伊斯兰教派别-建党节活动方案

数 学
校 本 教 材
河南省洛阳市xxxxxxxxxxxxxxx学校 编


五年级数学（下册）






负责人：xxxx

目 录

第一讲 解方程
第二讲 列方程解决问题
第三讲 质数和合数
第四讲
第五讲
第六讲
第七讲
第八讲












最大公因数和最小公倍数
分数的大小比较
分数的加减计算技巧
组合图形的周长和面积1
组合图形的周长和面积2

第一讲 解方程






方程的由来

方程最早出现 于我国古代的《九章算术》。《九章算术》是我国东汉初年编定
的一部最古老的中国数学经典著作。它分 为九章，“方程”其中的一章。方程的
概念，在世界上要数《九章算术》中的“方程”章最早出现。这不 但是我国古代
数学中的伟大成就，还是世界数学史上一份非常宝贵的遗产。这一成就进一步证
明 ：中华民族是一个充满智慧的才干的伟大民族。

温故：解下列方程
（1）3X=2X+7 （2）5X-2=8




链接：请观察:

3X-2X=2X+7-2X 5X-2+2=8+2
3X-2X=7 5X=8+2
思考：上述演变过程中，你发现了什么？
新知1：像这样把方程中的项
改变符号
后从方程的一边移到另一边的变形过程，
被称为“
移项
”，板书如 下：
3X=2X+7 5X-2=8
3X-2X=7 5X=8+2
下面的移项对不对？不对的应如何改正？
（1） 从X+5=7，得到X=7+5
（2） 从5X=2X-4,得到5X−2X=4
（3） 从8-X=2X+1,得到X+2X=8−1

例题精讲
例1 用移项的方法解下列方程
（1）2X+6=10 （2）3X+3=2X+7
解： 2X=10−6 解：3x-2x=7-3
2X=4 X=4
X=2


同步练习
(1)9X−3=8X




（3）2X+3=X−1



（3）
11
2
X=
4
X+3
解：
11
2
X−
4
X=3

1
4
X=3
X=12
（2）3X−7+4X=6X−2
4）
31
4
X+2=13−
4
X




（< /p>

新知2：含有括号的方程解法。去括号法则
：所去括号前面是
加号
时，去掉括号，括
号内的
算式
不变号。括号前面是
减号
时，去掉括 号，括号内加号变减号，减号变加号。

例题精讲
例2 （1）3X=8+2（x+7） （2）4（X+0.5）+X=20-3
解：3X=8+2X+14 解: 4X+2+X=17
3X-2X=8+14 5X=17-2
X=22 5X=15
X=3

同步练习
（1）（X+1）−（2X−1）=1−3X （2）2（X−2）−6（X−1）=3（1−X）





（3）15−（8−5X）=7X+（4−3X） （4）2（X−2）+2=X+1








我国最早介绍西方方程思想的人

十九世纪中叶，近代西方 数学传入我国。1859年，李善兰和英国传教士
伟烈亚力将英国数学家德·摩尔根的《代数初步》译出 。李、伟两人很注重数学
名词的正确翻译，他们借用或创设了近四百个数学的汉译名词，许多至今一直沿
数学故事

用。其中,的译名就是借用了我国古代的“方程”一词。这样，“方 程”
一词首次意为“含有未知数的等式”。1873 年，我国近代早期的又一个西方科学
的传 播者华蘅芳与英国传教士傅兰雅合译英国渥里斯的《代数学》，他们则把
”译为“方程式”，他们的意思 是“方程”与“方程式”应该区别开来，
方程仍指《九章算术》中的意思,而方程式是指“含有未知数的 等式”。华、傅的
主张在很长时间里被广泛采纳。直到1934年，中国数学学会对名词进行审查，确定“方程”与“方程式”两者意义相通。

第二讲 列方程解决问题





有些数量关系比较复杂的应用 题，用算术方法求解比较困难。此时，若能恰
当地假设一个未知量为X（或其它字母），并能用两种方式 表示同一个量，其中
至少有一种方式含有未知数X，那么就得到一个含有未知数X的等式，即方程。利用列方程求解应用题，数量关系清晰、解法简洁，应当熟练掌握。




例题精讲
例1 商店有胶鞋、布鞋共46双，胶鞋每双7.5元，布鞋 每双5.9元，全
部卖出后，胶鞋比布鞋多收入10元。问胶鞋有多少双？
【分析】：此题几 个数量之间的关系不容易看出来，用方程法却能清楚地把
他们的关系表达出来。
设胶鞋有x双 ，则布鞋有（46-x）双。胶鞋销售收入为7.5x元，布鞋销售收
入为5.9（46-x）元，根据 胶鞋比布鞋多收入10元可列出方程。
解：设胶鞋有x双，则布鞋有（46-x）双
7.5X-5.9（46-x）=10
7.5X-271.4+5.9X=10
13.4X=271.4+10
13.4X=281.4
X=21
答：胶鞋有21双。
例2 哥哥今年11岁，当哥哥是弟弟现在的年龄时，弟弟才3岁，弟弟现在的
年龄是几岁？
【分析 】：找到数量关系是关键，可是此题数量关系不明显。好好分析题意，
根据“年龄差不变”这样的关系， 可列出方程。设弟弟现在的年龄是X岁，今
号是相反号，所以去括号后变成“+5.9X”
温 馨提示：所去掉的括号前是减号，括号里两
个数中间的符号要变成它的相反号，减号和加
知识要 点

