二倍角正弦、余弦、正切公式教(学)案
上海医疗器械专科-退伍军人贷款
.
二倍角的正弦、余弦、正切
王业奇
教案设计说明
教
材
分
析
教
学
对
象
分
析
⑴二倍角公式的重要性:三角函数
是高中数学重要容之一,而二倍角公式又是三角函数
中的重中之重,有着广泛的实际应用,在高考中占有
相当大的比重;
⑵本节重点:二倍角公式的推导;二倍角公式的简单应用;
⑶教学要求:引
导学生发现数学规律;让学生体会化归这一基本数学思想在发现中所起
的作用;培养学生的创新意识;
⑷课时分配:3课时;
⑴教学对象:省一级重点中学高一学生
⑵学生情况分析:
①相对于同年龄层次的学生而言,数学基础较扎实,对数学求知欲较强,有不断自我提
升的需要
;
②对于知识的掌握程度还停留在表层,把知识只做为一个个独立的模块来认识,没有把
知识
与知识互相联系起来对待;
③领悟能力强,模仿创新能力强;
基本观点:⒈数学是一门逻辑性很强的学科,知识与知识之间有着很强的联系性,只要
找到它们之间的规律,就会对新的知识有比较深刻的理解;
⒉学习三角函数,特别是两角和差的正弦
、余弦、正切公式与二倍角公式时,
教许多学生往往因为记不住公式而烦恼,这主要是因为学生没有很好
的利用
学这些公式之间的关系,没有很好地理解公式,只是一味地死记硬背;
设基本思路:让学生推导倍角公式,从而了解它们之间、以及它们与和角公式之间的在联
计
系,从而加深对倍角公式的理解,同时培养逻辑推理能力;
教学过程
程
序
教学行为 教学意图
由已掌握
的认识得
出本节课
所要学
习
的容,找
到知识之
间的联系
一、复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式:
知
sin
sin
cos
cos
sin
识
引
cos
cos
cos
sin
sin
入
tan
tan
tan
1tan
tan
. .
.
二、提出问题:若
,则得二倍角的正弦、余弦、正切公式。
让学生板演得下述二倍角公式:
sin2
2sin
cos
cos2
cos
sin
2cos
112sin
2222
2tan
tan2
1tan
2
cot
2
1<
br>cot2
2cot
剖析:1.每个公式的特点,嘱记:尤其是“倍角”
的意义是相对
的,如:是的倍角。
48
2.熟悉“倍角”与“二次”的关系(升角—降次,降角—
升次)
3.特别注意这只公式的三角表达形式,且要善于变形:
1cos21cos2
cos
2
这两个形式
,sin
2
22
今后常用
程
序
知
识
巩
固
教学行为 教学意图
对公式的反复的基
础运用,
以加深影
响,并由
此得到一
些公式的
变形
一、例题:
例一、(公式巩固性练习)求值:
12
1.sin22
30’cos2230’=
sin45
24
2.
2cos
2
2
1cos
42
8
3.
sin
2
2
cos
2
cos
42
88
4848
2412
1
4sincoscos2sincossin
242412121262
4.
8sin
cos
co
s
cos
例二、
5
5
5
5
cos)(sincos)
1
.
(sin
12121212
sin
2
5
5<
br>
5
3
cos
2
cos
121262
. .
.
知
识
巩
固
2.
cos
4
sin
4
(cos
2
sin
2
)
(cos
2
sin
2
)cos
222222
3.
112tan
tan2
1
tan1tan
1tan
2
4.
12cos
2
cos212cos
2
2cos
2
12
例三、若tan = 3,求sin2 cos2 的值。
解:sin2 cos2 =
2sincossin
2
cos2
2tantan
2
17
222
5
sincos1tan
例四、
条件
甲:
1sina
,条件乙:
sin
那么甲是乙的什么条件?
解:
1sin
即
|sin
(sin
cos)<
br>2
a
22
cosa
,
22
cos|a
22
当在第三象限时,甲 乙;当
a
> 0时,乙 甲
∴甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件。
例五、(P43 例一) 5
已知
sin,(,)
,求sin2,cos2,tan2的
值。
132
5
解:∵
sin,(,)
132
12
∴
cos1sin
2
13
120
∴sin2 = 2sincos =
169
119
cos2 =
12sin
2
169
120
tan2 =
119
.
.
.
程
序
知
识
应
用
教学行为 教学意图
对二倍角公式的更
深层次的
理解应用
题型从简
单到复
杂,从易
到
难,每
一题都以
前一题的
思想为依
托
一、关于“升幂”“降次”的应用
注意:在二倍角公式中,“升次”“降次”与角的变化是相
对的。在
解题中应视题目的具体情况灵活掌握应用。(以下四个例题可视情
况酌情选用)
例一、求函数
ycos
2
xcosxsinx
的值域。
解:
y
1cos2x121
sin2xsin(2x)
22242
——降次
1212
,]
∵
1sin(2x)1
∴
y[
22
4
例二、求证:
sin
2
coscos()
sin
2
()
的值是与无关
36
的定值。
证:
11
原式(1cos2)[1cos(2)]coscos()<
br>
2233
——降次
1
[cos(2)
cos2]cos(coscossinsin)
2333
1
(coscos2
sinsin2
cos2
)
233
13
cos
2
cos
sin
)
22
13113
cos2
sin2
cos2
(1cos2
)sin2
)
42244
1
4
∴
sin
2
coscos()sin
2
()
的值与无关
36
. .
.
1cossin1cossin
——升幂
1cossin1cossin
2cos
2
2sincos2sin
2
2sincos
222
2
22
解:
原式
2sin
2
2sinco
s2cos
2
2sincos
222222
2cos
(cossin)2sin(sincos)
222
222
2sin(sincos)2cos(cossin)
22222
2
1cos1cos2
(cottan)()2csc<
br>
22sinsinsin
1sin4cos41sin4cos4
例四、求证: ——升幂
2tan
1tan
2
证:
1sin4cos42tan
原式等价于:
tan2
2
1sin4cos4
1tan
例三、化简:
sin4
(1cos4)2sin2cos22sin
2
2
左边
sin4(1cos4)
2sin2cos22co
s
2
2
2sin2(cos2sin2)
tan2
右边
2cos2(sin2cos2)
二、三角公式的综合运用
例五、利用三角公式化简:
sin50
(13tan10
)
解:
13
2(cos10
sin10
)
3sin10
22
)sin50
原式
sin50
(1
cos10c
os10
sin30
cos10
cos30
sin10
2sin50
sin40
2sin50
cos10
cos10
2cos4
0
sin40
sin80
1
cos10cos10
. .