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小学平面几何五大模型
一、共角定理
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．
如图在
△ABC
中，
D,E
分别是
AB,AC
上的点如图 ⑴(或
D
在
BA
的延长线上，
E
在
AC
上 )，则
S
△ABC
:S
△ADE
(ABAC):(ADAE)



证明：由三角形面积公式S=12*a*b*sinC可推导出
若△ABC和△ADE中，
∠BAC=∠DAE 或∠BAC+∠DAE=180°，
则
S
ABC
ABAC
=
S
ADE
ADAE








二、等积模型
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
如下图
S
1
:S
2
a:b

③夹在一组平行 线之间的等积变形，如右图
S
△ACD
S
△BCD
；
反之，如果
S
△ACD
S
△BCD
，则可知直线
AB平行于
CD
．
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平
行四边形)；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于 它们的底之比；两个平行四边形底相
等，面积比等于它们的高之比．

AB


S
S

CD

ab
1
2


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三、蝶形定理
1、任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：
①
S
1
:S
2
S
4
:S
3
或者
S< br>1
S
3
S
2
S
4

②< br>AO:OC

S
1
S
2

:

S
4
S
3


速记：上×下=左×右

蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面< br>可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积
对应的 对角线的比例关系．
2、梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)：
①
S
1
:S
3
a
2
:b
2

②
S
1
:S
3
:S
2
:S
4
a
2
:b
2
:ab:ab
；
③
S
的对应份数为

ab

2
．

D
A
S
2
B
S
1
O
S
3
C
S
4








A
S
2
a
S
1
O
S
3
S
4
D
B
b
C


四、相似模型
(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型
A
E
A
F
D
D
B
ABACF
G
BCAG
E
C

BG
C

①
AD

AE

DE

AF
；
②
S
△ADE
：S
△ABC
AF
2
:A G
2
．


相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形< br>(只要其形状不改变，不论大小怎
样改变它们都相似)
，与相似三角形相关的常用的性质 及定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似
比；
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；
⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．
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相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．
在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．


五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）

在

ABC
中，
AD
，
BE
，
CF
相交于同一点
O
，那么
S
ABO
:S
ACO
BD:DC
．


上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为
ABO
和
ACO
的形状很象燕
子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何 题目中都有着广泛的运用，它
的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面 积对应底边之间
提供互相联系的途径.




A



F
E

O

B
D
C


























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附件1：鸟头模型例题及习题：

例8：
法1：无敌设高法。

法2：反复使用鸟头定理：求出E点、F点的特殊性；
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简述：以上这一题是中环杯决赛题，作为我们讲义的例8。我们介绍的法一 “无敌设高法”主要是从代数的角
度死算，这是我们以后学习解复杂问题的通用方法，作为五年级的同学 可以多多接触一些；法二“鸟头模型”让我们
确定特殊点，从而找线段的比例关系。让面积比转换成求线 段比。


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