最大利润问题
诚毅学院教务部-闯祸了
§2．6 何时获得最大利润
课时安排
7课时
从容说课
从题目来看，“何时获得最大利润”似乎是商家才应该考虑的问题．但是你
知道吗?这正
是我们研究的二次函数的范畴．因为二次函数化为顶点式后，很容易求出最大或最小值．而
何时获得最大利润就是当自变量取何值时，函数值取最大值的问题．因此本节课中关键的问
题就
是如何使学生把实际问题转化为数学问题，从而把数学知识运用于实践．即是否能把实
际问题表示为二次
函数，是否能利用二次函数的知识解决实际问题，并对结果进行解释．
在教学中，要对学生进
行适时的引导，并采用小组讨论的方式掌握本节课的内容，从而
发展学生的数学应用能力．
第七课时
课 题
§2．6 何时获得最大利润
教学目标
(一)教学知识点
1．经历探索T恤衫销售中最大利润
等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的
数学模型，并感受数学的应用价值．
2．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出
实际问题的最大(
小)值，发展解决问题的能力．
(二)能力训练要求
经历销售中最大利润
问题的探究过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类
历史发展的作用，发展学生运用数学知
识解决实际问题的能力．
(三)情感与价值观要求
1．体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值．增进对数学的理解和学好数学
的信心．
2．认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发
展人类理性精神的作用．
教学重点
1．探索销售中最大利润问题．
2．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出
实际问题中的最大
(小)值，发展解决问题的能力．
教学难点
运用二次函数的知识解决实际问题．
教学方法
在教师的引导下自主学习法．
教具准备
投影片三张
第一张：(记作§2．6 A)
第二张：(记作§2．6
B)
第三张：(汜作§2．6 C)
教学过程
Ⅰ.
创设问题情境，引入新课
[师]前面我们认识了二次函数，研究了二次函数的图象和性质，由
简单的二次函数y＝
x开始，然后是y＝ax.y＝ax+c，最后是y=a(x-h)
，y＝a(x-h)+k，y＝ax+bx+c，掌握了
二次函数的三种表示方式．怎么突然转到了获取
最大利润呢?看来这两者之间肯定有关系．那
么究竟有什么样的关系呢?我们本节课将研究有关问题．
Ⅱ．讲授新课
一、有关利润问题
投影片：(§2．6
A)
某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是2．5元．根据市场调查，销售量与销售单价满
足如下关系：在一段时间内，单价是13．5元时，销售量是500件，而单价每降低1元，就
可以多
售出200件．
222222
请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利最多?
没销售单价为x(x≤13．5)元，那么
(1)销售量可以表示为
；
(2)销售额可以表示为 ；
(3)所获利润可以表示为
；
(4)当销售单价是 元时，可以获得最大利润，最大利润是 ．
[师]从题目的内容来看好像是商家应考虑的问题：有关利润问题．不过，这也为我们以
后就业做了准备，今天我们就不妨来做一回商家．从问题来看就是求最值问题，而最值问题
是二次函数
中的问题．因此我们应该先分析题意列出函数关系式．
获利就是指利润，总利润应为每件T恤
衫的利润(售价一进价)乘以T恤衫的数量，设销
售单价为x元，则降低了(13．5-x)元，每降低
1元，可多售出200件，降低了(13．5-x)
元，则可多售出200(13．5-x)件，因此共
售出500+200(13．5-x)件，若所获利润用y(元)
表示，则y＝(x-2．5)[500
+200(13．5-x)]．
经过分析之后，大家就可回答以上问题了.
[生](1)销售量可以表示为500+200(13．5-x)=3200—200x．
2
(2)销售额可以表示为x(3200-200x)=3200x-200x．
22
(3)所获利润可以表示为(3200x-200x)-2．5(3200-200x)＝-200x+3700
x-8000．
(4)设总利润为y元，则
2
y＝-200x+3700x-8000
=-200(x-
37
2
18225
)
.
42
∵-200＜0
∴抛物线有最高点，函数有最大值．
37
＝9．25元时，
4
18225
y
最大
=
=9112.5元.
