福建中医药大学分数线-军训感想800字

8.2.3 倍角公式
学 习 目 标
1.理解二倍角公式的推导过程，知道倍角
公式与和角公式之间的内在联系．(重点)
2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，
并能运用这些公式进行简单的恒等变
换．(重点、 难点)
核 心 素 养
1.通过倍角公式的推导，培养学生的逻辑
推理核心素养．
2.借助倍角公式的应用，提升学生的数学
运算及逻辑推理核心素养.


二倍角公式
S
2α
：sin 2α＝2sin_αcos_α .
C
2α
：cos 2α＝cos
2
α－sin
2
α ＝2cos
2
α－1＝1－2sin
2
α .
T
2α
：tan 2α＝
2tan α
.
1－tan
2
α
思考：你是怎样理解倍角公式中的“倍角”二字的？
[提示] 倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成
αα
立，如2α是α的二倍角，8α是4α的二倍角，
2
是
4
的二倍角等．

15°sin 75°的值为( )
1133
A．
2
B．
4
C．
2
D．
4

11
B [原式＝sin 15°cos 15°＝sin 30°＝.]
24
2.计算1－2sin
2
22.5°的结果为( )
1
A．
2

3
C．
3

2
B [1－2sin
2
22.5°＝cos 45°＝
2
.]
2
B．
2

3
D．
2

1
3.已知cos α＝
3
，则cos 2α等于________．
717

1

2
－
9
[由cos α＝
3
，得cos 2α＝2cos
2
α－1＝2×

3< br>
－1＝－
9
.]



【例1】 化简求值．
ααπππ
(1)cos
4

2
－sin
4

2
；(2)sin
24
·cos
24
·cos
12
；
2
1－3tan 150°
2
(3)1－2sin 750°；(4)tan 150°＋
2tan 150°
.
利用二倍角公式化简求值
[思路探究] 灵活运用倍角公式转化为特殊角或产生相消项，然后求得．
αα
[解](1)cos
4

2
－sin
4

2


2
α2
α

2
α
2
α

cos
－sin
cos
＋sin

2



＝
22

2

＝cos α.
ππ

1

π
(2)原式＝
2

2si n
24
cos
24

cos
12

 
ππ

1
ππ
1

＝
2
sin
12
cos
12
＝
4

2sin
12
cos
12



1
π
1
＝
4
sin
6
＝
8
，
1
∴原式＝
8
.
(3)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°
1
＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝
2
，
1
∴原式＝
2
.
2tan
2
150°＋1－3tan
2
150°
(4)原式＝

2tan 150°
1－tan
2
150°
＝
2tan 150°
＝
1

tan2×150°

11
＝
tan 300°
＝

tan360°－60°
13
＝－
tan 60°
＝－
3
，
3
∴原式＝－
3
.

二倍角公式的灵活运用：
(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现．主要形
式有：
1
2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝
2
sin 2α，
sin 2α2tan α
cos α＝
2sin α
，cos
2
α－sin
2
α＝cos 2α，＝tan 2α.
1－tan
2
α
(2)公式的变形：公式间有着 密切的联系，这就要求思考时要融会贯通，有目的地
活用公式．主要形式有：
1±sin 2α＝sin
2
α＋cos
2
α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)
2
，1＋cos 2α＝2cos
2
α，cos
2
α＝
1＋cos 2α1－cos 2α
2
，sin α＝.
22


1.求下列各式的值：
ππ
(1)sin
8
cos
8
；
π
(2)2sin
12
＋1；
2
(3)cos 20°cos 40°cos 80°.
πππ
2sin
8
cos
8
sin
4
2
[解](1)原式＝
＝
2
＝
4
. < br>2
π
4－3

2
π

1－2sin
(2)原式＝－

＋2＝2－cos
6
＝
2
.
12


(3)原式＝
2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°

2sin 20°

2sin 40°·cos 40°·cos 80°
＝

4sin 20°
2sin 80°·cos 80°sin 160°1
＝＝
8
.
8sin 20°
＝
8sin 20°

利用二倍角公式解决条件求值问题
【例2】(1)已知sin α＝3cos α，那么tan 2α的值为( )
33
A．2 B．－2 C．
4
D．－
4


π

1

2π

(2)已知sin

6
＋α

＝
3
，则cos

3
－2α

的值等于( )

7
A．
9

7
C．－
9

1
B．
3

1
D．－
3

32

π

(3)已知cos α＝－
4
，sin β＝
3
，α是第三象限角，β∈

2
，π

.

①求sin 2α的值；②求cos(2α＋β)的值．
[思路探究](1)可先求tan α，再求tan 2α；
2

π

(2)可利用
3
π－2α＝2

3
－α
求值；

(3)可先求sin 2α，cos 2α，cos β，再利用两角和的余弦公式求cos(2α＋β)．
(1)D(2)C [(1)因为sin α＝3cos α，
所以tan α＝3，
所以tan 2α＝
2×3
2tan α3
＝＝－
.
22
4
1－tan α1－3

π

π
 

π

π

1
－α
－α

＋α

－

＝，
(2)因为cos
3< br>＝sin
2
3
＝sin
6


< br>3

7

2π

π

1

2
所以cos

3
－2α

＝2cos
2

3
－α

－1＝2×

3

－1＝－
9
.]

