安徽国际商务职业技术学院-文秘的工作内容

二倍角的正弦、余弦和正切公式

【学习目标】
1． 能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了解它们之间的内
在联系 .
2．能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式．但不要 求
记忆），能灵活地将公式变形并运用．
3．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高 运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉
性，体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作 用.
【要点梳理】
要点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin2

2sin
cos

(S
2

)

cos2

cos
2

sin
2

(C
2

)
2cos
2

1
12sin
2

tan2


2tan

(T
2

)

2
1tan


要点诠释： < br>(1)公式成立的条件是：在公式
S
2

,C
2
< br>中，角

可以为任意角，但公式
T
2

中，只有当< br>


2
k

及



4

k

(kZ)
时才成立；
2
3< br>

是的二倍、
3

是的
2
24
(2)倍角公式不仅限于
2

是

的二倍形式，其它如
4< br>
是
2

的二倍、
二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两 个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运
用公式的关键. 如：
sin
2sin

2
cos

2
；
si n

2
n
2sin

2
cos
n1< br>
2
n1
(nZ)

2．和角公式、倍角公式之间的内在联系
在两角和的三角函数公式
S
< br>

,C



,T



中，当



时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们
的内在联系如下：

要点二：二倍角公式的逆用及变形
1．公式的逆用
1
2sin

cos

sin2

；
sin

cos

sin2

．
2
cos
2

sin
2

2cos
2

112sin
2

cos2

．
2tan

tan2

．
1tan
2

2．公式的变形
1sin2

(sin

cos

)
2
；
降幂公式：cos
2


1cos2

1cos2


,sin
2


22
22
升幂公式：< br>1cos2

2cos

,1cos2

2 sin


要点三：两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型
求值题、化简题、证明题
1．对公式会“正着用”，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用 方法：因式分解、配方、凑项、添项、
换元等；
2．掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如

 (



)

,2

(
< br>

)(



)
等等，把握式子的变形 方向，准确运用公式，也要抓住角之
间的规律(如互余、互补、和倍关系等等)；
3．将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一章与第三章的紧密衔接.
【典型例题】
类型一：二倍角公式的简单应用
例1．化简下列各式：
（1）
4sin< br>
2
cos

2
；（2）
sin
2

8
cos
2

8
；（3）
tan37.5< br>．
1tan
2
37.5
【思路点拨】逆用二倍角的正弦、余弦和正切公式．
【答案】（1）
2sin

（2）

【解析】 （1）
4sin
223
（3）
22

2
cos

2
22sin

2
cos

22sin

．
（2）
sin
2

8
cos
2



2

．
< br>
cos
2
sin
2

cos
8 8842

（3）
tan37.512sin37.5123
 tan75
．
1tan
2
37.521tan
2
37.522
【总结升华】本题的解答没有去就单个角求其函数值，而是将所给式子作为一个整体变 形，逐步向二
倍角公式的展开形式靠近，然后逆用倍角公式，要仔细体会本题中的解题思路．
举一反三：

2tan75
o




2

sin

cos sin

；【变式1】求值：（1）

cos
（2）
2co s
（3）．
1
；
2
o
12121212
1t an75
8

【答案】（1）
3
2
；（2）；（3）
3

2
2
2
【解析】（1）原式=
cos

12
sin
2

12
cos

6

3
；
2
（2）原式=
cos(2

8
)cos

4
o

2
；
2
oo
（3）原式=
tan150tan(18030)tan30
类型二 ：利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值
例2． 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值．
【思路点拨】解这类题型有两种方法：
方法一：适用
sin


o
3
．
3
sin2

，不断地使用二倍角的正弦公式．
2cos

sin2

进行化简．
2sin
< br>方法二：将正弦题目中的正弦形式全部转化为余弦形式，利用
cos


【答案】
1

16
sin20sin50sin70
2cos10
sin20cos20sin50sin40sin50sin40c os40sin801

．
2cos104cos104cos1 08cos108
1
∴
sin10sin30sin50sin70< br>
16
12sin20cos20cos40cos80
方法二：原式
cos20cos40cos80

24sin20
sin40 cos40cos80sin80cos801sin1601

．
4sin202sin2016sin2016
【解析】方法一：
sin10 sin50sin70
【总结升华】本题是二倍角公式应用的经典试题．方法一和方法二通过观 察角度间的关系，发现其特
征（二倍角形式），逆用二倍角的正弦公式，使得问题出现连用二倍角的正弦 公式的形式．在此过程中还
应该看到化简以后的分子分母中的角是互余（补）的关系，从而使最终的结果 为实数．利用上述思想，我
sin2
n1

