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2015湖北省公务员备考——经济利润问题中的利润最大化
问题
湖北华图 黄晖
在经济利润问题中，常常涉及到定价与利润的问题。在实际生活中，商品的价格除了受
商 品的价值量影响外，还收价值规律的影响。在成本一定的情况下，商品售价提高时，单价
商品的利润会上 升，但同时商品的销量会下降，二者是反比例关系。在公务员考试中，经常
会根据这种反比例关系进行命 题，条件是销量随着定价的升高而降低，要求求出商品总收入
或者总利润最大，本质上是一个二次函数求 最值的问题，方法主要有以下三种：
（1）求导法。对于任意的多次函数
ya
n< br>x
n
a
n1
x
n1
a
n2
x
n2

'n1n2n3
用求导法求出最值。当
yna
n
x

n1

a
n1
x

n2

a
n2
x
a
1
xa< br>0
，可以
2a
2
xa
1
x0
时，求得 的x值代入原式可得到最大值或者最小值。
b

4acb
2
< br>（2）配方法。二次函数
yaxbxca

x

a 0

，当
a0
时，


2a

4a

2
2
bb
4acb
2
4acb
2
y
时，为最小值；当
a0
时，
y
时，为最大 值。
4a
2a2a
4a
ab

2

（ 3）不等式法。当a、b均大于0时，有
ab
，故
ab
为定值时，当ab
时，
4
ab的乘积取得最大值。
【例1】（2013下半年-四 川-55）某报刊以每本2元价格发行，可发行10万份，若该报
刊单价每提高0.2元，发行量将减少 5000份，则该报刊可能的最大销售收入为多少万元？
( )
A.24
C.23
【答案】D
【解析】方法一：设提价x次，则售价为（0.2x＋2）元 ，销量为（10－0.5x）万份，
则销售收入为
y

0.2x2



100.5x

0.1

x10



20x

。因为（x+10）与（20－x）的和为定值，要使总的销售收入最大，需要
x1020x
，此时
x5，此时销售收入为
B.23.5
D.22.5

y0.1151522.5
万元。因此，本题选择D选项。
方法二：设提价x次，则售价为（0.2x＋2）元，销量为（10－0.5x）万份，则销售收
入为< br>y

0.2x2



100.5x

0.1x
2
x200.1

x5

22.5
，则x＝5时，y＝22.5
为最大值。因此，本题选择D选项。
方法 三：设提价x次，则售价为（0.2x＋2）元，销量为（10－0.5x）万份，则销售收
2
入为
y

0.2x2



100.5x< br>
0.1xx20
，导数为
y
'
0.2x1 0
，即x＝5时，y
2
有最大值，为22.5，即最大销售收入为22.5万元。因此 ，本题选择D选项。
【例2】（2014下半年-重庆-68）某汽车租赁公司有200辆同型号的汽 车，每辆车的日
租金为100元时可全部租出；当每辆车的日租金增加5元时，未租出的汽车就会多4辆 ，租
出的汽车每天需要维护费20元。每辆车的日租金为多少时，租赁公司的日收益最大？（ ）
A.155
C.175
【答案】D
【解析】方法一：设租金增加5x元，则未出租的车增加4x辆，则总收益为
B.165
D.185

1005x20



200 4x

20

x16



50 x

，要使总收益最大，需要满足
x1650x
，即
x17
，此时每辆车的日租金为
1005x185
。因此，本题选择D选项。
方法二：设租金增加5x元，则未出租的车增加4x辆，则总收益为
y

1005 x20



2004x

20

x
2
34x800

20x
2
680x16 000
，故当
x
680
17
时，日收益最大，此时日租金为1005x185
元。因此，本题选择D选项。
40
方法三：设租金增加5 x元，则未出租的车增加4x辆，则总收益为
'
y

1005x20< br>


2004x

20x
2
68 0x16000
，导数
y40x6800
，即x＝17
时，利润最 大，此时日租金为
1005x185
元。因此，本题选择D选项。
【例3】（2 013-广东-52）一厂家生产销售某新型节能产品。产品生产成本是168元，
销售定价为238元 。一位买家向该厂家预订了120件产品，并提出如果产品售价每降低2
元，就多订购8件。则该厂家在 这笔交易中能获得的最大利润是（ ）元。
A.17920
C.10000
【答案】C
B.13920
D.8400

【解析】方法 一：销售降低2元，就多订购8件，即降低1元，多订购4件。原来的每
件利润为238－168＝70 元。设降价x元，则总利润为
y

70x



1204x

4

70x



30x

，要使总利润最大，需要
70x30x
，即
x5 0
时，此时最大利润为
y4505010000
元。因此，本题选择C选项。
方法二：销售降低2元，就多订购8件，即降低1元，多订购4件。原来的每件利润为
2
238－168＝70元。设降价x元，则总利润为
y

70x


1204x

4x160x8400
，
当
x
160
20
时，利润为
y5020010000元。因此，本题选择C选项。
8
方法三：销售降低2元，就多订购8件，即降低1元，多 订购4件。原来的每件利润为
2
238－168＝70元。设降价x元，则总利润为
y 

70x



1204x

 4x160x8400
，
'
导数
y8x1600
，即x ＝20时，利润最大，此时利润为
y5020010000
元。因此，
本题选择 C选项。
经济利润问题是湖北省公务员考试中最接近生活实际的题型，常常结合生活实际考查，
是每年必考的一类题型。而经济利润问题中的二次函数的最值问题，也是考试中较难的一类
题型，但只 要掌握了方法，按照方法求解，难度不大。最后，祝大家在2015湖北省公务员
考试中取得优异的成绩 ！