3
(3)[解] ①因为α是第三象限角，cos α＝－
4
，
所以sin α＝－
7
1－cos
2
α＝－
4
，
所以sin 2α＝2sin αcos α


7


3

37
＝2×

－

×

－
4

＝
8
.

4


2

π

②因为β∈

2
，π

，sin β＝
3
，

所以cos β＝－
5
1－sin
2
β＝－
3
，
91
cos 2α＝2cos
2
α－1＝2×
16
－1＝
8
，
5＋67
1
5

372
所以cos(2α＋β)＝cos 2αcos β－sin 2αsin β＝
8
×

－

－
8
×3
＝－
24
.

3


直接应用二倍角公式求值的三种类型：
同角三角函数的关系二倍角公式
(1)sin α(或cos α)―――――――――→cos α(或sin α)――――→sin 2α(或cos 2α)．
二倍角公式
(2)sin α(或cos α)――――→cos 2α＝1－2sin
2
α(或2cos
2
α－1)．

cos α或sin α，
同角三角函数的关系


(3)sin α(或cos α)――――――→
二倍角公式

―――→tan 2α.

tan α―


5

π
2.(1)已知α∈

2
，π

，sin α＝
5
，则sin 2α＝______，cos 2α＝________，tan 2α＝

________.

π

π
< br>1

π

(2)已知sin

4
＋α

sin

4
－α

＝
6
，且α∈
2
，π

，求tan 4α的值．

4 34525

π

(1)－
5

5
－
3
[因为α∈

2
，π

，sin α＝
5
，所以cos α＝－
5
，所以sin 2α＝

5

25

4

5

2
3
2

＝－，cos 2α＝1－2sin
α＝1－2×

＝，tan 2α＝
2sin αcos α＝2×
5×

－
5
5

5

5
s in 2α4
＝－
cos 2α3
.]

π

π


π

π

＋α
－α


－

4
＋α

，
(2)[解] 因为sin
4
＝sin
2

4
＝cos





π

π

1
则 已知条件可化为sin

4
＋α

cos

4＋α

＝
6
，


1

π

1
即
2
sin

2< br>
4
＋α

＝
6
，


π

1
所以sin

2
＋2α

＝
3
，

1

π

所以cos 2α＝
.因为α∈

2
，π

，所以2α∈(π，2π)，
3

从而sin 2α＝－
22
1－cos
2
2α＝－
3
，
sin 2α
所以tan 2α＝
cos 2α
＝－22，
故tan 4α＝
2tan 2α4242
＝－＝
.
22
7
1－tan2α1－－22

【例3】 求证：
1
1
＝
α
4
sin 2α.
α
－tan
2
tan
2
cos
2
α
利用二倍角公式证明
[思路探究] 可先化简左边，切化弦，再利用二倍角公式化简出右边．
cos
2
α
cos
2
α
[证明] 法一：左边＝
＝

αα
2
α
2
α
cos
2
sin
2
cos
2
－sin
2
α－
ααα
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
αααα
cos
2
αsin
2
cos
2
cos
2
αsin
2
cos
2
＝＝

αα
cos α
co s
2
2
－sin
2
2
αα
11
＝sin
2
cos
2
cos α＝
2
sin αcos α＝
4
sin 2α＝右边．
∴原式成立．
α
cos
2
αtan
2
1
2
＝
cos
α·
＝
α
2< br>α
1－tan
2
2
1－tan
2
2
α
2tan
2
法二：左边＝
1
2
11
cos
α·tan α＝
cos αsin α＝
224
sin 2α＝右边．
∴原式成立．

证明问题的原则及一般步骤：
(1)观察式子两端的结构形式，一 般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将
两端都化简，即采用“两头凑”的思想．
(2 )证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然
后本着“复角化单角”“ 异名化同名”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证
明的目的．


3.求证：cos
2
(A＋B)－sin
2
(A－B)＝cos 2Acos 2B
．

1＋cos2A＋2B1－cos2A－2B
[解] 左边＝
－

22
cos2A＋2B＋cos2A－2B
＝

2
1
＝
2
(cos 2Acos 2B－sin 2Asin 2B＋cos 2Acos 2B＋sin 2Asin 2B)＝cos 2Acos 2B＝右
边，∴等式成立.

