2019数学科普知识语文
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数学科普知识
著名数学问题——歌德巴赫猜想
歌德巴赫：（德国数学家
）1742年6月7日他在给欧拉（瑞
士数学家）的信中提出了著名的歌德巴赫猜想“即每一个偶
正整数是两个素数之和”该猜想后经过欧拉化简可表述为：
任何一个偶数n(n≥4)是两个素数之和
。这个猜想虽然对于
不太大的数用实际检验得到证实，但是至今没有严格的证
明。二百多年来，
许多数学家为此努力，相继得到一批近似
结果，其中埃斯特曼证明了每一个充分大的奇数一定可以表为两个奇素数及一个不超过两个素数的乘积之和；维诺格拉
道夫用圆法证明了每一个充分大的奇数都
是三个奇素数之
和。华罗庚证明了更一般的结果“对任意给定的整数K，每
一个充分大的奇数都
可表为p1+p2+p3k，其中p1，p2，p3为
奇素数。”1966年，陈景润证明了“每一个充
分大的偶数都
可以表示为一个素数与一个不超过两个素数的乘积之和（简
单的表示为（1+2）
）。这是目前为止的最佳结果。
Jacobi猜想
在数学中，有两个问题被称为Jacob
i猜想。一个是关于多
项式映射的可逆性问题，这个问题至今没有解决。另一个
Jacobi猜
想，也就是这里要讲的Jacobi猜想，是关于平面
微分方程全局渐近稳定性问题的，其大意是：如果
一个平面
微分方程的向量场在每一点的Jacobi矩阵是稳定的，那么
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该微分方程的平衡解是全局渐近稳定的。因为这个猜想中的
条件是借助Jacobi矩阵
表达的，所以称为Jacobi猜想。
分形的数学定义
分形还没有统一的确切的数学定义，若具有下面大部分性质
的就认为是分形：
一、有
精细的结构。它包含任意小比例的细节，把细微部分
放大，看起来就和原始图形（生成元）一模一样，图
形放得
愈大，愈能看清它的细节。欧氏几何的图形不是这样，例如：
圆放得愈大，圆周变得愈是
平直。
二、图形很不规则，它的局部或整体都很难用传统的几何语
言或微积分来描述。若用欧
氏几何的图形来描述雪花曲线、
一片叶子或一片云彩不知要多少图形才能拼起来。
三、看起来
很有趣似乎非常复杂的图形，实际上定义它非常
简单。生成元都很简单，通过某种自相似或自仿射的性质
就
能生成很复杂的图形。上述三例的生成元都极简单，且都是
自相似的。
四、生成的
过程是一个迭代过程，返复重复同一个过程来产
生，很容易用递推函数来描述，这样就容易在计算机上实
现。
互动篇中讲到的斐波拉契数列就是递推函数的例子，它的后
一项由前两之和来确定。
五、它的维数是小数或者说是分数维。
六、它常具有“自然”的外貌，如：雪花曲线就像大自然中
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的雪花。
混沌学是一门正在兴起的研究复杂性问题的工具
现实世界
中线性系统是很少的，很多线性系统是由科学家经
过简单化处理而得到的，简化处理的合理性是有限的。
混沌学是一门正在兴起的研究复杂性问题的工具，高性能计
算机的发展也为混沌学的研究创造了
条件，数学家们还处在
揭示混沌奥秘的门槛上。
在二十世纪七十年代，一些非常广的毫不相关
的领域，如：
非线性三角函数的变化、价格的波动、统计经济学、地震、
生态学等的领域，把描
绘它们的资料用计算机生成三维模型
后，结果出现了惊人的相似，在外观上不断出现奇异吸引子。
对这些广泛领域的研究，逐渐发现了混沌理论。混沌理论虽
然还在形成和发展，但它已应用到了非常广
泛的领域。
哈密顿问题
哈密顿问题是：对任意的图，是否有一个通过每一顶点（而
不是欧拉问题中的通过每一边）的封闭环（“哈密顿环”）。
它仅仅意味着有限的顶点的集合，通过边联
系起来的一定数
目的顶点对。观众用手触摸“平面触摸盘”，与正12面体
相对应棱边的二极管
点亮发光。如走错路线，正12面体相
对应棱边，不亮，直到走对路线为止。按复位键全部灯光熄
灭，回到初始状态。
克莱因瓶
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“克来因瓶”学名为
“不可定向单侧闭曲面”，瓶子的“瓶
颈”穿过瓶子表面并从内部连到底部，闭合成一个圆形曲
