二倍角正弦、余弦、正切公式教(学)案

萌到你眼炸
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2020年11月09日 06:41
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2020年11月9日发(作者:韩天耀)


.
二倍角的正弦、余弦、正切
王业奇

教案设计说明















⑴二倍角公式的重要性:三角函数 是高中数学重要容之一,而二倍角公式又是三角函数
中的重中之重,有着广泛的实际应用,在高考中占有 相当大的比重;
⑵本节重点:二倍角公式的推导;二倍角公式的简单应用;
⑶教学要求:引 导学生发现数学规律;让学生体会化归这一基本数学思想在发现中所起
的作用;培养学生的创新意识;
⑷课时分配:3课时;
⑴教学对象:省一级重点中学高一学生
⑵学生情况分析:
①相对于同年龄层次的学生而言,数学基础较扎实,对数学求知欲较强,有不断自我提
升的需要 ;
②对于知识的掌握程度还停留在表层,把知识只做为一个个独立的模块来认识,没有把
知识 与知识互相联系起来对待;
③领悟能力强,模仿创新能力强;
基本观点:⒈数学是一门逻辑性很强的学科,知识与知识之间有着很强的联系性,只要
找到它们之间的规律,就会对新的知识有比较深刻的理解;
⒉学习三角函数,特别是两角和差的正弦 、余弦、正切公式与二倍角公式时,
教许多学生往往因为记不住公式而烦恼,这主要是因为学生没有很好 的利用
学这些公式之间的关系,没有很好地理解公式,只是一味地死记硬背;
设基本思路:让学生推导倍角公式,从而了解它们之间、以及它们与和角公式之间的在联
计 系,从而加深对倍角公式的理解,同时培养逻辑推理能力;
教学过程


教学行为 教学意图

由已掌握
的认识得
出本节课
所要学 习
的容,找
到知识之
间的联系



一、复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式:

sin




sin

cos

cos

sin




cos





cos

cos

sin

sin



tan






tan

tan


1tan

tan

. .


.
二、提出问题:若

,则得二倍角的正弦、余弦、正切公式。
让学生板演得下述二倍角公式:
sin2

2sin

cos

cos2

cos

sin

2cos

112sin

2222

2tan 
tan2
1tan
2

cot
2
1< br>cot2

2cot
剖析:1.每个公式的特点,嘱记:尤其是“倍角” 的意义是相对


的,如:是的倍角。
48
2.熟悉“倍角”与“二次”的关系(升角—降次,降角—
升次)
3.特别注意这只公式的三角表达形式,且要善于变形:
1cos21cos2

cos
2

这两个形式
,sin
2

22
今后常用











教学行为 教学意图

对公式的反复的基
础运用,
以加深影
响,并由
此得到一
些公式的
变形
一、例题:
例一、(公式巩固性练习)求值:
12
1.sin22 30’cos2230’=
sin45



24
2.
2cos
2
2


1cos
42
8
3.
sin
2
2


cos
2

cos
42
88
4848 2412
1
4sincoscos2sincossin

242412121262
4.
8sin

cos

co s

cos



例二、
5

5

5

5

cos)(sincos)
1 .
(sin
12121212
sin
2
5

5< br>
5

3
cos
2
cos

121262
. .


.












2.
cos
4
 
sin
4
(cos
2
sin
2
) (cos
2
sin
2
)cos

222222
3.
112tan
tan2

1 tan1tan
1tan
2

4.
12cos
2
cos212cos
2
2cos
2
12


例三、若tan  = 3,求sin2  cos2 的值。
解:sin2  cos2 =
2sincossin
2
cos2
2tantan
2
17


222
5
sincos1tan

例四、
条件 甲:
1sina
,条件乙:
sin
那么甲是乙的什么条件?
解:
1sin

|sin
(sin

cos)< br>2
a

22

cosa

22

cos|a

22
当在第三象限时,甲 乙;当
a
> 0时,乙 甲
∴甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件。

例五、(P43 例一) 5
已知
sin,(,)
,求sin2,cos2,tan2的 值。
132
5
解:∵
sin,(,)

132
12

cos1sin
2


13
120
∴sin2 = 2sincos =


169
119
cos2 =
12sin
2


169
120
tan2 =


119


. .


.










教学行为 教学意图

对二倍角公式的更
深层次的
理解应用
题型从简
单到复
杂,从易
到 难,每
一题都以
前一题的
思想为依


一、关于“升幂”“降次”的应用
注意:在二倍角公式中,“升次”“降次”与角的变化是相 对的。在
解题中应视题目的具体情况灵活掌握应用。(以下四个例题可视情
况酌情选用)
例一、求函数
ycos
2
xcosxsinx
的值域。
解:
y
1cos2x121
sin2xsin(2x)

22242
——降次
1212

,]

1sin(2x)1

y[
22
4



例二、求证:
sin
2
coscos() sin
2
()
的值是与无关
36
的定值。
证:
11
原式(1cos2)[1cos(2)]coscos()< br>
2233
——降次
1

[cos(2) cos2]cos(coscossinsin)
2333

1

(coscos2

sinsin2

cos2

)
233
13
cos
2

cos

sin

)
22

13113
cos2

sin2

cos2

(1cos2

)sin2

)
42244

1

4



sin
2
 coscos()sin
2
()
的值与无关
36





. .


.

1cossin1cossin
——升幂

1cossin1cossin

2cos
2
2sincos2sin
2
2sincos
222

2 22
解:
原式

2sin
2
2sinco s2cos
2
2sincos
222222

2cos (cossin)2sin(sincos)
222

222



2sin(sincos)2cos(cossin)
22222 2
1cos1cos2
(cottan)()2csc< br>
22sinsinsin


1sin4cos41sin4cos4
例四、求证: ——升幂

2tan
1tan
2

证:
1sin4cos42tan
原式等价于:
tan2
2
1sin4cos4
1tan
例三、化简:
sin4 (1cos4)2sin2cos22sin
2
2

左边


sin4(1cos4)
2sin2cos22co s
2
2

2sin2(cos2sin2)
tan2 
右边
2cos2(sin2cos2)


二、三角公式的综合运用
例五、利用三角公式化简:
sin50

(13tan10

)

解:
13
2(cos10
sin10

)
3sin10
22
)sin50 
原式
sin50

(1


cos10c os10

sin30

cos10

cos30

sin10

2sin50

sin40

 2sin50

cos10

cos10

2cos4 0

sin40

sin80

1


cos10cos10

. .

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