2
当x＝
即当销售单价是9．25元时，可以获得最大利润，最大利润是9112．5元．
二、做一做
还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗?我们得到表示增种橙子树的数
量
2
x(棵)与橙子总产量y(个)的二次函数表达式y＝(600-5x)(100+x)＝
-5x+100x+60000．
我们还曾经利用列表的方法得到一个猜测，现在验证一下你
的猜测是否正确?你是怎么
做的?与同伴进行交流．
[生]因为表达式是二次函数，所以求橙子的总产量y的最大值即是求函数的最大值．
2
所以y＝-5x+100x+60000
2
＝-5(x-20x+100-100)+60000
2
＝-5(x-10)+60500．
当x=10时，y
最大
=60500．
[师]回忆一下我们前面的猜测正确吗?
[生]正确．
三、议一议(投影片§2．6 B)
(1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系．
(2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上?
[生]图象如上图．
(1)当x<10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加；当x>
10时，橙子的总产量
随增种橙子树的增加而减小．
(2)由图可知，增种6棵、7
棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵，都
可以使橙子总产量在60400个以上
．
四、补充例题
投影片：(§2．6 C)
已知——个矩形的周长是24 cm．
(1)写出这个矩形面积S与一边长a的函数关系式．
(2)画出这个函数的图象．
(3)当a长多少时，S最大?
[师]分析：还是有关二次函数的最值问题，所以应先列出二次函数关系式．
[生](1)S=a(12-a)＝a+12a＝-(a-12a+36-36)＝-(a-6)+36．
(2)图象如下：
(3)当a＝6时，S最大=36．
Ⅲ．课堂练习
P
61
解：设销售单价为；元，销售利润为y元，则
y=(x-20)[400-20(x-30)]
2
＝-20x+1400x-20000
2
＝-20(x-35)+4500．
所以当x=35元，即销售单价提高5元时，可在半月内获得最大利润4500元．
Ⅳ．课时小结
本节课经历了探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程，体会了二次函数是一类
最优化
问题的数学模型，并感受了数学的应用价值．
学会了分析和表示实际问题中变
量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实
际问题中的最大(小)值，提高解决问题的能力．
Ⅴ．课后作业
习题2．7
Ⅵ．活动与探究
某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40～
70元之间．市
场调查发现：若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱，价格每降低1元，
平均每天多销售3箱，价
格每升高1元，平均每天少销售3箱．
(1)写出平均每天销售(y)箱与每箱售价x(元)之间的函数关系式．(注明范围)
(2
)求出商场平均每天销售这种牛奶的利润W(元)与每箱牛奶的售价x(元)之间的二次
函数关系式(每
箱的利润=售价-进价)．
(3)求出(2)中二次函数图象的顶点坐标，并求当x＝40，
70时W的值．在坐标系中画出
函数图象的草图．
(4)由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大?最大利润为多少?
解：(1)当40≤x≤50时，则降价(50-x)元，则可多售出3(50-x)，所以y＝
90+
3(50-x)=-3x+240．当50
因此，当40≤x≤70时，y=-3x+240．
(2)当每箱售价为x元时，每箱利润为
(x-40)元，平均每天的利润为W＝(240-3x)(x-40)
2
＝-3x+360x
-9600．
2
(3)W＝-3x+360x-9600
2
＝-3(x-120x+3600-3600)-9600
2
=-3(x-60)+1200．
所以此二次函数图象的顶点坐标为(60， 1200)．
2
当x＝40时，W=-3(40-60)+1200＝0；
2
当x＝70时，W=-3(70-60)+1200=900．
草图略．
(4)要求最大利润，也就是求函数的最大值，只要知道顶点坐标即可．
由(3)得，当x＝60时，W
最大
＝1200．
即当牛奶售价为每箱60元时，平均每天的利润最大，最大利润为1200元．
板书设计
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§2．6 何时获得最大利润
一、1．有关利润问题(投影片§2．6 A)
2．做一做
3．议一议(投影片§2．6 B)
乙补充例题(投影片§2．6 C)
二、课堂练习
三、课时小结
四、课后作业