年哥哥与弟弟的年龄差是（11-X）岁；根据“当哥哥是弟弟现在的年龄时，弟弟
才3岁”，可知年龄差是（X-3）岁，此时方程就能列出来。
解： 设弟弟现在的年龄是X岁
11 - X = X - 3
11 + 3 = X + X
2X = 14
X = 7
答：弟弟现在的年龄是7岁。
例3 学校组织“回收废塑料瓶：活动，已知小瑶和小丽平均每人回收 85个，
其中小丽回收的塑料瓶比小瑶的2倍少10个。问小瑶和小丽各回收了多少塑料
瓶？
【分析】：根据“小瑶和小丽平均每人回收85个”可知他们一共回收85×2=170
个 。根据“小丽回收的塑料瓶比小瑶的2倍少10个。可设小瑶回收了X个，则
小丽回收了（2X-10） 个，数量关系就是他们一共回收了170个塑料瓶，可列出
方程。
解： 设小瑶回收了X个，则小丽回收了（2X-10）个
X+（2X-10）=85×2
3X-10 =170
3X =180
X =60
小丽：2×60-10=110（个）
答：小瑶回收了60个，小丽回收了110个。
例4 一辆高铁和一辆普通列车从相距600千米的两地出发，相向而行，3小时
后相遇，已 知高铁每小时比普通列车多行驶40千米。求出相遇时两车各行驶了
多少千米？
【分析】 ：这道题求相遇时高铁和普通列车各行驶了多少千米就是求相遇时两
车分别行的路程，而路程=速度×时 间，题中已知相遇时间是3小时，关键是求

出两车的速度分别是多少，而根据“高铁每小 时比普通列车多行驶40千米”，可
设普通列车每小时行X千米，则高铁每小时行（X+40）千米，最 后根据数量关
系是高铁行的路程+普通列车行的路程=600千米可列出方程。
解：设普通列车每小时行X千米，则高铁每小时行（X+40）千米
3X+3×（X+40）=600
3X+3X+120=600
6X=480
X=80
普通列车路程：80×3=240千米
高铁路程：（80+40）×3=360千米
答：相遇时普通列车行了240千米，高铁行了360千米。
知识链接：在例1、例2和例3 中，直接设题目所求未知数为X，即求什么就
设什么，这种方法叫直接设元法。在例4中，求相遇时两车 行的路程，我们设普
通列车的速度是X，求出速度后再求路程。像这样不直接设题目所求未知数，而间接设题目中另外一个未知数为X，这种方法叫间接设元法。具体用哪种方法，
要看哪种方法简便， 具体题目具体分析。在小学阶段，大多数题目可以使用直接
设元法。


1、今年小亮比爷爷小48岁，3年后，爷爷的年龄正好是小亮的7倍，小亮今年
多少岁？





同步练习

2、某人买 甲、乙两种水果，甲种水果比乙种水果多买了3千克，共用去43.3
元，已知甲种水果每千克3元，乙 种水果每千克4元。问这两种水果各买了
多少千克？





3、已知足球、篮球、排球三种球平均每个35元，篮球比排球每个贵10元，足
球 比排球每个贵8元，每个篮球多少元？





4、艳艳有2元和5元人民币共20张，刚好64元。2元人民币和5元人民币各
有多少张？





5、有两支香，第一支长34厘米。第二支长1 8厘米，同时点燃后，都是平均每
分钟燃烧2厘米，多少分钟后，第一支香的长度是第二支的3倍？

数学故事
爱因斯坦的数学游戏
大科学家爱因斯坦小时候就特别聪明，有一次同学们在一起玩，他 说“我们
做一个数学游戏怎么样？”同学们说：“怎么做呢？”爱因斯坦说：“你们随便想
一个 数，然后做一些运算，我就能知道结果是多少。”汤姆说：“我不信，但是我
可以试一试。”爱因斯坦说 ：“那么好吧，现在开始，你心里随便想一个数吧。”
“我想好了。”汤姆说。爱因斯坦说：“在这个数 上加18。”
“再加上136。”“减去27。“减去你所想的数。”
汤姆按照爱因斯坦的要求进行了运算。他还没说出答案，爱因斯坦就说：“最
后得数是127。”
汤姆惊呆了，爱因斯坦说得一点也不错，可是他是怎么算出来的呢？

第三讲 质数和合数



自然数按照能被多少个不同的自然数整除，可以分为三类：
第一类：只能被一个自然数整除的自然数，这类数只有一个，就是1.
第二类，只能被两个不 同的自然数整除的自然数，因为任何自然数都能被1
和它本身整除，所以这类自然数的特征是大于1，且 只能被1和它本身整除。这
类自然数叫做质数（或素数）。例如，2，3，5，7……
第三类 ，能被两个以上的自然数整除的自然数。这类自然数的特征是大于1，
除了能被1和它本身整除外，还能 被其他一些自然数整除，这类自然数叫合数。
如4，6，8，9 ，15……
上面的分类方法将自然数分为质数、合数和1，1既不是质数也不是合数