们还可以把问题推广到一般的情 形：一般地，若
sin

0
，则
cos

cos 2

cos4

Lcos2


n1
．
2sin

n
举一反三：
【变式1】求值：sin10°cos40°sin70°．
【解析】原式
cos 20cos40cos80
2sin20cos20cos40cos80

2sin20

2sin40cos40cos802sin80cos80


4sin208sin20
sin160sin201

．
8sin208sin208

类型三：利用二倍角公式化简三角函数式
例3．化简下列各式：
(1)
sin

sin2
1cos

cos2

(2)1sin4

【思 路点拨】（1）观察式子分析，利用二倍角公式把倍角展开成单角，再进行化简．（2）观察式子分
析， 利用二倍角公式把倍角展开成单角，利用平方差公式进行化简．
【答案】（1）
tan

（2）
sin2cos2
【解析】(1)
sin

sin2

sin

2sin

cos

sin

(12cos

)
tan

.

1cos

cos2

cos

(12cos

)
cos

2cos
2

(2)
1sin4

sin
2
22sin2cos2cos
2
2(sin2cos2 )
2
|sin2cos2|sin2cos2.

22
【总 结升华】①余弦的二倍角公式的变形形式：
1cos2

2cos
,1cos2

2sin

．经常起
2
到消除式子 中1的作用．②由于
sin2

2sin

cos
< br>，从而1sin2

(sin

cos

)< br>，可进行无理
式的化简和运算．
例4．（2015秋 安徽阜阳期末）已知
0 



2
，且
sin


3< br>
5
2sin
2

sin2

（1）求的值； < br>cos2

（2）求
tan(


5
)
的值．
4
2sin
2

sin2
【思路点拨】（1）根据角的范围求出cos

，tan

，然后通过二 倍角公式转化，分
cos2

子分母同除cos2

，代入tan< br>
，即可求出值．
（2）直接利用两角和的正切函数，展开代入tan

的值求解即可．
【答案】（1）6；（2）7
【解析】（1）由
sin


3

43
又
0


，∴
cos


，
tan



5254
2sin
2

sin2

2sin
2

2si n

cos


∴
22
cos2

cos

sin


3
2sin

2tan

4
6


cos

sin

1tan

1(
3
)
4
53
tan

tan

1
5tan

1
44
（2）
tan(



)7

53
41tan

1t an

tan

1
44
2
举一反三：
【变式1】（1）
1sin6
的化简结果是
．

3sin2


（2）
已知
sin


，且
α
∈( ，
π
)，则 的值为 ．
5cos
2
< br>2
3
【答案】（1）
sin3cos3
（2）


2
【解析】
（1）原式=
1sin3cos3

=
(sin3cos3)
2

=
|sin3cos3|

=
sin3cos3

（2）因为
sin


342sin

cos
353

，且
α
∈( ，
π
)，所以
cos


，原式=．
2 ()
2
55cos

542
2
类型四：二倍角公式在 三角函数式给值求值题目中的应用
【高清课堂：倍角、半角公式370633 例2】
例5．求值：
（1）已知
sin(

3

)
，求
cos(

)
．
6
1225

)m
，求
sin2

．

（2）已知
sin(


4
【思路点拨】观察所 求的角与已知角的关系，发现它们是二倍的关系，所以用二倍角公式去求解．
【答案】（1）
【解析】
（1）
cos(


7
2
（2）
2m1

25






)cos




cos 2




6

6

122

2
=
12sin

=
12







122

9

25

=
7

25
（2）
sin 2

cos(






2

)
=


12sin
2






2

4


2
=
12sin

=
2m1

2








4

【总结升华】给值求值是求值问题中常见的题型，求解的要点是利用公式沟通已知条件和所求 式子之间
的联系，考查公式运用和变换的技巧．
举一反三：
【变式1】 已知sin

