预祝高考成功的祝福语-九年级下学期班主任工作计划

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间隔问题

植树问题：植树问题关键在于段数与棵树的相互转换。
段数=总距离÷棵距
一、不封闭路线：
知
识
概
述
（1）在一段距离中,两端都植树, 棵数=段数+1;
（2）在一段距离中,两端都不植树, 棵数=段数-1;
（3）在一段距离中,一端不植树, 棵数=段数.
二、封闭路线：如环湖栽树、游泳池等在封闭曲线上植树,
棵数=段数=周长÷棵距

爬楼问题： 爬楼层数=楼的层数 -1（第一层楼不用爬）

锯木头问题：锯木头的段数=锯的次数+1 （锯第一次得两段）


名
师
点
题



间隔问题主要包括植物问 题、锯木头问题、爬楼问题、敲钟问题等，是一类有多种实
际背景的问题，问题的关键是一条线（封闭与 不封闭）上分点数与点与点之间的间隔
之间的关系，有时还涉及到总长度，间隔数及一个间隔的长度的计 算。植树问题是典
型的间隔问题，掌握了植物问题其它类型也就迎刃而解了。

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例1

植树节那 天，三年级的小朋友打算在
30
米长的路一边栽树，从一端起，每隔
5
米栽一 棵，
(1)两端都要栽。小鸥说：“一共要栽
6
棵。”小雅说：“一共要栽
7
棵。”谁说得对呢？
(2)如果两端都不栽树，一共要栽几棵？
(3)如果一端栽树，另一端不栽树，一共要栽几棵？

【解析】每隔
5< br>米栽一棵，那也就是说，
30
米里有几个
5
米就是栽了几棵树，所以用
3056
（棵）。看
起来，小鸥的想法是对的，但是不符合实际。
我们画一条直线段表示
30
米长的路，然后在线段上按照要求画上小树苗，如图所示。
5米
5米5米5米5米5米

可以看到一共栽了
7
棵树。那 也就是说，用
305
求到的是有几个间隔，也就是这条路被分成几段，但是
因为两端 都栽了树，所以棵数应该比间隔数多
1
。
（1）
棵数段数1总距离 棵距1
=
30517
（棵）。因此小雅说得对，一共要栽树
7
棵。
（2）两端都不栽树，段数-1=6-1=5棵
（3）一端栽一端不栽，棵树=段数=6棵


600
米长的马路 一侧装了一排路灯，起点和终点都装了，一共
16
盏，相邻两盏之间的距离相等，求相邻两盏路灯之间相距多少米？

【解析】在马路的一侧装了
16
盏路灯，< br>16
盏路灯减去起点处的一盏，就有
16115
个间距。


600
。
（16-1）6001540
（米）


【巩固拓展】 1、街心花园一条道路长
200
米，在路的两侧从头到尾按相等的距离栽种菊花，共栽了< br>82
棵。每两棵菊花
之间相距多少米？
【解析】路的两侧共种了
82
棵，那么每边有
41
棵菊花，每边的间距为
41140
（个）， 那么就可得出间
距为
200405
（米）。

例2

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2、学校的一号楼和二号楼相距
30
米， 现在我们要在两幢楼之间栽树，每隔
5
米栽一棵，两幢楼的墙角都
不种，一共要栽几棵 树？

【解析】根据题意，画出如下示意图：
一号楼



5米
5米5米5米5米
二号楼

米5


从图中可知，两端都不栽树，所以两幢楼之间只种了
5
棵树，那也就是说棵数比间隔数 少了
1
。
。
30515
（棵）

3、一 个圆形水库，周长是
2430
米，每隔
9
米种柳树一棵，又在相邻两棵柳树之 间每
3
米种杨树
1
棵，要种
杨树多少棵？

【解 析】沿着封闭的圆形水库四周植树，段数与棵树相等，沿着
2430
米的四周，每隔
9
米种柳树一棵，共
可种
24309270
棵，也就是把水库四周平分成< br>270
段。又在相邻两棵柳树之间，每隔
3
米种杨树一棵，
每段可种< br>9312
棵，总共可种杨树
2270540
（棵）。