例题精讲
知识要点
例1 1～100这100个自然数中有哪些是质数？
【分析】先把前100个数写下来，得下表

1既不是质数也不是合数。
2是质数，留下来，后面凡能被2整除的数都是合数，都划去；
3是质数，留下来，后面凡能被3整除的数都是合数，都划去；
类似地，把5留下来，后面凡是5的倍数的数都划去；
把7留下来，后面凡是7的倍数的数都划去。
经过以上的筛选，划去的都是合数，余下 26个数，除1外，剩下的25个都
是质数。这样，我们便得到了100以内的质数表：2，3，5，7 ，11，13，17，19，
23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67， 71，73，79，83，89，97。
这些质数同学们应当熟记！
细心的同学 可能会注意到，以上只划到7的倍数，为什么不继续划去11，13，
的倍数呢？事实上，这些倍数已包 含在已划去的倍数中。例如，100以内11的倍
数应该是11×A≤100（其中A为整数），

显然，A只能取2，3，4，5，6，7，8，9。因为4=2
2
， 6=2×3，8=2
3
，9=3
2
，
所以A必是2，3，5，7之一 的倍数。由此推知，11的倍数已全部包含在2，3，
5，7的倍数中，已在前面划去了。 要判断一个数N是质数还是合数，根据合数的定义，只要用从小到大的自然
数2，3，4，5，6， 7，8，……，N-1去除N，其中只要有一个自然数能整除N，
N就是合数，否则就是质数。但这样太 麻烦，因为除数太多。能不能使试除的数
少一点呢？由例1知，只要用从小到大的质数去除N就可以了。
例2 判断269，437 两个数是合数还是质数。
【分析】:对于一个不太大的数N ,要判断它是质数还是合数，可以先找出一个大

于N且最接近N的平方数K,再写出K以 内的所有质数。如果这些质数都不能整
除N，那么N是质数;如果这些质数中有一个能整除N,那么N是 合数。
因为269<17
2
=289。17 以内质数有2，3，5, 7, 11，13。根据能被某些数整除的
数的特征，个位数是9，所以269不能被2，5整除; 2+6+9=17, 所以269不能被3
整除。经逐一判断或试除知，这6个质数都不能整除269，
所以269是质数。

因为437 <21
2
=441。21以内的质数有2, 3, 5, 7, 11, 13，17,19。 容易判断437
不能被2，3,5，7,11整除，用13,17，19试除437，得到437÷ 19=23，
所以437
是合数。

对比一下几种判别质数与合数的方 法，可以看出例2的方法的优越性。判别
269，用2~268中所有的数试除，要除267个数;用2 ~268中的质数试除，要除41
个数;而用例2的方法，只要除6个数。
例3 判断数11111111是质数还是合数?
【分析】:按照例2的方法判别这个13位数是质数还是合 数，当然是很麻烦的事，
能不能想出别的办法呢?根据合数的意义，如果一个数能够写成两个大于1的整
数的乘积，那么这个数是合数。
根据整数的意义，这个13位数可以写成:
11
=00+1111111
=1111111 × ( 1000000+1 )
=1111111 × 1000001
由上式知，11111和1000001都能整除1, 所以1是合数。
这道例题又给我们提供了一-种判别一个数是质数还是合数的方法。

例4 判定2
98
+1和2
98
+3是质数还是合数?
【分析】:这道 题要判别的数很大，不能直接用例1、例2的方法。我们在四年
级学过a
n
的个位数的 变化规律，以及a
n
除以某自然数的余数的变化规律。2
n
的
个位数随着n的从小到大，按照2，4，8, 6每4个一组循环出现, 98+ 4=24……
2, 所以2
98
的个位数是4, (2
98
+1)的 个位数是5，能被5整除，说明
(2
98
+1)是合数
。
(29
98
+3)是奇数，不能被2整除;；2
98
不能被3 整除，所以(2*+3)也不能被3
整除; (2
98
+1) 能被5整除，(2
98
+3) 比(2
98
+1) 大2,所以(2
98
+3) 不能被5整除。再判
断(2
98
+3) 能否被7整除。首先看看2
n
÷7的余数的变化规律:
因为98÷3的余数是 2,从上表可知2
98
除以7的余数是4,(2
98
+3)除以7的余数是4+3=7，7能被7整除，即(2
98
+3)能被7整除，
所以(2
98
+3)是合数。
例5 已知A是质数，(A+10) 和(A+14) 也是质数，求质数A。
【分析】:从最小的质数开始试算。
A=2时，A+10=12， 12 是合数不是质数，所以A≠2。
A=3时，A+10=13，是质数; A+14=17也是质数，所以A=3是所求的质数。
除了A=3外，还可以是别的质数吗?因为质数有无穷多个，所以不可能一一
去试，必须采用其它方法。
A，(A+1)，(A+2)除以3的余数各不相同，而(A+1)与(A+10)除以3的余 数相
同，(A+2) 与(A+14) 除以3的余数相同，所以A,(A+10)，(A+14) 除 以3的余数
各不相同。因为任何自然数除以3只有整除、余1、余2三种情况，所以在A,(A+10) ，
(A+14) 中必有一个能被3整除。能被3整除的质数只有3,因为(A+10), (A+14)都
大于3，所以A=3。也就是说，本题唯一的解是A=3。