cos


1
，且
0



，求
sin2

，
cos2

，
tan2

的值．
3
【答案】



8
9
17817

917
【解析】由
sin

cos


即
12sin

cos


11
2
，得
(sin

c os

)
，
39
18
，∴
sin2

2sin

cos



99
11< br>由
sin

cos


，得
cos

sin

，
33

1

∴cos



sin


．
< br>3

2
2
即
1sin
2

s in

sin
2

．
2
1
9
2
3
整理得
9sin

3sin

40．
解得
sin


117117
或
si n


（舍去）．
66
2

117

17
2

∴
cos2

12sin

12

．


6

9

∴
tan2


sin2

817

．
cos2

17
【总结升华】解题过程中注意角
的范围的判定．

【变式2】（2016 天津红桥区模拟）已知

是第二象限角，且
sin



15
，
4

（1）求cos2

的值；
（2）求
sin(



6
)
的值．
【答案】（1）

351
7
；（2）
8
815
【解析】（1）因为

是第二象限角，
sin


4
，
所以，
cos2

12sin
2

12
15
16

7
8
．
（ 2）又

是第二象限角，故
cos

1
15
16

1
4
．
所以
sin(


6
)
153
42
(
11351
4< br>)
2

8
．
类型五：二倍角公式的综合应用
【高清课堂：倍角、半角公式370633 例3】
例6．已知
f(x)sin
2
x2sinxcosx3cos
2
x
，求：
（1）f (x)的最大值以及取得最大值的自变量的集合；
（2）f (x)的单调区间．
【思路点 拨】用降幂公式把原式降幂，然后用辅助角公式化成
Asin(

x
)k
的形式．
【答案】（1）
22


< br>x|xk




3



8
,kz


（2）单增区间


k


8
,k


8


,kz



k



8
,k


5


8


,kz
【解析】
（1）原式=
1sin2xcos2x1

=
sin2xcos2x2

=
2sin(2x

4
)2

则当
2x
4
2k



2
,
即



x|xk




8
,k z


时，

f
max
(x)22

（2）f (x)的单调递增区间为：< br>2k



2
2x

4
2k



2
，则

x

k


3

8
,k

< br>


8


,kz

f (x )的单调递减区间为：
2k



3

2
2x

4
2k


2
，则

单减区间

x

k





8
,k


5


,kz


8

【总结升华】本 题主要考查特殊角的三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦公式及
（1）缩角升幂公式
yAsin(

x

)
的性质等知识．要记住倍角公式两类重 要变形并能熟练应用：



1sin



sincos

22

1cos

2si n
2
2
，



1sin



sincos

22

2
2
．< br>1cos

2cos
2

2
，

2
．（2）扩角降幂公式
cos


1cos2
1cos2

2
，
sin


．
22
例7．已知向量
a(1sin2x,sinxcosx)
，
b( 1,sinxcosx)
，求函数
f(x)ab
．
（1）求
f(x)
的最大值及相应的x值；
（2）若
f(

)
8



，求
cos2

2


的值．
5

4

【思路点拨】 利用向量数量积公式的坐标形式，将题设条件中所涉及的向量数量积转化为三角函数中
的“数量关系”， 从而建立函数f(x)关系式．
【答案】（1）
21

xk


3

16
(kZ)
（2）
8
25
【解析】（1）因为
a(1sin2x,sinxcosx)< br>，
b(1,sinxcosx)
，
22
所以
f(x) 1sin2xsinxcosx1sin2xcos2x


2si n

2x

1
．
4

3

(kZ)
时，
f(x)
取得最大值
21
．
428
839
（2）由
f(

)1sin2

cos2

及
f(

)
得
sin2

cos2


，两边平方得
1sin4

< br>，
5525
因此，当
2x

2k

< br>
，即
xk


即
sin4


16
16





．因此，
cos2

2


cos

4
< br>
sin4


．
4225
25


举一反三：
【变式1】（2015秋 朝阳区期中）已知函数
f(x)23sin
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调递减区间．
【答案】（1）2π；（2）
[2k


xxx
cos2cos
2
．
222

3
,2k


4

]
，k∈Z．
3< br>【解析】（1）由已知可得：
f(x)3sinxcosx12sin(x

6
)1
．

所以f（x）的最小正周期为2π．
（2）由
2k



26

4

得
2k

x2k

，k∈Z．
33
x

2k

3

，k∈Z，
2
因此函数f（x）的单调递减区间为
[2k



3
,2k


4

]
，k∈Z．
3
【变式2】已知向量m=（sinA，cosA），
n (3,1)
，m·n=1，且A为锐角．
（1）求角A的大小；
（2）求函数
f(x)cos2x4cosAsinx
（x∈R）的值域． 【答案】（1）
3



（2）

3,

2

3

【解析】（1）由题意，得
m n3sinAcosA1
，




1
 
2sin

A

1
，
sin
A


．
6

6

2
 
由A为锐角得
A

66
1
（2）由（1）知
c osA
，
2


，
A

3
．
1

3

所以
f(x)cos2x2sinx12sinx2si nx2

sinx


．因为x∈R，所以sinx∈[－
2

2

2
2
1,1]．
因此，当
sinx
的值域是

3,

．
2
1
3
时，
f(x)
有最大值，当sin x=－1时，< br>f(x)
有最小值－3，所以所求函数
f(x)
2
2


3