环形图形都为封闭路线：如环湖栽树、游泳池等在封闭曲线上植树，
棵数=段数=周长÷棵距




例1

（
2008
年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛初赛第
5
题） 李老师将一根长
12
米的木条锯成
4
小段，要用
12
分 钟；照这样的锯法，如果将这根木条锯成
8
小段，一共
需要用几分钟？
< br>【解析】将木头锯成
4
段，要锯
3
次，每次花
4
分钟 。
那么要锯成
8
小段，需要
7428
（分钟）。

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【巩固拓展】
用
10
张同样长度的纸条粘接成一条长
61
厘米的纸带，如果每个街头处都重叠
1
厘米，那么每张纸条长多少
厘米？

【解析】根据题意，我们画出局部示意图，如下

根据示意图，我们可以发现重叠的部分比纸张数少
1
，那么
10< br>张纸有
9
处重叠，也就是
10
张纸原本的长度
少了
9 19
厘米，现在纸条的长度是
61
厘米，那么我们就可以知道每张纸条的长为
（619）1070107
（厘米）


例2

园林工人要在周长
300
米的圆形花坛边等距离栽树。他们先沿着花坛的边 每隔
3
米挖一坑，当挖完
30
个坑
时，突然接到通知：后面的改为每 隔
5
米种一棵树，他们一共挖多少个坑才能完成任务？

【解析】起点不挖 坑，每隔
3
米挖一坑，挖了
30
个坑点共挖了：
33090（米）。90米后改为隔
5
米栽一
棵树后，210米，每隔5米挖一坑：210÷ 5=42（个）坑挖完。
30+42=72(个)



【巩固拓展】
在一条长1200米的河堤边等距离植树(两端都要植树)。已挖好每隔6米植 一棵树的51个坑，后面的要改
成每隔4米植一棵树。最后一共要挖多少个坑？

【解析】

两端都有树，棵树
=
段数
+1
所以
51
个坑有
50
段的间距

6×50=300
米

1200-300=906
米，
90 6
米每隔
4
米植一棵树，头已经栽好数了，所以段数
=
棵树

900÷4=225
个

一共有坑
51+225=276
个

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例3

马路的一边，相隔8米有一棵杨 树，皓皓乘汽车从学校回家，从看到第一棵树到第68棵树共花了2分钟，
小明从家到学校共坐了半小时 的汽车，问：小明的家距离学校多远？

【解析】第一棵树到第68棵树中间共有68-1= 67（个）间隔，每个间隔长8米，所以第一棵树到第68棵
树的距离是：67×8=536（米），汽 车经过536米用了2分钟，1分钟汽车经过：536÷2=268（米）,半小时汽
车经过：268× 30=8040（米），即小明的家距离学校8040米.


【巩固拓展】 公路两旁距离均匀地栽有一批杨树。清晨琳琳以同一速度在公路一侧跑步，从第一棵树跑到第九棵树用了4
分钟。她准备往返跑步
30
分钟，琳琳应该跑到第几棵树时返回？

【解析】

，琳琳
30
秒跑一个间距。
4分钟240秒 ，240（9-1）30（秒）
，琳琳
1800
秒要跑
60
个间 距，往返各
30
个间距，
30分钟1800秒，18003060
（ 个）
所以
30131
（棵）。琳琳跑到第
31
棵树时返回。



例4
如图是五个大小相同的铁环连在一起的图形。它的长度 是多少？十个这样的铁环连在一起有多长？



【解析】
如上图所 示。关键是求出重叠的
“
环扣
”
数
(
每个长
6毫米
)
。根据植树问题的第
(3)
种情形知，五个
连在一起的< br>“
环扣
”
数为
5-1
＝
4(
个
)< br>，所以重叠部分的长为

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(5-1)
＝
24(
毫米
)
，


6×
又
4
厘米
=40
毫米，所以五个铁环连在一起长

5-6× (5
－
1)
＝
176(
毫米
)
。


40×
同理，十个铁环连在一起的长度为

10-6×(10-1)=346(
毫米
)
。


40×
答：五个铁环连在一起的长度为
176
毫米。十个铁环连在一起的 长度为
346
毫米。



【巩固拓展】
（第13届中环杯初赛）
有六根木条,各长50厘米。现要将它们依次首尾相接钉在一起， 每两根木条中间钉在一起的部分长10厘
米。钉好后木条总长（ ）厘米。

