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第五讲 一元二次方程的整数整数解
在数学课外活动中,在各类数学竞 赛中,一元二次方程的整数解问题一直是个热点,它将
古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合 ,涉及面广,解法灵活,综合性强,备受关注,
解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有：
从求根入手,求出根的有理表达式,利用整除求解；
从判别式手,运用判别 式求出参数或解的取值范围,或引入参数(设△=
k
2
),通过穷举,逼
近求 解；
从韦达定理入手,从根与系数的关系式中消去参数,得到关于两根的不定方程,借助因数
分解、因式分解求解；
从变更主元入人,当方程中参数次数较低时,可考虑以参数为主元求解．
注：一元二次方程的整数根问 题,既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知
识,又与整除、奇数、偶数、质数、合数等 整数知识密切相关．
【例题求解】
【例1】若关于
x
的方程
(6 k)(9k)x
2
(11715k)x540
的解都是整数,则符合条件 的整数
是的值有 个．
思路点拨 用因式分解法可得到根的简单表达式, 因方程的类型未指明,故须按一次方程、二
次方程两种情形讨论,这样确定是的值才能全面而准确．



注：系数含参数的方程问题,在没有指明是二次方程时,要注意有可能 是一次方程,根据问题的
题设条件,看是否要分类讨论．
【例2】 已知
a
、
b
为质数且是方程
x
2
13xc0
的根,那么< br> A．
1
B． C． D．
22222222
ba

的值是( )
ab
思路点拨 由韦达定理
a
、
b
的关系式,结合整数性 质求出
a
、
b
、
c
的值．



【例3】 试确定一切有理数
r
,使得关于
x
的方程rx
2
(r2)xr10
有根且只有整数根．

思路点拨 由于方程的类型未确定,所以应分类讨论．当
r0
时,由根与系数关系 得到关于r
的两个等式,消去r,利用因式(数)分解先求出方程两整数根．



【例4】 当
m
为整数时,关于
x
的方程
(2m 1)x
2
(2m1)x10
是否有有理根?如果有,求
出
m
的值；如果没有,请说明理由．
思路点拨 整系数方程有有理根的条件是为完全平方数．
设△=
(2m1)
2
4( 2m1)4m
2
4m5(2m1)
2
4n
2
(
n
为整数)解不定方程,讨论
m
的

存在性．





注：一元二次方程
ax
2
bxc0
(a≠0)而言,方程的 根为整数必为有理数,而△=
b
2
4ac
为
完全平方数是方程的根 为有理数的充要条件．
【例5】 若关于
x
的方程
ax
2
2(a3)x(a13)0
至少有一个整数根,求非负整数
a
的值．
思路点拨 因根的表示式复杂,从韦达定理得出的
a
的两个关系式中消去
a
也较困难,又因
a
的次数低于
x
的次数,故可将原方程变形为关于< br>a
的一次方程．








学历训练
1．已知关于
x
的方程
(a1) x
2
2xa10
的根都是整数,那么符合条件的整数
a
有 ．
2．已知方程
x
2
1999xm0
有两个质数解,则m＝ ．
3．给出四个命题：①整系数方程
ax
2
bxc0
(a≠ 0)中,若△为一个完全平方数,则方程必有
有理根；②整系数方程
ax
2
 bxc0
(a≠0)中,若方程有有理数根,则△为完全平方数；③无
理数系数方程
ax
2
bxc0
(a≠0)的根只能是无理数；④若
a
、< br>b
、
c
均为奇数,则方程
ax
2
bxc0没有有理数根,其中真命题是 ．
4．已知关于
x
的一元二 次方程
x
2
(2a1)xa
2
0
(
a
为整数)的两个实数根是
x
1
、
x
2
,则
x
1
x
2
= ．
5．设rn为整数,且4< m<40,方程
x
2
2(2m3)x4m
2
14m80
有两个整数根,求m的值及
方程的根．(山西省竞赛题)
6．已知方程
ax
2
(3a
2
8a)x2a
2
13a150 (a≠0)至少有一个整数根,求
a
的值．
7．求使关于
x
的方程
kx
2
(k1)xk10
的根都是整数的
k
值．
8．当
n
为正整数时,关于
x
的方程
2x< br>2
8nx10xn
2
35n760
的两根均为质数,试解 此方
程．
9．设关于
x
的二次方程
(k
2
6k 8)x
2
(2k
2
6k4)xk
2
4
的两根都是整数,试求满足条件
的所有实数
k
的值．

10．试求所有这样的正整数
a
,使得方程
ax< br>2
2(2a1)x4(a3)0
至少有一个整数解．

11．已知
p
为质数,使二次方程
x
2
2pxp
2
5p10
的两根都是整数,求出
p
的所有可能
值．

、
x
2

,且12．已知方程
x
2bxc0
及
x
2
cxb0
分别各有两个整数根x
1
、
x
2
及
x
1

x2

>0．
x
1
x
2
>0,
x
1

<0,
x
2

< 0； ( 1)求证：
x
1
<0,
x
2
<0,
x
1< br>(2)求证：
b1cb1
；
(3)求
b
、
c
所有可能的值．
13．如果直角三角形的 两条直角边都是整数,且是方程
mx
2
2xm10
的根(
m
为整数),这
样的直角三角形是否存在?若存在,求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存 在,请说明理
由．





参考答案