方向
一般为：水平方向、垂直方向两种。平移的距离：一般为 几个单位长度（也
即几个方格）
3、平移是整个图形的移动，图形的每个关键点都需要按要求移动。
4、把图形平移的步骤：
（1）确定原图形位置、平移的方向、平移的距离。
（2）找出原图形的各关键点。
（3）根据题目要求将各个点依次平移。
（4）顺次连接平移后的各点，标明各点名称。
（二）轴对称: 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的
图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
（1）学过的轴对称平面图形有：圆形、长方形、正方形、圆形、等腰三角
形、等边三角形、等 腰梯形……
等腰三角形有1条对称轴，等边三角形有3条对称轴，长方形有2条对称轴，
正方 形有4条对称轴，等腰梯形有1条对称轴，圆有无数条对称轴。任意梯
形和平行四边形不是轴对称图形。
（2）轴对称图形的特征和性质：①对称点到对称轴的距离相等；②对称点
的连线与对称轴垂直 ；③对称轴两边的图形大小、形状完全相同，方向相反。
（3）对称图形包括轴对称图形和中心对称图形。平行四边形（除棱形）属
于中心对称图形。
2、旋转：物体或图形围绕一个定点沿着一个方向转动一定的角度的现象叫
做旋转。如风扇的叶 片旋转。定点O叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角，
原图形上的一点旋转后成为的另一点成为对应点 。
（1）生活中的旋转：电风扇、车轮、纸风车
（2）旋转三要素：①旋转中心，固定不变 ；②旋转方向有顺时针、逆时针；
③旋转角度有：常见的有30°、45°、60°90°、180°、 270°。
（3）长方形绕中心点旋转180度与原来重合，正方形绕中心点旋转90度与
原 来重合。等边三角形绕中点旋转120度与原来重合。
（4）旋转的性质：
①图形的旋转是 图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位
置移动；②其中对应点到旋转中心的距离相等； 旋转前后图形的大小和形状
4 4
没有改变，位置和方向发生改变，旋转中心是唯一不动 的点，③两组对应点
分别与旋转中心的连线所成的角度相等，都等于旋转角；
（5）怎样画图 形旋转的形状：（1）先观察原图形的形状特征找准关键点，
（2）找准旋转中心、旋转方向、旋转角度 ；
（3）使用直角三角板的顶点与旋转中心重合，则该图形旋转后的形状就在三
角板另一条边上；
（4）确定各对应点的长度，用虚线标出来；（5）将每个对应点连接并标出
名称。

【补充知识】
A：
小学数学平面图形周长、面积计算公式
一、正方形（a表示边长，C表示周长，S表示面积）
正方形的周长=边长×4 字母表示为：C=4a
正方形的面积=边长×边长 字母表示为：S=a×a
二、长方形（a表示长，b表示宽，C表示周长，S表示面积）
长方形的周长=（长+宽）×2 字母表示为： C=（a+b）×2
长方形的面积=长×宽 字母表示为：S=a×b
B：众数： 一组数据中出现次数最多的一个数或几个数，就是这组数
据的众数。
众数能够反映一组数据的集中情况。
在一组数据中，众数可能不止一个，也可能没有众数。
C：中位数：（1）按大小排列；
（2）如果数据的个数是单数，那么最中间的那个数就是中位数；
（3）如果数据的个数是双数，那么最中间的那两个数的平均数就是
中位数。
D：平均数的求法：总数÷总份数=平均数
E一组数据的一般水平：
（1）当一组数据中没有偏大偏小的数，也没有个别数据多次出现，
用平均数表示一般水平。
（2）当一组数据中有偏大或偏小的数时，用中位数来表示一般水平。
（3）当一组数据中有个别数据多次出现，就用众数来表示一般水平。
F平均数、中位数和众数的联系与区别:
① 平均数：
一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均
数。
容易受极端数据的影响，表示一组数据的平均情况。
② 中位数：
将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数叫做这组数据
的中位数 。
它不受极端数据的影响，表示一组数据的一般情况。
③ 众数：在一组数据中出现次数最多的 数叫做这组数据的众数。它
不受极端数据的影响，表示一组数据的集中情况。