【解析】6个木条，有5个重叠部分
6×50-（6-1）×10
=300-50
=250（厘米）




例1

（第12届中环杯初赛）
有一次活动中，要 将12个颜色各异的球沿着画在地上的圆圈排成一圈，每个球都放在圆周上，且每两个
球之间的圆弧长2 米。顺时针数，红球排第一个，篮球排第九个。那么，红球和篮球间的圆弧长（ ）米

【解析】
先要理解什么是圆弧：两个球在圆圈上的距离有两种，一种比较长，一种比较短，显 然这里指比较短的距
离。
封闭图形中，总长=棵树×段长，圆圈的长度=12×2=24米
从第一个球顺时针到第九个球的距离是：（9-1）×2=16米，逆时针的距离是24-16=8米。
答案应为：8米。

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例2

父子俩一起攀登一个有
300
个台阶的山坡，父亲每步上
3
个台阶，儿子每步上
2
个台阶。 从起点处开始，
父子俩走完这段路共踏了多少个台阶？
(
重复踏的台阶只算一个
)
。




【解析】因为两端的台阶只有顶的台阶被踏过，根据已知条件，儿子踏过的台阶数为

2
＝
150(
个
)
，


300÷
3
＝
100(
个
)
。

父亲踏过的台阶数为
300÷
3=6
，所以父子俩每
6
个台阶要共同 踏一个台阶，共重复踏了
300÷6
＝
50(
个
)
。所以父 子俩 由于
2×
共踏了台阶


150
＋
10 0-50
＝
200(
个
)
。

答：父子俩共踏了
200
个台阶。


例3

小 雨要到高层建筑的某层，由于电梯停运，她走到
5
层用了120秒，后来又以原来速度走了30 0秒。问，
这时小雨到了第几层？

【解析】由于爬楼层数=楼的层数-1。所以到5层其实只爬了4层楼，那么每爬一层楼所需时间：
，
120（51）30
（秒）

爬一层楼需要30秒，那么300能爬几层：300÷30=10层

最后加上原来已经爬的5层：
10+5=15层


例4

（
2008
年第七届“小机灵杯”数学竞赛决赛）
甲、乙两人在一幢高层建筑内比赛爬楼梯，每两层之间的楼梯有
22
级，甲上下楼梯的速度都 是每秒
6
级，
乙上下楼梯的速度都是每秒
4
级，甲、乙两人同时从底 层出发，直到顶层再返回，甲返回底层时，乙还要
走
264
级才能到底层，这幢高层建 筑有几层？

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【解析】根据题意可知，当甲到达底层时比赛结束，那么甲 、乙所花的时间一样，那么我们可以知道乙之
前走的级数加上未走的
264
级等于甲总 共走的楼梯级数，那么可以得出当甲到达底层时，所用时间为
，甲总共爬了
132622 36
（层）。又甲是到顶层再返回底层，所以这幢楼高
264（6-4）132
（ 秒）
。
362119
（层）





例5

某市国庆节有
60000
人参加游行庆祝活动， 这些人被平均分成
25
队，每队以
32
人为一排。行进中，排与
排之 间相隔
1
米，队与队之间相隔
6
米。求这支游行队伍的长度。

【解析】
60000
人参加，被平均分成
25
队，那么每队就有< br>60000252400
（人）；每队以
32
人为一排，
那么每个 队伍每列有
24003275
（人），也就是说每个队伍的间隔有
75174
（个），那么我们就可以
求到每个队伍的长度
74174
（米）。又队与 队之间相隔
6
米，共
25
个方阵，那么队伍总长度就等于每个
方阵的 长度加上他们之间的间隔距离，即
741256
。
（25-1）18501441994
（米）




例6

红星小学有125人参加运动会的入场式,他们每5人为一行,前后两行的距 离为2米,主席台长32米.他们以
每分钟40米的速度通过主席台,需要多少分钟?
【解析 】有125人,每5人为一行：共有125÷5=25行,行数相当于植树问题中的棵数,前后两行距离是2米< br>相当于每两棵树之间的距离,这样可求出队伍的长度是2×(25-1)米.再加上主席台的长度,就是队 伍所要走的
距离
解 [2×(125÷5-1)+32]÷40=[2×24+32]÷40=80÷40=2(分钟).
答:队伍通过主席台要2分钟.