同步练习
1、现有1，3，5，7四个数字

（1）用它们可以组成哪些两位数的质数（数字可以重复使用）？



（2）用它们可以组成哪些各位数字不相同的三位质数？



2、a、b、c都是质数，a＞b＞c，且a×b+c=88，求a、b、c。



3、A是一个质数，而且A+6,A+8,A+8,A+14都是质数，试求出所有满足要求 的质
数。



4、判断a
66
+3
88
是不是质数？



5、把一个一位数的质数a写在 另一个两位数的质数b后边，得到一个三位数，
这个三位数是a的87倍，求a和b。






、
数学故事

哈代的失算
1940年，英国著名数论专家哈代(G. H. Hardy, 1877-1947)，在1940年他
的一本书《一个数学家的辩白》中写道：“真正的数学对战争没 有影响。还没有
人发现数论或是相对论服务于战争目的，在许多年内似乎也不会有人发现这件
事 。”可是到了1945年,世界已经目睹了哈代关于相对论对于战争无用的可怕的
否证:原子弹的爆炸， 至于他举出的另外一个例子———数论，这门“无用”的
学科所提供的各种安全体系，正用于控制(也许 某一天，用于发射)成百上千颗原
子弹;自从在广岛投下第一颗原子弹后，核导弹的数目已经大大地增加 了。数学
的发现在整个世界中到处都有可能预见的(或所需要的)应用。碰巧，哈代本人正
是从 事数论研究的，他自己的某些工作已经被证明有实用价值，尽管他自己宣称:
“我从未做过任何有实用价 值的事情。没有一项我的发现，对世界的舒适程度产
生(或可能产生)哪怕是最小的，直接或间接的，好 的或坏的响。”
纯粹数学中一些看起来无用而深奥的研究课题，居然成为现代安全体系的基础，这是在20世纪数学中发生的最有趣的故事,它向那些随意宣称某件科学工作
“毫无实用价值” 的人们响了警钟。










第四讲 最大公因数和最小公倍数


知识要点

最大公因数解题技巧：
通常从问题入手，所求 的数量处于小数（即处于除数、商、因数）的地位时，
因为小数（即处于除数、商、因数）是大数（即处 于被除数、被除数、积）的因
数，此时，所求的数量就处于因数的地位。如果出现相同的（公有的）最长 的
所求数量，即求他们的公因数最大公因数的应用题。
最小公倍数解题技巧：
通常 从问题入手，所求的数量处于大数（即处于被除数、被除数、积）的地
位时，因为大数（即处于被除数、 被除数、积）是小数（即处于除数、商、因数）
的倍数，此时，所求的数量应处于倍数的地位。如果出现 相同的（公有的）最
小的所求数量，即求他们的公倍数最小公倍数的应用题。
剩余定理
余数相同时，总数（被除数）=最小公倍数＋余数
缺数相同时，总数（被除数）=最小公倍数－缺数


例1 一张长方 形纸，长96厘米，宽60厘米，如果把它裁成同样大小且边
长为整厘米的最大正方形，且保持纸张没有 剩余，每个正方形的边长是几厘米?
每个正方形的面积是多少?可以裁多少个这样的正方形?
【分析】：根据“保持纸张没有剩余”，可知正方形的边长是长方形的长和宽
的因数，而且又是 “最大正方形”，说明是最大公因数，即可做出第一步和第
二步。最后一步可分步，先算出长上能裁几个 ，宽上能裁几个，即可求出总个数。
96和60的最大公因数是（96，60）=12
12×12=144（平方厘米）
例题精讲

96÷12=8 60÷12=5 8×5=40（个）
答：每个正方形的边长 是12厘米。每个正方形的面积是144平方厘米，可以
裁40个这样的正方形.
例2 张林、李强都爱在图书馆看书，张林每4天去一次，李强每6天去一
次，有一次他们两人在图书馆相遇， 至少再过多少天他们又可以在图书馆相遇?
【分析】：每隔一段时间他们在图书馆相遇，而这个时间就 是4和6的公倍数，
而题目中最后又是求“至少再过多少天”，所以就是求最小公倍数。可以用列举法或短除法求得。
［4，6］=12
答：至少再过12天他们又可以在图书馆相遇。
例3 用一个数去除52，余数是4，再用这个数去除40，余数也是4.这个
数最大是几？
【分析】：余数都 是4，可以先把余数去掉。52-4=48，40-4=36，剩下的48
和36说明刚好能整除这个数，而且要求最大，所以求的是48和36的最大公因
数。
52-4=48 40-4=36
（48，36）=12
答：这个数最大是12.
【检验】52÷12=4……4
40÷12=3……4
例4 有一批作业本，无论是平均分给12个人，还是10个人，都剩余4本，
这批作业本至少有多少本？ < br>【分析】：都剩余4本，可以先把余下的4本去掉。剩下的本数不管平均分给
12人，还是平均分 给10人，肯定都能整分，而且没有剩余，因此求出12和10
的公倍数，又要求“至少”，所以是最小 公倍数，根据“余数相同时，总数（被
除数）=最小公倍数＋余数”，即可求出。

