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【数学故事:陈景润】

这曾是一个举世震惊的奇迹：一位屈居于 六平方米小屋的数学家，借一盏昏暗的煤油灯，伏在床板上，
用一支笔，耗去了几麻袋的草稿纸，攻克了 世界著名数学难题“哥德巴赫猜想”中的“１＋２”，创造了
距摘取这颗数论皇冠上的明珠“１＋１”只 是一步之遥的辉煌。
创造这个奇迹的正是我国著名数学家陈景润。
陈景润１９３３年５ 月２２日生于福建省福州市。他从小是个瘦弱、内向的孩子，却独独爱上了数学。
演算数学题占去了他大 部分的时间，枯燥无味的代数方程式使他充满了幸福感。１９５３年，陈景润毕业
于厦门大学数学系。由 于他对数论中一系列问题的出色研究，受到华罗庚的重视，被调到中国科学院数学
研究所工作。 上世纪５０年代，陈景润对高斯圆内格点问题、球内格点问题、塔里问题与华林问题的以往结果，作
出了重要改进。上世纪６０年代后，他又对筛法及其有关重要问题，进行广泛深入的研究。
“哥德巴 赫猜想”这一２００多年悬而未决的世界级数学难题，曾吸引了各国成千上万位数学家的注
意，而真正能 对这一难题提出挑战的人却很少。陈景润在高中时代，就听老师极富哲理地讲：自然科学的
皇后是数学， 数学的皇冠是数论，“哥德巴赫猜想”则是皇冠上的明珠。这一至关重要的启迪之言，成了
他一生为之呕 心沥血、始终不渝的奋斗目标。
为证明“哥德巴赫猜想”，摘取这颗世界瞩目的数学明珠，陈景润以 惊人的毅力，在数学领域里艰苦
卓绝地跋涉。陈景润宿舍的灯光经常亮到天亮，他对“哥德巴赫猜想”达 到了入迷的程度。在图书室看书
时，管理员喊下班了，他一点也不知道，等到肚子饿了才想到吃饭，他匆 匆向外走去，结果是“铁将军”
把门。他笑了笑，又转身回到书库，重新钻进了书的海洋。他走路也是边 想边走，有一次他碰到路旁的大
树上，连忙道歉，可是并没有反应，他仔细一看，才知道自己碰的是一棵 茂盛的白杨树。
１９６６年，陈景润患严重的结核性肺膜炎，有时疼得昏了过去，可醒来又继续演算 。有一次他又昏
倒了，同志们把他送进了医院。醒来后，他又要他的书和笔。大夫让他全休一个月，他却 偷偷地跑出了医
院，病魔也没有使他停止对“哥德巴赫猜想”的研究。
辛勤的汗水换来了丰硕 的成果。１９７３年，陈景润终于找到了一条简明的证明“哥德巴赫猜想”的
道路，当他的成果发表后， 立刻轰动世界。其中“１＋２”被命名为“陈氏定理”，同时被誉为筛法的“光
辉的顶点”。华罗庚等老 一辈数学家对陈景润的论文给予了高度评价。世界各国的数学家也纷纷发表文章，
赞扬陈景润的研究成果 是“当前世界上研究‘哥德巴赫猜想’最好的一个成果”。
陈景润研究“哥德巴赫猜想”和其他数论 问题的成就，至今仍然在世界上遥遥领先。世界级的数学大
师、美国学者阿·威尔曾这样称赞他：“陈景 润的每一项工作，都好像是在喜马拉雅山山巅上行走。”１
９７８年和１９８２年，陈景润两次受到国际 数学家大会作４５分钟报告的最高规格的邀请。
此外，陈景润还在组合数学与现代经济管理、尖端技 术和人类密切关系等方面进行了深入的研究和探
讨。他先后在国内外报刊上发表了科学论文７０余篇，并 有《数学趣味谈》《组合数学》等著作，曾获国
家自然科学奖一等奖、何梁何利基金奖、华罗庚数学奖等 多项奖励。
陈景润在国内外都享有很高的声誉，然而他毫不自满，他说：“在科学的道路上我只是翻 过了一个小山包，
真正高峰还没有攀上去，还要继续努力。”
１９９６年３月１９日，在患 帕金森氏综合征１０多年之后，由于突发性肺炎并发症造成病情加重，
陈景润终因呼吸循环衰竭逝世，终 年６３岁。
第二讲 圆与扇形
【核心观点】

