面试中的自我介绍-环境卫生整治工作总结

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三角函数倍角公式
复习重点:二倍角公式
二倍角的正弦公式：
sin2A＝2sinAcosA
二倍角的余弦公式： cos2A＝cos
2
A－sin
2
A＝2cos
2
A －1＝1－2sin
2
A
二倍角的正切公式：
tan2A=2tanA(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)2ctga
对公式的再认识：
(1) 适用范围：二倍角的正切公式有限制条件：
A≠kπ＋

且A≠
k
＋

(k∈Z)；
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(2) 公式特征：二倍角公式是两角和的正弦、余弦和正切公式之特例；
二倍角关系是相对的。
(3) 公式的灵活运用：正用、逆用、变形用。

复习难点:倍角公式的应用
复习内容:
小结：
倍角公式：
sin2A＝2sinAcosA

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cos2A＝cos
2
A－sin
2A＝2cos
2
A－1＝1－2sin
2
A
tan2A＝
2tanA

2
1－tanA
化“1”公式（升幂公式）
1＋sin2A＝(sinA＋cosA)
2
，
1－sin2A＝(sinA－cosA)
2

1＋cos2A＝2cos
2
A
1－cos2A＝2sin
2
A
降幂公式
cos
2
A＝
1＋cos2A

2
sin
2
A＝
1－cos2A

2

二倍角公式是两角和公式的特殊情况，即:

由此可继续导出三倍角公式 .观察角之间的联系应该是解决三
角变换的一个关键.二倍角公式中余弦公式有三种形式，采用哪种形< br>式应根据题目具体而定.

倍角和半角相对而言，两倍角余弦公式的变形可引出半角公式.
推导过程中可得到一组降次公式，即，

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进一步得到半角公式:



降次公式在三角变换中应用得十分广泛，“降次”可以作为三角
变换中的一个原则.半角公 式在运用时一定要注意正、负号的选取，
而是正是负取决于所在的象限.而半角的正切可用α的正弦、余 弦
表示，即:.这个公式可由二倍角公式得出，这
个公式不存在符号问题，因此经常采用.反之 用tan也可表示sinα,
cosα, tanα，即:

“万能”公式.

，，这组公式叫做
教材中只要求记忆两倍角公式，其它公式并没有给出，需要时 可
根据二倍角公式及同角三角函数公式推出.

例1．推导三倍角的正弦、余弦公式

解:sin3α=sin(2α+α)

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cos3α=cos(2α+α)



例2．利用三倍角公式推导sin18°的值.

解:∵ sin36°=cos54°,∴
2sin18°cos18°=4cos
3
18°-3cos18°

∵ cos18°≠0 ∴ 2sin18°=4cos
2
18°-3 ∴
2sin18°=4-4sin
2
18°-3
∴ 4sin
2
18°+2sin18°-1=0
∴
cos36°.
即

例3．化简求值:(1) csc10°-
tan20°+cot20°-2sec50°

解:(1) csc10°-

sec10°
sec10°(2)
.
. 本题还可根据二倍角公式推出

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(2) tan20°+cot20°-2sec50°



例4．求:sin
2
20°+cos
2
50°+sin30°sin70°

解:sin
2
20°+cos
2
50°+sin30°sin70°



例5．已知:

解:∵,
.求: cos
4
θ+sin
4
θ的值.

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∴
即
, 即
，∴ cos
4
θ+sin
4
θ
，


例6．求cos36°·cos72°的值.

解:cos36°·cos72°



例7．求:

解:


的值.

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上述两题求解方法一致，都是连续应用二倍角的正弦公式.而能
采用这种方法求值的题目要求也是严格的，要满足（1）余弦相乘，
（2）后一个角是前一个角 的两倍，（3）最大角的两倍与最小值的和
（或差）是π.满足这三个条件即可采用这种方法.

例8．已知:2cosθ=1+sinθ，求

方法一: ∵2cosθ=1+sinθ，∴
∴ 或，∴ ,

.
∴

,∴ 或 =2.
方法二:∵ 2cosθ=1+sinθ， ∴
∴
∴
=2.

例9．已知:
或
,
,∴
,
或
，求:tanα的值.

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解:∵，∴
，
∵ 0≤α≤π, ∴


(1)当
则有
， ∴ ，
时, ，
,∴， ∴
,∴
∴

(2)当
.
，则有
，
∴

， ∴，∴.

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注意:1与sinα在一起时，1往往被看作
cosα在一起时，往往应用二倍角余弦公式把1去掉.

，而1与
例10．已知:sinθ, sinα, cosθ为等差数列;sinθ,sinβ,
cosθ为等比数列.求证:2cos2α=cos2β.

证明:∵ ， ∴
∴ 4sin
2
α=1+2sin
2
β ∴ 2-4sin
2
α=2-1-2sin
2
β ∴
2cos2α=cos2β.

课后练习:

1．若
则（ ）.
A、PQ B、PQ C、P=Q D、P∩Q=

2．若A为ΔABC的内角，
A、

B、 C、
，则cos2A=（ ）.
D、
，

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3．若
A、

4．若
A、

5．若
A、

6．若

B、
B、
，则sin2θ=（ ）.
C、 D、
，则sinθ=（ ）.
C、 D、-
，则
B、
=（ ）.
C、1 D、-1
，则cosα=________.
7. 若θ为第二象限角，且，则
. =_____.8．已知sinA+cosA=2sinB. 求证:cos2B=cos
2

参考答案

1.C 2.B 3.C 4.C 5.B 6. 7. 6