面，这是拓扑学的形象诠释。
整个克莱因瓶制作成两半，观众还可通过流动的灯光，观察
到克莱因瓶只有一个面的特性。
圆的十七等分
将圆作十七等分。一个圆能用圆规直尺P（素数）等分，P
一定是费马数。
德国数学
大师高斯证明：对奇数n，只有当它为费马素数或
是不同的费马素数之积时，才能够用尺规完成n等分圆
周。
17边形的作法：（1）作圆，过圆心作两条垂直的直径，得圆
上两点P0B:(2)作O
J=14OB，再作∠OJE=14∠OJPO，
∠FJE=45°(3)以FP0为直径作圆，交OB
于K，以E为圆心
EK为半径作圆，交OP0于N5和N3（4）过N5、N3分别作OB
的平
行线，交圆O于P5、P3再平分P5P3得分点P45、P3P4
就是正17边形的一边之长，用它可
在圆O上依次截得正17
边形的各顶点。
四色猜想
四色问题又称四色猜想，是世界
近代三大数学难题之一。四
色问题的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有
共同边界
的国家着上不同的颜色”。四色问题，这是个著名
的世界难题。1825年毕业于英国伦敦大学从事地图
着色的佛
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朗西斯格里斯发现一个奇怪现象：不管多复杂的地图，只
用
四种颜色就可区分有公共边界的国家或地区。这只是一个猜
想，看似简单，证明起来却非常困
难。许多数学家包括著名
的数学家哈密顿、闵可夫斯基，为之奋斗了100多年没有解
决。这里
还有一个故事，以谦虚著称的闵可夫斯基不信解决
不了，他在给学生上拓扑课时说，四色问题之所以还没
解决，
仅仅是因为没有一流的数学家来解决它。他拿起粉笔当场给
学生推导，没有成功。下一节
课又去试也没有成功，直到几
个星期都没进展。一天他进教室时，雷声大作，他对学生说：
“上
天在责我自大，我没法解决四色问题。”直到1976年9
月美国伊利诺斯大学的数学家阿沛尔和哈肯教
授，在每秒运
行400万次的计算机上运行了1200小时，终于证明了四色
定理。人与计算机
合作能证明世界难题，轰动了世界。原来
难在证明时要作的逻辑判断达200亿次之多，单靠人的力量<
br>是难以解决的。
生物与数学
人体最感舒适的温度约23度（气温），是正常体温37
度的
黄金分割点。人精神愉快时，人脑电波频率下限（8赫兹）
与上限（12.9赫兹）之比，
恰为黄金分割数，如这时参加考
试，更能发挥出水平。
猫总是蜷曲躯体缩成球体，这样它所逸
出的热量最少。人和
动物的血液循环系统中，血管不断分成两只同样粗细的分
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支，其直径缩小比例为。理论计算在这样的分支导管系统中，
液流的能量消耗最小。
蜘蛛网的建造结构也是数学家为之赞叹不已的高级几何图
形。它是一种名叫对数螺线的几何曲线
。
数学是科学的大门和钥匙。伽利略：自然这本书，是用数学
语言写成的。
生物的
形态和生长，往往隐藏着各种数学规律。不管多原始
的理智生命都会有数的。数学是一切有智慧的生物的
共同语
言。生物对本身的生存总是在选择理想的“技术结构”方
案。数学规律，仿佛是它们生命
的密码。
伽利略说：自然这本书，是用数学语言写成的。
数有趣的性质
数本身就有很多有趣的性质，数论就是研究数特别是整数性
质的数学分支。在数论里我们会遇到整数、
除数、素数；完
全数、亲和数；同余式、费马定理、威尔逊定理；原根、平
方剩余、丢番图解析
、二次互反律；二次型、分划、理想数、
示性数；佩尔方程、连分数、自同构、素数论、解析数论等，<
br>一个台阶比一个台阶高。
数论的特点是：它的问题浅显易懂，又不需要过多的预备知
识，只要撑握了中学的数学知识就能入门；数论既有一般问
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题也有极具挑战性的问题，不少世界难题就出在数论里。几
个世纪以耒它吸引了人们的兴趣，里头既有
众多著名的数学
家，也有广大业余爱好者。初等数论需要的预备知识少，问
题实在又为人们所熟
悉，所以它是培养学生思维能力的好教
材。
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