⑴圆的周长
2

r

⑶扇形的面积


r
2
⑵圆的面积


r

⑷扇形的弧长
2

r
2
n

360

n

360
⑸正方形面积
AB
2
1
AC
2
（如图）.
2
D
r
r注：如无特殊说明，圆周率都取

3.14

C
n°
AB

【典型问题】
【问题1】如下图所示，20 0米赛跑的起点和终点都在直跑道上，中间的弯道是一个半圆。已知每条跑道
宽1.22米，那么外道的 起点在内道起点前面多少米？（精确到0.01米）
【解析】





【问题2】左下图中四个圆的半径都是5厘米，求阴影部分的面积。
【解析】





【问题3】草场上有一个长 20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的
一角用长30米的绳子拴着一只羊（见左下图）。问：这只 羊能够活动
的范围有多大？
【解析】
【问题4】右图中阴影部分的面积是2.28厘米
2
，求扇形的半径。
【解析】



45°



【问题5】右图中的圆是以O为圆心、半径是10厘米的圆，阴影部分由扇形
C
CAB和圆的两 段弧所围成，求阴影部分的面积。
R
r
【解析】
A
B

O




【问题6】有七根直径5厘米的塑料管，用一 根橡皮筋把它们勒紧成一捆（如左下图），此时橡皮筋的长
度是多少厘米？

【解析】






【问题7】求下列各图中阴影部分的面积：

【解析】




【问题8】如图，有8个半径为1厘米的小圆，用它们的圆周的一部分
瓣 图形，图中的黑点是这些圆的圆心．如果圆周率

取3.1416，那么花
积是多少平 方厘米?
【解析】




【问题9】如图，大小两圆 的相交部分(即阴影区域)的面积是大圆
是小圆面积的．如果量得小圆的半径是5厘米，那么大圆半径是

连成一个花
瓣图形的面
面积的
4
，
15
3
5
多少厘米?
【解析】





【问题10】如图，在18×8的方格纸上，画有1，9，9，8四个数字．那么，图中的阴 影面积占整个方格
纸面积的几分之几?
【解析】







【问题11】如图，已知大正方形的面积是22平方厘米，那么小正方形的面
方厘米?
【解析】




积是多少平

【问题12】右图中4个圆的圆心是正方形的4个顶点,它们的公共点是该正方形的中心.如果每个圆的半径都是1厘米,那么阴影
部分的总面积是多少平方厘米?
【解析】







【问 题13】如图所示,一块半径为2厘米的圆板,从平面
沿线段AB、BC、CD滚到2的位置,如果AB 、BC、CD
20厘米,那么圆板的正面滚过的面积是多少平方厘米?
【解析】