［12，10］=60
60+4=64（本）
答：这批作业本至少有64本.
例5 有一条彩带，如果以9厘米为一段，剪成若干段后则余6厘 米；如果
以8厘米为一段，剪成若干段后则余5厘米。这条彩带至少长多少厘米？
【分析】： 由条件可知，彩带长度只要再多3厘米，就正好是9和8的公倍数，
也就是彩带的长度比9和8的公倍数 少3.求至少是多少厘米，就是用9和8的最
小公倍数减去3.
［9，8］=72 72-3=69（厘米）
答：这条彩带至少长69厘米。


1、有 -块长方形纸板，长24厘米，宽15厘米，将这块纸板裁成同样大小的正方
形，不能有剩余，每块小正 方形的边长是最长是多少?可以裁成多少块?




2、有一包 奶糖，无论分给6个小朋友，8个小朋友，还是10个小朋友，都正好
分完，这包糖至少有多少块?




3、某公共汽车站有三条不同线路，1路车每隔6分钟发一辆，2 路车每隔10分
钟发一辆， 3路车每隔12分钟发一辆，三路车在早上8点同时发车后，至少再
到什么时候又可以同时发车?

同步练习

4、把19支钢笔和23软面抄平 均奖给几个三好学生，结果钢笔多出了3支，软
面抄也多出了3本，得奖的学生最多有几人？



5、一个自然数，去除22少2，去除34也少2，这个自然数最大是几？



6、五年级同学参加社区服务活动，人数在40和50之间，如果分成 3人一组，4
人一组或6人一组都正好缺1人，五年级参加活动的一共有多少人？



7、有一篮子鸡蛋，二个二个去数，余1个；三个三个去数，余2个；四个四个
去数 余3个，这篮子鸡蛋至少有多少个？



7、一块砖底面长22厘米，宽 是10厘米，要铺成一个正方形地面（不要折断，
只能铺整砖），至少要多少块砖？





数学故事
在我国古代，人们就开始利用辗转相除法来求较大的两个数的最大公因数。

用辗转相除法求两个数的最大公因数的步骤的如下：
先用大的数除以小的数，得第一个余数；
再用小的数除以第一个余数,得第二个余数;
又用第一个余数除以第二个余数，得第三个余数.....
这样依次除下去，直到余数是0为 止。那么，最后一个除数就是所求的最大
公因数(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质数)。
例如，求195和900的最大公因数，
第一次:用900除以195,商4余120;
第二次:用195除以120,商1余75;
第三次:用120除以75,商1余45;
第四次:用75除以45,商1余30;
第五次:用45除以30,商1余15;
第六次:用30除以15,商2余0。
因此,195和900的最大公因数是15。
辗转相除法是求两个数的最大公因数的方法。如果求几个数的最大公因数，
可以先求两个数的最大公因 数，再求这个最大公因数与第三个数的最大公因数。
这样依次下去，直到最后一个数为止。最后所得的一 个最大公因数，就是所求的
几个数的最大公因数。








第五讲 分数的大小比较


知识要点

我们已经掌握了基础的比较整数，小数大小的 方法，怎样比较一些较复杂的
分数、式子的大小。通分比大小会显得特别麻烦。解决这类题目需要将原题 进行
各种形式的转化，再利用一些不等式的性质进行推理判断，如a＞b＞0，那么a
2
11a
＞b
；如果a＞b＞0，那么 ＜ 如果 ＞1，b＞0，那么a＞b等等。一般 情况
abb
2
下，两个分数的大小比较方法是：分母相同分子大的分数就大；分子相同 的分数，
分母大的反而小。

例题精讲
66+2
例1 比较分数
和 的大小。
1111+2
【分析】：交叉相乘法。交叉相乘法，就是把 第一个分数的分子与第二个分数
的分母相乘，把第一个分数的分母与第二个分数的分子相乘，再来比较这 两个积。
积大的分数就大。

6+21266+2
= ，6×22=132， 11×12=132，因为132=132，所以 =
11+2221111+2
5121520
例2 在 ， ， ， 这四个分数中，最大的是（ ），最小的是
13313851
（ ）。 < br>【分析】：通过分母、分子比较法。这里的几个分数分母比较大，不好通分。
但它们的分子比较有 特点。有时把每个分数的分母变为相同数比较麻烦时，我们
可以把分子变的相同，再来比较，分母小的那 个分数比较大。
560

= ， = ， = ， =
815251153

60606060
因为
＞ ＞ ＞
6
1520125
155
所以
＞ ＞ ＞ ，最大的是
，最小的是 。
3813
38513113
8393
例3 比较分数 和 的大小。
8797
【分析】：用和“1”比较法。由于这里的两个分数都比较接近1，所 以我们可以
先用1分别减去以上分数，通过比较所得的差的大小，再来判断原来分数的大小，
差 小的那个分数反而大。
1-
834934
= 1- =
87879797
44
＞
8797
8393
＜
8797
1
， b= ， c= ， d= ，则这a,b,c,d四个分数中，
1
因为
所以
例4 设a=
最大的是（ ），最小的是（ ）。
【分析】：用和“1”比较法 。由于这要求a，b，c，d中最大的数，先确定假
分数a和b一定大于真分数c和d，再将假分数101102
， 化成带分数进行比较。
100101
a=
10111022
=1 ， b= =1 ，所以b＜a,而c＜d, c＜d＜b＜a，因此最大
1
的是a，最小的是c.



