国外野鸡大学-党在我心中的演讲稿

三角函数公式
三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数。它们的本质是任何 角的集合与一个比值
的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域 为整个实数域。
另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微 分方程的
解，将其定义扩展到复数系。
三角函数公式看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函 数的本质及内部规律，就会发现三角函
数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质 也是学好三角函数的关键所在。
定义式
锐角三角函数

任意角三角函数
图形
直角三角形
任意角三角函数
正弦（sin）
余弦（cos）
正切（tan或t
g）
余切（cot或ct
g）
正割（sec）
余割（csc）
表格参考资料来源：现代汉语词典
[1]
．

函数关系
倒数关系：①
商数关系：①
平方关系：①
；②
；②
；②
；③
．
；③ ．

诱导公式
公式一：设 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

公式二：设 为任意角， 与 的三角函数值之间的关系：

公式三：任意角 与 的三角函数值之间的关系：

公式四： 与 的三角函数值之间的关系：

公式五： 与 的三角函数值之间的关系：

公式六： 及 的三角函数值之间的关系：

记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限
[2]
．即形如（ 2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，
正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切 。形如2k×90°±α，则函数名称不变。
诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把< br>α看作锐角时原三角函数值的符号；
(2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符
号。
记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限：

记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角．
以诱导公式二为例：

若将α看成锐角（终边在第一象限），则π+α是第三象限的角（终边在第三象限），正弦函 数
的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得到了诱导公式二．
以诱导公式四为例：


若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终边在第二象限），正弦函数的
三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值
在第 二象限是负值．这样，就得到了诱导公式四．
诱导公式的应用：
运用诱导公式转化三角函数的一般步骤：


特别提醒：三角函数化简 与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角的三角函数值；②注意诱导
公式的灵活运用；③三角函数化简的 要求是项数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，
易求值最好。
基本公式
和差角公式

二角和差公式

证明如图：负号的情况只需要用- β代替β即可．cot(α+β)推导只需把角α对边设为1，过程与
tan(α+β)相同．
证明正切的和差角公式

证明正弦、余弦的和差角公式

三角和公式

和差化积公式


口诀：正加正，正在前，余加余，余并肩，正减正，余在前，余减余，负正弦．
积化和差公式





倍角公式

二倍角公式

三倍角公式





证明：

sin3a
=sin(a+2a)
=sin^2a·cosa+cos^2a·sina
=2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina

=3sina-4sin^3a
cos3a
=cos(2a+a)
=cos^2acosa-sin^2asina
=(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^2a)cosa
=4cos^3a-3cosa
sin3a
=3sina-4sin^3a
=4sina(34-sin^2a)
=4sina[(√32)-sina][(√32)+sina]
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)
=4sina*2s in[(60+a)2]cos[(60°-a)2]*2sin[(60°-a)2]cos[60°+a)2 ]
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)
cos3a
=4cos^3a-3cosa
=4cosa(cos^2a-34)
=4cosa[cos^2a-(√32)^2]
=4cosa(cosa- cos30°)(cosa+cos30°)
=4cosa*2cos[(a+30°)2]cos[ (a-30°)2]*{-2sin[(a+30°)2]sin[(a-30°)2]}
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)
上述两式相比可得：
tan3a=tana·tan(60°-a)·tan(60°+a)
四倍角公式
sin4a=-4*[cosa*sina*(2*sin^2a-1)]
cos4a=1+(-8*cos^2a+8*cos^4a)
tan4a=(4*tana-4*tan^3a)(1-6*tan^2a+tan^4a)
五倍角公式



n倍角公式
应用欧拉公式：

.
上式用于求n倍角的三角函数时，可变形为：

所以

其中，Re表示取实数部分，Im表示取虚数部分．而

所以
n倍角的三角函数

半角公式


（正负由 所在的象限决定）

万能公式


辅助角公式


．
证明：由于 ，显然 ，且

故有：

其他公式
编辑

正弦定理

余弦定理

详见词条：正弦定理

在任意△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c ，三角形外接圆的半径为R．则有

[3]
：

正弦定理变形可得：

余弦定理

详见词条：
余弦定理
余弦定理

对于如图所示的边长为a、b、c而相应角为α、β、γ的△ABC，有：

也可表示为：

降幂公式

sin²α=[1-cos(2α)]2
cos²α=[1+cos(2α)]2
tan²α=[1-cos(2α)][1+cos(2α)]
三角和

s in(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ· sinγ-sinα·sinβ·sinγ
cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ- cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ- tanα·tanβ·tanγ)÷(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

幂级数

c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)
c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)
它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常数， 这种级数称为幂级数。
泰勒展开式

泰勒展开式又叫幂级数展开法
f(x)=f(a)+f'(a )1!*(x-a)+f''(a)2!*(x-a)2+...+f(n)(a)n!*(x-a)n+…
实用幂级数：
ex= 1+x+x22!+x33!+…+xnn!+…,x∈R
ln(1+x)=x-x22+x33-…+(-1)k-1xkk, x∈(-1,1)
sin x = x-x33!+x55!-…+(-1)k-1x2k-1(2k-1)!+…, x∈R
cos x = 1-x22!+x44!-…+(-1)kx2k(2k)!+…, x∈R
arcsin x = x + x3(2*3) + (1*3)x5(2*4*5) +
(1*3*5)x7(2*4*6*7)…+(2k+1)!!*x2k+1(2k!!*(2k+1))+…, x∈(-1,1)（!!表示双阶乘）[4]
arccos x = π2 -[x + x3(2*3) + (1*3)x5(2*4*5) + (1*3*5)x7(2*4*6*7)……], x∈(-1,1)
arctan x = x - x33 + x55 -…, x∈(-∞,1)
sinh x = x+x33!+x^5!+…+x2k-1(2k-1)!+…, x∈R
cosh x = 1+x22!+x^44!+…+x2k(2k)!+…, x∈R
arcsinh x =x - x3(2*3) + (1*3)x5(2*4*5) -(1*3*5)x7(2*4*6*7)…, x∈(-1,1)
arctanh x = x + x33 + x55 + …, x∈(-1,1)
在解初等三角函数时，只需记住公式便可轻松作答 ，在竞赛中，往往会用到与图像结合的方法
求三角函数值、三角函数不等式、面积等等。
傅里叶级数

傅里叶级数
傅里叶级数又称三角级数
f(x)=a02+∑(n=0..∞) (ancosnx+bnsinnx)
a0=1π∫(π..-π) (f(x))dx
an=1π∫(π..-π) (f(x)cosnx)dx
bn=1π∫(π..-π) (f(x)sinnx)dx