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行程问题
知识点1：追及与相遇问题

三个基本量：路程、速度、时间
最原始公式：路程＝速度×时间


⑴基本相遇追及问题：
路程和＝速度和×相遇时间；
路程差＝速度差×追击时间；
⑵多次相遇问题：
①直线路线上多次相遇：第一次相遇，路程和＝1倍全程以后每次
相遇，路程和＝2倍全程
②环形路线上多次相遇：每次相遇，路程和＝1圈路线周长每次追
及，路程差＝1圈路线周长
⑶多人相遇问题：
每次只同时考虑两个人的相遇或追及过程。

例1

(基础)甲、乙两车同时从
A
、
B
两地相向而行，在距< br>B
地54千米处
相遇。他们各自到达对方车站后立即返回原地，途中又在距
A< br>地42

千米处相遇。求两次相遇地点的距离。




(提高、尖子)甲、乙两人从相距40千米的
A
，
B
两地 相向往返而行，
甲每小时行4千米，甲出发2小时后乙才出发，乙每小时行6千米，
两人相遇后 继续行走，他们第二次相遇的地点距离
A
地多少千米？




例2

(基础)甲、乙两车分别从
A
、
B两地同时相向开出，甲车的速度是50
千米时，乙车的速度是40千米时，当甲车驶过
A< br>、
B
距离的
1
多
3
50千米时，与乙车相遇。
A
、
B
两地相距多少千米？

(提高、尖子)甲、乙两列火车的速度比是5∶4，乙车先出发，从
B
站
开往
A
站，当走到离
B
站72千米的地方时，甲车从< br>A
站出发开往
B
站。两车相遇的地方离
A
，
B
两站的距离比是3∶4，那么，
A
，
B
两
站之间的距离是多少千米 ？




例3

甲、乙、丙三人同时从东村 到西村去，甲骑自行车，每小时比乙快4
千米，比丙快7.5千米，甲走40千米到达西村后立即按原路 原速度
返回，在距西村10千米处与乙相遇，丙走多少小时和甲相遇？




例4

(基础、提高)(第七届“中环杯”学生思维能力训练活动复赛) 某人骑

车上下班，下班的速度比上班的速度慢
1
，因此下班比上班多用 5分
6
钟，那么上班需要( )分钟。




(尖子)一支解放军部队从驻地乘车赶往某地抗洪抢险，如果行驶1个
小时后，将车速提高五分 之一，就可比预定时间提前20分钟赶到；
如果先按原速度行驶72千米，再将车速提高三分之一，就可 比预定
时间提前30分钟赶到。问：这支解放军部队一共需要行多少千米？




例5

(基础、提高)(第十届“中环杯”中学生思维能力训 练活动六年级模拟
练习题(二)填空题第9题)甲、乙两人分别从
A
、
B两地同时出发，相
向而行，甲的速度是乙的速度的1.5倍。两人相遇后继续往前走，各
自 到达
B
地和
A
地后立即返回。已知两人第二次相遇地点距第一次

相遇地点12千米，那么
AB
两地相距( )千米。




(尖子)甲乙两人分别从小路两端
A
，
B
两处 同时出发相向而行，第一
次相遇在距
B
处80米的地方，然后两人继续按原速向前行走 ，分别
到
B
，
A
处后立即返回，第二次相遇在距
A
处30米的地方，照上面
的走法，两人第三次相遇在距
A
处多少米的地方？




例6

(基础)猎狗追赶前方30米处的野兔。猎 狗步子大，它跑4步的路程
兔子要跑7步，但是兔子动作快，猎狗跑3步的时间兔子能跑4步。
猎狗至少跑出多远才能追上野兔？

(提高 、尖子)(第六届“中环杯”中学生思维能力训练活动初一年级决
赛活动内容)森林里开运动会，狐狸与 松鼠进行跑步比赛，同时从
A
地出发到
B
地，狐狸跑3步的路程相当于松鼠跑 5步的路程，狐狸
跑2步的时间相当于松鼠跑3步的时间。当狐狸跑了840步到达
B
地时，松鼠还要跑多少步才能到达
B
地？
问客户所购置的新设备花了多少元？




例7

一条电车线路的起点站和终点站 分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一
辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走15分钟。有一个人从乙站出
发沿电车线路骑车前往甲站。他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙
站。在路上他又遇到了10 辆迎面开来的电车。到达甲站时，恰好又
有一辆电车从甲站开出。问他从乙站到甲站用了多少分钟？