同步练习

2、





3、





4、






数学故事

分数的通分方法，我国古代称之为“齐同术”。著名数学 家刘徽在《九章算
术》“合分术”的注文中这样写道：“凡母互乘子谓之齐，群母相乘谓之同。同者，< br>相与通同，共一母也。齐者，子与母齐，势不可失本数也。”刘徽在这段注文中
定义了“齐同术” 。并且指出通分运算包括“齐”与“同”两个方面：“同”指名个分母
相乘，也就是求公分母（“共一母 ”）；“齐”指分母互乘各分子，也就是使分数的
分子和分母扩大相同的倍数（“子与母齐”），以保证 其值不变（“不可失本数也”）。
“母同、子齐”是“齐同术”不可缺的两个方面，“同”（即分母同） 是为了分数间相
通；“齐”是保证分数“形变值不变”。
在《九章算术》“少广术”中 还采用了“边通边约”的方法，也就是保证最后得
123
到的公分母是两个分数的最小公倍数。 例如，要把
、 、 通分，先求出三个
234
12618
分数的公分母2×3×4=24，把它们分别化成 、 、 ，再求出12、16、18、
242424
24的最大公因数2，用2进行约分，得到












689
、 、 。
121212
第六讲 分数的加减计算技巧

知识要点

在计算分数 加减法时，先将其中一些分数适当地拆开，使得拆开后的一些分数
可以互相抵消，以达到简便计算的目的 ，这种方法我们称为裂项法。本节我们将
研究一些有规律的分数数列求和或求差，利用拆、裂项等方法进 行巧算。解答这
类题首先要掌握分数拆项的公式，然后灵活运用拆项公式进行巧算，有些分数巧
算时还要运用找规律的方法巧算。拆项的基本公式：
111
（1） = −
n(n+1)nn+1
1111
（2） =（ − ）× （n、d均为非0自然数）
n(n+d)nn+dd

例题精讲
例1 将下面的分数拆项成两个不同单位分数相减的形式
1111
（1） （2） （3） （4）
9×10301×435
【分析】第（1）（2）两题可以 直接根据公式（1）拆项得出结果。第（3）小
11
题可以先把分数改写成 = ，然后运用公 式（2）写出结果。第（4）
1×41（1+3）
111
小题可以先变形为 = = ，再根据公式（2）写出结果。
355×75×（5+2）
1111111
（1） = − （2） = = −
9×10910305×656
111111
（3） = =（1- ）× =（1− ）×
1×41×（1+3）1+3343
111111
（4） = = =（ − ）×
355×75×（5+2）57 2
例2 在下面算式的方框中，填入适当的不同整数。

1112111
（1）
= + （2） = + +
12□□5□□□
【分析】在（1）中，先找 出12的两个因数，再把原分数的分子和分母都乘以
这两个因数之和，然后新得到的分数就可以拆成两个 不同分数的和。例如，12
11×（2+3）2+32311
的因数有2和3， = = = + = +
1212×（2+3）6060603020
2444×（1+2+5）
第（2）题中，先把 写成分母是10的分数，变为 。 =
5101010×8
4+8+204820111
= = + + = + + 。
80 80 80 80 20 10 4
11111
例3 计算 + + + +
2 6 12 30 42
【分析】：利用裂项公式（1），在计算若十个分数之 和时，将每个分数分解
1
成两个分数之差，并且使中间的分数相互抵消，就可以使运算简便。比 如：
6
=
111
= −
2×3 2 3
111111
+ + + + +
2 6 12 20 30 42
11111
1
= +
+ + + +
1×2
2×3 3×4 4×5 5×6 6×7
1111111111
1
=（1−
）+（
− ）+（ − ）+（ − ）+（ − ）+（ − ）
2
2 3 3 4 4 5 5 6 6 7
1111111111
1
=1− +
− + − + − + − + −
2
2 3 3 4 4 5 5 6 6 7
1
=1-

7
6
=
7

1111
例4 计算
+ + +……+
5×8 8×11 11×14 98×101
【分析】：根据裂项公式（1），先将每个分数都分解成两个分数 之差，并且使中
间的分数相互抵消。
1111
+ + +……+
5×8 8×11 11×14 98×101

=（ − ）× +（ − ）× +（ − ）× +……+( − ）
5 8 3 8 11 3 11 14 3 98 101
1
×
3
111111111
= ×［（ − ）+（ − ）+（ − ）+……+( − ）］
3 5 8 8 11 11 14 98 101
111
= ×［ − ］
3 5 101
196
= ×
3 505
32
=
505
11111111
例5 计算1+3
+5 +7 +9 +11 +13 +15 +17
6 12 20 30 42 56 72 90
【分析】：先将每个带分数都分解成一个整数和一个分数的和。整数与整 数相加，
分数部分利用例3讲解的方法进行简便计算。
11111111
计算1+3 +5 +7 +9 +11 +13 +15 +17
6 12 20 30 42 56 72 90
11111111
=（1+3+5+7+9+11+13+15+17）+（
+
+ + + + + + ）
6 12 20 30 42 56 72 9 0
1111111
=［（1+17）+（3+15）+（5+13）+（7+11）+9］+［ - + - + - +
2 3 3 4 4 5 5

