旧劳动合同法全文-七月初七什么节

数的整除：掌握一些常用的 整除性质，如能被2、3、4、5、8、9、25、125等整除的
数的性质；同时了解特殊的整除性质 ，如能被7、11、13等整除的数的性质。
分解质因数：熟练运用短除法来分解质因数，能够灵活应用。
特殊质数：2是最小的质数，也是唯一的偶质数。


下列哪些数能被4或9或11整除？
350 5170 296 1422 52019
能被4整除：______________________
能被9整除：______________________
能被11整除：______________________
【分析】知识点：整除的特征。
难度：A 出处：《从课本到奥数》
【解答】能被4整除的有296 ；能被9整除的有1422 ；能被11整除的有5170、52019 。
总结一
能被4整除的数的特征：末两位能被4整除；
能被9整除的数的特征：各个数位数字之和能被9整除；
能被11整除的数的特征：① 末三位与末三位之前的数做差，差能被11整除；
② 奇数位数字之和与偶数位数字之和做差，差能被11整除。


下面的数，哪些能被8或25？
150 1104 2125 3500 3728 8064
16

能被8整除：______________________
能被25整除：______________________
【解答】能被8整除的有1104、3728、8064 ；能被25整除的有150、2125、3500 。
总结二
能被25整除的数的特征：末两位能被25整除；
能被8整除的数的特征：末三位能被8整除。

既是2和5的倍数，又是3的倍数的最小三位数是多少？
【分析】知识点：整除的特征。找出同时满足条件的数。
难度：A 出处：《从课本到奥数》
【解答】因为是三位数，则百位最小为1 ；同时是2和5的倍数，则个位为0 ；又是3的
倍数，即各个数位数字之和是3的倍数，则十位最小是2 。所以最小三位数是120。


一个七位数“2009□□□”能同时被4，9和5整除，写出所有满足条件的七位数。
【解答】由题可知，个位是0 ；因为末两位能被4整除，则十位可填0、2、4、6、8 ；各
个数位数字之和可以为18或27 ，则百位与十位数字之和可为7或16 。
所以，这 个七位数可为2009700、2009520、2009340、2009160、2009880 。

只修改21475的某一个数字，就可使修改后的数能被225整除，怎样修改？
【分析】知识点：根据数的整除的特征，将除数分解后再进行考虑。
难度：B 出处：《优等生数学》
【解答】
225925
，即修改后的数既能被9整除也能被25整除。
根据能被25整除的数的特征，原数末两位是75，满足条件；
根据能被9整除的数的特征，原数各个数位数字之和是19，需要减去1或加上8。
所以修改后的数可为11475、20475、21375、29475 。

< br>一个无重复数字的五位数“3□6□5”，千位与十位数字看不清了，只知道这个数是75
的倍数 。这样的五位数有哪几个？
【解答】
75325
，即这个五位数既能被3整除又能被25整除。
根据能被25整除的数的特征，十位数字可以为2或7；
根据能被3整除的数的特征，
① 当十位数字为2时，各个数位数字之和是16，则千位数字可为2、5、8 ；
② 当十位数字为7时，各个数位数字之和是21，则千位数字可为0、3、6、9 。
此时有七个，32 625、35625、38625、30675、33675、36675、39675 ，
去掉重复数字的五位数，则共有3个，分别是38625、30675、39675 。


26

A
是一个自然数，它是15 的倍数，并且它的各个数位上的数字只有0和8两种。
A
最
小是几？
【分析】知识点：数的整除的特征，结合最小公倍数。
难度：B 出处：《优等生数学》
【解答】
1535
，即这个五位数既能被3整除又能被5整除。
根据能被5整除的数的特征，个位数字为0；
根据能被3整除的数的特征，且各个数位上的数 字只有0和8两种，则组成A的
数字中至少有三个8。
所以A最小是8880 。

姐姐参加中学生英语竞赛，她说：“将我得的名次、我的年龄与我的竞赛得分相乘，正
好等于 2716。”你知道姐姐的名次、年龄、得分各是多少吗？
【分析】知识点：分解质因数，再将分解后的质因数重新组合成新的数。
难度：B 出处：《从课本到奥数》
【解答】
271622797
，由于姐姐是中学生 ，所以年龄应该是
2714
（岁），
而剩下的两个因数2和97，则分别是名次和得分。
所以，姐姐的名次是第2名，年龄是14岁，得分是97分。


小雨是六 年级的学生，他参加了数学综合能力竞赛，并获得前三名，他高兴地对同学
们说：“我的得分、名次与我 的年龄之积恰好是2328。”你能推算出小雨的得分、名次与年
龄分别是多少吗？
【解答】 先把2328分解质因数。
2328222397
，因为小雨是六年级的学生，所以
小雨的年龄年龄应该是
22312
（岁），则他的得分是97分，名次是第2名 。


1125乘自然数
b
，得到一个平方数，求
b的最小值和这个平方数。
【分析】知识点：分解质因数，重新组合，构成平方数。
难度：C 出处：《从课本到奥数》
【解答】
112535
，因为结果是平方数，出现奇数次方的因数是5，
所以
b
的最小值为5。则这个平方数是
112555625
。

一个质数的2倍和一个质数的3倍之和为100，这两个质数的和是多少？
【分析】知识点：特殊的质数。
难度：C 出处：《优等生数学》
【解答】 不妨设这两个质数分别为
a
和
b
，则
2a3b100
。
因为和100是偶数，则
2a
、
3b
奇偶性相同。又因为
2 a
一定为偶数，则
3b
也为偶
23
36