【世界名题展】
20棵树，如果每行种四棵，问怎样种植，才能使行数更多？

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16世纪古希腊、古罗马、古埃及 18世纪山姆·劳埃德完成了18行排法
完成了16行排法。

1、科学家进行一项实验，每隔
5
小时做一次记录。 做第
12
次记录时，挂钟的时针恰好指向
9
。问做第一
次记录时，时 针指向几？

【解析】
一共做了
12
次记录，可以知道一共隔了
11
个
5
小时，也就是
11555
（小时）。因为现在 时针指向
9
，那
么
55
小时前，时针应该指向
2
。


2、（第11届中环杯决赛）
在长 120 米的直道上，从距离起点 4 米处开始，依次重复地轮换插上红、黄、蓝三种彩旗，相邻的两面
彩旗间间隔 4 米。问距离起点 88 米的地方插不插旗？如果插，插的是什么颜色的旗？
【解析】
884=22 223=7……1
所以距离起点 88 米的地方插旗，插的是红旗。



3、公路的一边每隔
8
米栽
1
棵梧桐树。小军骑自行车< br>5
分钟共看到
251
棵树，小军每分钟骑多少米？

【解析】
251
棵树间有
250
个间隔，
那么这段路的总长度为
25082000
（米），
那小军每分钟骑了
20005400
（米）。

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4、一个街心花园如下图所示，它由
4
个大小相等的等边三角形组成。已知从每个小三角形的顶点开始到下
一个顶点均匀摆放
9
盆鲜花。大三角形边上共摆多少盆鲜花》整个花园共摆多少盆鲜花？



【解析】
92117
（盆），大三角形边：。
927
（ 盆），
7321
（盆），
（17-1）348
（盆）
整个 花园：
214869
（盆）。


5、村民们在村庄的周围栽 树。要求每隔
15
米栽
1
棵杨树，而且每两棵杨树中间栽
2
棵柳树，使每两棵相邻
的树间距相等。已知村庄周长为
4500
米。问：需要多少棵杨 树？多少棵柳树？相邻两棵树之间的间距是多
少米？

【解析】
在村周围 栽树属于封闭式路线，所以杨树数=段数=
450015300
。又因为每两棵杨树中间栽
2
棵柳树，
所以柳树数为
3002600
。再求两棵柳树之间的 间距。因为两棵杨树间等距离地栽
2
棵柳树，所以两棵
树的间距为
15。
（21）5
（米）
杨树数为
450015300
（ 棵）；柳树数为
3002600
（棵）；
相邻两棵树的间距为
15
。
（21）5
（米）



6、某人要到一座大楼的第八层办事，如果从第一层走到第四层用了
48
秒，那么以同样的速度到第八层，
还需要多少秒才能到达？

【解析】从第 一层走到第四层经过
3
个间隔，那么走每个间隔所需要的时间为
48316
（秒），那么从第
四层到第八层经过
4
个间隔，还需要的时间为
416 64
（秒）。



7、有一根长
180
厘米的 绳子，从一端开始每
3
厘米作一记号。每
4
厘米也作一记号，然后将有记号的 地方
剪断，绳子共被剪成多少段？

【解析】 按每
3
厘米去剪绳子的话，我们可以剪到
180360
（段）；

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按每
4
厘米去剪绳子的话，我们可以剪到
180445
（段）。
按此规律去剪绳子的话，会有若干个记号会重复，也就是说剪这些记号时，无论是按每
3
厘米去
剪还是按每
4
厘米去剪，它们都是同一点，诸如
12厘米、24厘米 、36厘米、48厘米等等
，这些点都是
3和4
的倍数，也是
3和4的最小公 倍数12的倍数
，那么
180
中有
15
个
12
，也 就是说有这样的点
15
个（绳子被重复
剪了
15
次），所以绳子被剪 成了：
60451590
（段）。