111111111
- + - + - + - + - ］
6 6 7 7 8 8 9 9 10
11
=81+（ - ）
2 10
2
=81+
5
2
=81
5


同步练习
411
1、
= +
5□□


111
2、
计算
+ +……+
2×3 3×4 2008×2009




3、



4、

5、






数学故事

悟空分草莓
老博 士和孙悟空边说边走。突然，从草丛中跳出一只兔子、一只松鼠和一只
刺猬。它们围着一堆草莓又蹦又跳 。老博士问孙悟空:“它们在干什么呀?”孙悟
空说:“我去看看。”说完，就摇身一变，变成了一只山 羊走了过去。
变成山羊的孙悟空凑到小兔身边说:“你们又蹦又跳，吵吵闹闹的，干什么呢?”
兔子说:“我们分草莓呢。在采集草莓之前，我们说定了，我分得的草莓松鼠分
得的2倍。”松鼠跑过 来说：“大家说好的，我比刺猬多分10个。”刺猬说：“我
知道我分得的最少，可是我该分多少个草莓 呢？”
孙悟空问:“你们一共采回多少草莓？”
兔子说:“我刚数过，一共是110个草莓。”
孙悟空对着兔子、松鼠、刺猬指手画地讲 了起来：“知道一共有多少草莓就好
算了。应该把草莓数作总体1，也就是1份的意思。既然兔子分得的 草莓松鼠分
得的2倍。那么兔子要分2份。”
兔子跑到草莓堆前说：“这110个草莓算1份 ，我应该分2份，可是那1份在
哪儿？”孙悟空张口结舌说：“这个……”
松鼠、刺猬也一齐 对孙悟空说:“兔子把草莓都拿走了，我们吃什么？”这下

孙悟空更回答不上来了，争得 直抓耳挠腮。
孙悟空赶紧恢复原身，对老博士说:“不灵，不灵!我按山羊的算法帮它们分
草 莓，怎么也算不对！真让我丢人现眼！”
老博士还是微笑着说:“你先别急，你先说说它们让你怎么分。”
孙悟空一五一十把刚才的事情 说了一遍。老博士说：“你既然已经知道草莓的
总数是110个，那就不用再设总数为1了。”
孙悟空问:“那么这次该设什么为1呢?老博士说:“可以设兔子分得的草莓
11
数为1，这样松鼠分得 ,刺猬分得 还少10个。”
22
孙悟空又抓耳挠腮地问: “少10个怎么办?”老博士说:“如果给刺猬增加10
1
个草莓，刺猬也分得 了。”
2
孙悟空对老博士说:“我去找10个草莓来。”说完腾空而起。老博士赶忙阻拦
说:“你不用真的去找，我这是给你分析解题思路。”
老博士在地上画了一个图说:“假如给刺 猬加10个草莓，兔子、松鼠所占的份
1
数不变，刺猬也能占到 份了。”孙悟空连忙说:“画图真好。从图上看一目了然。
2
我会算了。”

11
(110+10)÷(1+ + )
22
=120÷2
= 60(个)

孙悟空在地上写了个算式说:“我先求出1份的草莓是60个。这就是说兔子分
得60个，松鼠分得30个，而刺猬分得20个。合起来正好是110个。”
孙悟空又立刻变作山羊,按算好的数把草莓分给了兔子、松、刺猬，它们又高
兴又感激。
孙悟空恢复原身,摸着自己的脑袋想:“人家都说我的脑袋灵，为什么一做题
我就总算不好呢?”他就来 问老博士。

他对老博士说:“师父，你能不能把解数学题的秘诀教给我?”老 博士生气地
说:“哪有什么秘诀?要靠自己多下工夫。”
老博士说完，站起来就走。孙悟空紧紧跟在后面。






















第七讲 组合图形的周长和面积1




知识要点

在求一个图形的面积和周长之前，需要先明白这两个概念。环绕有限面积的
区域边缘的长度积分，叫 做周长，也就是图形一周的长度。周长用字母C表示。
多边形的周长的长度也
相等于图形所有边 的和。物体所占的平面图形的大小，叫做
它们的面积。面积就是所占平面图形的大小。用字母S表示。平 方米，平方分米，
平方厘米，是公认的面积单位，用字母可以表示为（m²，dm²，cm²）。 组合图形:是由几种基本图形（三角形、平行四边形、长方形、正方形、梯形、
圆）组合而成的较复 杂的平面图形。求组合图形的面积就是对组合图形进行分割
或添补转化为我们学过的三角形、平行四边形 、梯形、圆等的面积来求解。
常见的平面图形的周长和面积公式如下：
长方形周长=（长+宽）×2 长方形面积=长×宽
正方形周长=边长×4 正方形面积=边长×边长
圆的周长=直径×圆周率（或圆的周长=半径×圆周率×2）
圆的面积=半径×半径×圆周率 三角形面积=底×高÷2
平形四边形面积=底×高 梯形面积=（上底+下底）×高÷2