数，所以
b
为偶数。而唯一的偶质数是2，所以
b2
，从而解得< br>a47
。
ab24749
，这两个质数的和是49 。


有7个不同的质数，它们的和是60，其中最小的质数是________。
【解答】结果为偶数，则其中必有一个偶数。而唯一的偶质数是2，且2也是最小的质数。
所以，其中最小的质数是2 。


用0~9这十个数字组成几个质数，每个数字都恰好用一次，这些质数的和最小是多少？
解：理由如下即上面所说的567。
【分析】知识点：质数的特点，熟记100以内的质数。
难度：C 出处：底稿
【解答】0、4、6、8均不能充当个位数字，0也不能作首位 ，所以必有一个三位数的数字，
以0为十位数字：2、5不能充当两位或三位数字的个位数字，于是1、 7、9必须
充当个位数字；2、3、5作为质数时，和最小。
所以，这几个质数是2、3、5、67、89、401时，它们的和最小是567。


【教师备用】
1、有一个五位数
a129b
，它可被36整除。 请问
a
2
b
2
等于多少？
解：∵
3649
，∴
4a129b
，并且
9a129b
。由
4a129b< br>，可得
b2
或者
b6
。
当
b2
时，
9(a1292)
，即
9(a14)
，易得
a4
；
当
b6
时，
9(a1296)
，即
9(a 18)
，易得
a9
；
∴
a
2
b
2
4
2
2
2
20
或者
a
2
 b
2
9
2
6
2
117
。

2、由2、3、5、7四个数字能组成许多没有重复数字的四位数，而在组成的四位数中，有
两个数是 25的倍数，且这两个数的差是450。那么，这两个四位数的和是__________。（中
环杯， 第六届复赛）
解： 这两个数为3725、3275，和为
372532757000
。

3、
a,b和c
都是两位数的自然数，
a,b
的个位分别是7和5，
c
的十位是1。如果它们满足
等式
abc2005,求abc。

解：设
a为A7,b为

B5，c为1C
，因此
abc A7B51C2005
，由此判断出
C0
。
即
c10,< br>abA7B52005101995
。因为
19953557
， 所以
a57,b35

abc573510102
。

46

4、已知
x
，
y，
z
为三个质数，且
xy24
，
yz66
，< br>xyz
，求
x
，
y
，
z
。
解 ：因为
xy24
，即将24分拆成两个质数的和，一共有24=19+5=17+7=13 +11，则
当
x5
，
y19
时，
z47
；
当
x7
，
y17
时，
z49
，不符合题意， 舍去；
当
x11
，
y13
时，
z53
；
所以
x,y,z
可为5、9、47或11、13、53



下面的数，哪些能被4整除？哪些能被9整除？
60 189 208 234 336 783 1107 2216

能被4整除：__________________________
能被9整除：__________________________
【解答】能被4整除的数有60、208、336、2216 ；
能被9整除的数有189、234、783、1107 。

五位数“24□6□”能被15整除，这样的五位数有哪些？
【解答】
1535
，则这个数既能被3整除也能被5整除。
根据能被5整除的数的特征，个位数字为0或5；
根据能被3整除的数的特征，
① 当个位数字为0时，各个数位数字之和是12，则千位数字可为0、3、6、9 ；
② 当十位数字为5时，各个数位数字之和是17，则千位数字可为1、4、7 。
所以，这样的五位数有24060、24360、24660、24960 ；24165、24465、24765 。

正方体纸盒每个面上都写有一个正整数，并 且相对两个面所写的两数之和都相等。若
18对面所写的质数是
a
，14对面所写的质 数是
b
，35对面所写的质数是
c
。试求
abc
的值。
【解答】依题意得
18a14b35c
，要使等式成立，
a
，
b
，
c
的奇偶性应分别为
奇、奇、偶，或是偶、偶、奇。而a
，
b
，
c
均为质数，唯一的偶质数是2 。
所以只 有
c
=2成立，此时
b
=23，
a
=19，所以
a bc
=19+23+2=44。

504乘自然数
a
，得到一个平方数，求
a
的最小值和这个平方数。
【解答】
504237
，所以
a
的最小值是
2714< br>，这个平方数
504147056
。



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整除的特征


❖ 能被7整除的数的特征
方法一，割尾法（适用 于位数少时）。一个数割去末位数字，用剩下的数与被割去数字
的2倍做差，结果是7的倍数（包括0） ，那么这个数就能被7整除。如果第一次结果
太大或不易心算，则继续重复之前的步骤，割尾、倍大、相 减、验差，直到能够判断
为止。
例如，判断133是否为7的倍数：13－3×2＝7，所以 133是7的倍数；判断6139是
否7的倍数：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数。
方法二，段差法（适用于数位在三位以上时）。一个 数的末三位数，与末三位数之前的
数字所组成的数做差，结果是7的倍数（包括0），那么这个数就能被 7整除。
例如，判断280679是否为7的倍数：末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数
是280，679－280=399，399能被7整除，因此280679也能被7整除。
此法也适用于判断能否被11或13整除的问题。

❖ 能被11整除的数的特征
方法一，段差法。与能被7整除的方法二步骤相同，判断结果是否能被11整除即可。
方法二 ，奇偶位差法。一个数从右向左数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起
来，再求它们的差，结果是 11的倍数（包括0），那么这个整数就能被11整除。
例如，判断491678是否11的倍数：奇 位数字的和9+6+8=23，偶位数位的和4+1+7=12 ，
23-12=11 ，因此491678能被11整除。

❖ 能被13整除的数的特征
方法一，割尾 法。一个数割去末位数字，用剩下的数加上被割去数字的4倍，结果是
13的倍数，那么这个数就能被1 3整除。
方法二，段差法。与能被7整除的方法二步骤相同，判断结果是否能被13整除即可。
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