【试试看】
1、算出圆内正方形的面积为 .
【解】
6厘米




2、右图是一个直角等腰三角形,直角边长2厘米,图中阴影部分面积是 平方厘米.
【解】


3、一个扇形圆心角
120
,以扇形的半径 为边长画一个正方形,这个
是120平方厘米.这个扇形面积是 .
【解】



E

4、如图所示,以B、C为圆心的两个半圆的直径都是2厘米,则阴
周长是 厘米.
A B
C
【解】



5、三角形ABC是直角三角形,阴影部分①的面积比阴影部分②的面积小
28平方厘米. AB长40厘米, BC长 厘米.
【解】






6、如右图,阴影部分的面积为2平方厘米,等腰直角三角形的面积为 .
上1的位置
的长都是
正方形的面积
影部分的
D

【解】







7、扇形的面积是31.4平方厘米,它所在圆的面积是157平方厘米,
角是 度.
【解】


8、图中扇形的半径OA=OB=6厘米.
AOB45
, AC垂
那么图中阴影部分的面积是 平方厘米.
【解】








9.右图中正方形周长是20厘米.图形的总面积是 平方厘米.
【解】








10、在右图中(单位:厘米),两个阴影部分面积的和是 平方厘米.
【解】




















这个扇形的圆心
直OB于C,

【试试看参考答案】
1、算出圆内正方形的面积为 .
【解】由图示可知,正方形两条对角线的长都是6厘米,
正方形由两个面积相等的三角形构成.三角形底为6厘米,
高为3厘米,故正方形面积为
63
6厘米
1
218
(平方厘米).
2

2、右图是一个直角等腰三角形,直角边长2厘米,图中阴影部分面积是 平方厘米. 【解】由图示可知,图中阴影部分面积为两个圆心角为
45
的扇形
三角形的面积.
即
3.142

3、一个扇形圆心角
120
,以扇形的 半径为边长画一个正方形,这个正方形的面积是120平方厘米.这个扇形
面积是 .
【解】由已知条件可知圆的半径的平方为120平方厘米.故扇形面积为
3.14120< br>米).

4、如图所示,以B、C为圆心的两个半圆的直径都是2厘米,则阴
周长是 厘米.
A
【解】连结BE、CE,则BE=CE=BC=1(厘米),
故三角形BCE为等边三角形.
于是
EBCBCE60
.BE=CE=
3.142
E
影部分的
B
C
D
2
面积减去直角
451
2221.14
(平方厘米).
3602
120
125.6
(平方厘
360
60
1.045
(厘米).
360
于是阴影部分周长为
1.045213.09
(厘米).

5、三角形ABC是直角三角形,阴影部分①的面积比阴影部分②的面积小28平方厘米. AB长40厘米, BC
长 厘米.
【解】从图中可以看出阴影部分①加上空白部分的面积是半圆的面积,
阴影部分②加上空白部分的面积是三角形ABC的面积.
又已知①的面积比②的面积小28平方厘米,
故半圆面积比三角形ABC的面积小28平方厘米.

40

1< br>半圆面积为
3.14

628
(平方厘米),
2

2
三角形ABC的面积为628+28=656(平方厘米).
BC的长为
65624032.8
(厘米).
6、如右图,阴影部分的面积为2平方厘米,等腰直角三角形的
为 .
【解】将等腰直角三角形补成一个正方形,
面积
2
x
厘米.
2
1
图中阴影部分面积是正方形与圆的面积之差的,
8
设正方形边 长为x厘米,则圆的半径为
3200

1

2
2
于 是有
x3.14

x

82
,解得
x
.
43
2

2

故等腰直角三角形的面积为
320019
37
(平方厘米).
43243
7、扇形的面积是31.4平方厘米,它所在圆的面积是157平方厘米,这个扇形的圆心角
是 度.
【解】扇形面积是圆面积的
31.4157
11
,故扇形圆心角为
360
的即
72
.
55
直OB于C,
边,AO边上的
8、图中扇形的半径OA=OB=6厘米.
AOB4 5
, AC垂
那么图中阴影部分的面积是 平方厘米.
【解】三 角形ACO是一个等腰直角三角形,将AO看作底
高为
AO2623
(厘米) ,
故三角形ACO的面积为
1
639
(平方厘米).
2
而扇形面积为
3.146
2
45
14.13
(平方厘 米),
360
从而阴影部分面积为14.13-9=5.13(平方厘米).
9.右图中正方形周长是20厘米.图形的总面积是 平方厘米.
【解】由正方形 周长是20厘米,可得正方形边长也就是圆的半径为
积,即
2045
(厘米). 图形总面积为两个
3
圆面积加上正方形的面
4
3
3.145
2
25
2
142.75
(平方厘米).
4

10、在右图中(单位:厘米),两个阴影部分面积的和是
米.
【解】图 中阴影部分的面积是从两个以直角三角形直角
圆及一个直角三角的面积和中减去一个以直角三角形斜圆的面积







96 平方厘
边为直径的半
边为直径的半