[探究问题]
1.在化简
1＋sin α－cos α
1＋sin α＋cos α
＋
1＋cos α＋sin α
1－cos α＋sin α
时，如何灵活使用倍角公式？
倍角公式的灵活运用
[提示] 在化简时，如果只 是从α的关系去整理，化简可能感觉无从下手，但如果
α
将α看成
2
的倍角， 可能会有另一种思路，
αα

αα

α

α

2sin
2

cos
2
＋sin
2

2cos
2

cos
2
＋sin
2


原式＝＋
αα

α


α

α

α
2cos
2

cos
2
＋sin
2

2sin
2

sin
2
＋cos
2


12
＝＋＝＝
αααα
sin α
.
cos
2
sin
2
sin
2
cos
2
2.如何求函数f(x)＝2cos
2
x－1－23sin xcos x(x∈R)的最小正周期？
α
sin
2
α
cos
2

[提示] 求函数f(x)的最小正周期，可由f(x)＝(2cos
2
x－1)－3(2sin xcos x)＝cos 2x

π

－3sin 2x＝2sin

6
－2x

，知其最小正周期为π.


π7π

【例4】 求函数f(x)＝53cos
2
x＋3sin
2
x－4sin xcos x ，x∈

4
，
24

的最小值，并

求 其单调减区间．
[思路探究] 化简fx的解析式→fx＝Asinωx＋φ＋B
→ωx＋φ的范围→求最小值，单调减区间
1＋cos 2x1－cos 2x
[解] f(x)＝53·
2
＋3·
2
－2sin 2x
＝33＋23cos 2x－2sin 2x

3

1
＝33＋4

cos 2x－sin 2x


2

2

π

π

＝33＋4

sin
3
cos 2x－cos
3
sin 2x



π

π

－2x
2x－

＝33－4sin

＝33＋4si n

3
，
3


π7ππππ
∵
4
≤x≤
24
，∴
6
≤2x－
3
≤
4
，
π


12


∴sin

2x－
3

∈

，

，
 

22

ππ7π
所以当2x－
3
＝
4
，即x＝
24
时，
f(x)取最小值为33－22.
π

π7π

因为y＝sin

2x－
3
在

4
，
24

上单调递增，

π7π

所以f(x)在

4
，
24

上单调递减．


本题考查二倍角公式，辅助角公式及三角函数的性 质.解决这类问题经常是先利用
公式将函数表达式化成形如y＝Asinωx＋φ的形式，再利用函 数图像解决问题.

4．求函数y＝sin
4
x＋23sin xcos x－cos
4
x的最小正周期和最小值，并写出该函数
在[0，π]上的单调递减区间．
[解] y＝sin
4
x＋23sin xcos x－cos
4
x
＝(s in
2
x＋cos
2
x)(sin
2
x－cos
2
x)＋23sin xcos x
＝－cos 2x＋3sin 2x
π


3

1

2x－
＝2

si n 2x－cos 2x

＝2sin

，
6


2

2

2π
所以T＝
2
＝π，y< br>min
＝－2.
ππ3π
由2kπ＋
2
≤2x－
6
≤2kπ＋
2
，k∈Z，
π5π
得kπ＋
3
≤x≤kπ＋
6
，k∈Z，
又x∈[0，π]，
所以令k＝0，

π5π

得函数 的单调递减区间为

3
，
6

.


1.对于“二倍角”应该有广义上的理解
ααααα
2α
*
如：8 α是4α的二倍；4α是2α的二倍；是的二倍；是的二倍；
n
＝
n
＋1
(n∈N)．
24362
2
2.二倍角的余弦公式的运用
在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．常用形式：
①1＋cos 2α＝2cos
2
α；②cos
2
α＝
1－cos 2α
.
2
1＋cos 2α
22
；③1－cos 2α＝2sin α；④sin
α＝
2

π

1.(2019·全国卷Ⅱ) 已知α∈

0，
2

，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( )


1
A．
5

3
C．
3

5
B．
5

25
D．
5

B [由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin α·cos α＝2cos
2
α.
π

0，
∵α∈

2

，∴2sin α＝cos α.又∵sin
2
α＋cos
2
α＝1，

π

15

∴sin
2
α＝
5
.又α∈

0，
2

，∴sin α＝
5
.

故选B．]
ππ

ππ

2.

cos
12
－sin
12

cos
12
＋sin
12

的值为( )

3
A．－
2

1
C．
2

1
B．－
2

3
D．
2

πππ
3
D [原式＝cos
2
12
－sin
2
12
＝cos
6
＝
2
.]
sin 2α－cos
2
α
1
3.已知tan α＝－
3
，则＝________.
1＋cos 2α
22
5
sin 2α－cos
α
2sin αcos α－cos
α
－
6
[
＝

1＋cos 2α1＋2cos
2
α－1
2sin αcos α－cos
2
α
15
＝＝tan α－＝－
2cos
2
α
26
.]
4．求下列各式的值：
π2π
(1)cos
5
cos
5
；
1
π
(2)
2
－cos
2
8
.
ππ2π
2sin
5
cos
5
cos
5
[解](1)原式＝

π
2sin
5

2π2π4ππ
sin
5
cos
5
sin
5
sin
5
1
＝＝＝＝
πππ
4
.
2sin
5
4sin
5
4sin
5
1－2cos
82cos
8
－1
1
π
2
(2)原式＝
＝－＝－
cos
＝－
22244
.

2
π
2
π