例题精讲
例1 求阴影部分的周长和面积。（单位：厘米）

【分析】：阴影部分的周长只要求出三个半圆周 长的一半，再相加即可。阴影
部分的面积就是用上面最大半圆的面积减去白色半圆的面积就是上面阴影部 分
的面积，下面阴影面积就是最小半圆的面积，再把两者加起来。
周长：4+2=6厘米 6×3.14÷2=9.42厘米
4×3.14÷2=6.28厘米 2×3.14÷2=3.14厘米
9.42+6.28+3.14=18.84厘米

面积：（4+2）÷2=3厘米 4÷2=2厘米
3×3×3.14÷2 2×2×3.14÷2
=9×3.14÷2 =4×3.14÷2
=14.13平方厘米 =6.28平方厘米
2÷2=1厘米 1×1×3.14÷2=1.57平方厘米
14.13-6.28+1.57=9.42平方厘米
例2 求下图中阴影部分的周长和面积。





【分析】： 阴影部分的周长只要求出两个扇形周长的和，再和两条线段相加即
可。两个扇形周长加起来刚好是圆周长 的一半。阴影部分的面积就是用长方形的
面积减去两个空白扇形的面积，而两个扇形的面积加起来刚好是 一个半圆的面积，
所以就用长方形的面积减去半圆的面积即可。
周长：5-2=3厘米
2×2×3.14÷2=6.28厘米
3+3+6.28=12.28厘米
面积：5×2=10平方厘米
2×2×3.14÷2=6.28平方厘米
10—6.28=3.72平方厘米
例3 右图中正方形的面积是8平方厘米，请算出黄色部
分的面积。
【分析 】：已知正方形的面积是8平方厘米，正方形的面
积=边长×边长，而正方形的边长正好是圆的半径，也 就是半
径×半径=8，而圆的面积=半径×半径×3.14，所以也就能求出圆的面积了。黄
3
色部分的面积刚好是圆面积的 ,也就能算出来了。
4

8×3.14=25.12平方厘米
25.12÷4×3=18.84平方厘米
例4 右图中，正方形的面积是10平方厘米。圆的面
积是多少平方厘米？
【分析】：这道题和上道 题有点类似，都是已知正方形的面
积，但是这道题正方形的边长却不是圆的半径，这是区别。题
目告诉正方形的面积是10平方厘米，可以画两条辅助线，第一条是正方形的一
条对角线，也是圆的一条 直径，这样把正方形分成两个三角形，每个三角形的面
积 是10÷2=5平方厘米，第二条是圆的一条 半径，而三角形的面积=底×高÷2，
即半径×直径÷2=5，把直径换成两个半径，即半径×半径×2 ÷2=5，所以半径
×半径=5，这时就和例3后面相同，就能求出圆的面积了。
10÷2=5平方厘米
5×3.14=15.7平方厘米
答：圆的面积是15.7平方厘米。
例5 右图中，正方形的边长是10厘米，求图中阴
影部分的面积。
【分析】：把这个图形作辅助线 如更下图所示，可以
看出空白的部分可以分为两部分，一个是中间的空白处，
另外就是四个角处 的空白部分，而且这两部分的面积是相
等的。所以先用正方形的面积减去一个整圆的面积，得空
白部分的一半（如图所示）再用正方形的面积减去全部空白部分。






空白部分的一半：10×10=100平方厘米

（10÷2）×（10÷2）×3.14
=5×5×3.14
=25×3.14
=78.5平方厘米
100-78.5=21.5平方厘米
阴影部分的面积：
10×10-21.5×2
=100-43
=57平方厘米

同步练习

1、求阴影部分的面积。（单位：厘米）

2、如下图，涂色部分是正方形，你能求出图中最大长方形的周长吗？








27厘米
3、求右图中阴影部分的面积。（单位：厘米）



19厘米

4、求下面图形中阴影部分的面积。（单位：厘米）

5、求下面图形中阴影部分的面积。（单位：厘米）




圆周率π的发展史
几千年以来，无数著名的数学家对圆周率π的研究倾注了毕生的心血，正如
一位英国数学家所说:“这个奇妙的3.14159溜进了每一扇门，冲进了每一扇窗，
钻进了 每一个烟囱。”对π的整个研究，可以分为四个阶段:
第一阶段:π值早期研究阶段。
代表 人物为古希腊的数学家阿基米德、中国大数学家刘徽、祖冲之，其中阿
基米德是世界上最早进行圆周率计 算的人。所以说，圆周率就用希腊文“圆周”
一 词的第一个字母“π”表示。在我国使用的第一个圆周 率是3,这个误差极大
的值一直沿用到汉朝。汉朝数学家刘徽将圆周率进一步精确到3.1416。南北 朝
数学家祖冲之算出π的值在3.1415926与3. 1415927之间，与π的误差小于
0. 000001。
第二阶段:采用“割圆术”求π值阶段。
1427年，阿拉伯数学家阿尔·卡西把π值算到小数点后面16位。
数学故事