例8

(基础、提高)某轻轨站楼 梯旁边有一架从一楼到二楼的自动扶梯，共
有60级。小兵他爸每次从旁边的楼梯上楼所需要的时间都是 20秒，
而每次站在扶梯上上楼所需要的时间都是30秒。问：如果小兵他爸
通过自动扶梯步行 上楼，那么需要的时间是多少？



(尖子)在地铁车站中，从站台到地 面有一架向上的自动扶梯，小强乘
坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过20级台阶后到达< br>地面，如果他每秒向上迈两级台阶，那么走过30级台阶后到达地面。
问从站台到地面有多少级台 阶？



例9

(基础、提高)小梅划一条小船向上 游划去，将草帽放在了船尾，草帽

被风吹进了河中，当他发现并调过船头时，草帽已与船 相距1千米，
若船是以每小时5千米的速度行驶，水流速度每小时2千米，那么，
他追上草帽需 要几小时？



(尖子)(第11届《华罗庚金杯少年数学邀请赛》模拟 试题)两个口岸
A
、
B
沿河道的距离为360千米，甲船由
A
到
B
上行需要10小时，下行
由
B
到
A
需要5小 时，若乙船由
A
到
B
上行需要15小时，那么下
行由
B到
A
需要度多少小时？



测试题
1． 在双轨铁道上，速度为
54
千米小时的货车
10
时到达铁桥，
10< br>时
1
分
24
秒完全通过铁桥，后来一列速度为
72
千 米小时的列车，
10
时
12
分到达铁桥，
10
时
1 2
分
53
秒完全通过铁桥，
10
时
48
分
56
秒列车完
全超过在前面行驶的货车。求货车、列车和铁桥的长度各是多少
米？

2．某部队从甲地出发，直线行军向乙地。传令每年兵 和部队一起出
发，但速度较快，先到乙地报告部队位置。再立即返回，遇到部
队时再报告乙地位 置，然后再立即返回乙地，…，即一直往返于部
队和乙地之间，直到部队到达(或非常接近)目的地。现 已知传令兵
第一次从乙地返回遇到部队时报告说部队还需
64
分钟到达，第四
次返回遇到部队时报告说还需
27
分钟到达，则需要再经过多少时
间，传令兵第五次遇 到部队？(部队和传令兵速度一直不变，相遇
和报告时间忽略不计)。



3．甲、乙、丙三辆车同时从
A
地出发到
B
地去，甲、乙两车的速度 分
别为
60
千米时和
48
千米时。有一辆迎面开来的卡车分别在他们
出发后
6
时、
7
时、
8
时先后与甲、乙、丙三辆车 相遇。求丙车的
速度。

4．(第七届“中环 杯”学生思维能力训练活动六年级初赛)公路上同
向行驶着三辆汽车，客车在前，货车在中，小轿车在后 ，在某一
时刻，货车同客车、小轿车的距离相等；过了
10
分钟后，小轿车
追 上货车；又过了
5
分钟，小轿车追上了客车。再过( )分钟，
货车追上客车。



答案
1．【解析】
先统一单位：
54< br>千米小时
15
米秒，
72
千米小时
20
米秒，
1
分
24
秒
84
秒，
48
分
5 6
秒
12
分
36
分
56
秒
2216
秒。
货车的过桥路程等于货车与铁桥的长度之和，为：
15841260
(米)；
列车的过桥路程等于列车与铁桥的长度之和，为：
20531060
(米)。 < br>考虑列车与货车的追及问题，货车
10
时到达铁桥，列车
10
时
12
分到
达铁桥，在列车到达铁桥时，货车已向前行进了
12
分钟(
720
秒)，从
这一刻开始列车开始追赶货车，经过
2216
秒的时间完全 超过货车，

这一过程中追及的路程为货车12分钟走的路程加上列车的车长，
所 以列车的长度为

2015

221615720280
(米)，那么铁桥的长度为
1060280780
(米)，货车的长度为
1260 780480
(米)。

2．【解析】
设第一次相遇时部队离乙地的 路程比上全程为
x
，那么第二次相遇
时部队离乙地的路程比上第一次相遇，部队离乙地 的路程为
x
，……
甲
传令兵
部队
乙
部队64分钟 路程
传令兵
部队
部队64x分钟路程
………………………………………

依次类推，第四次相遇时部队离乙地的路程比上第一次相遇时部队
离乙地的路程为
x
3

273333

，所以
x

644444
可以求出部队与传令兵的速度比为
43:431:7
< br>部队
8
分钟的路程来回由部队与传令兵共同来走，需要
272(17) 6.75
分钟；需要再经过
6
分钟
45
秒，传令兵第五次遇到
部队。

3．【解析】

甲遇到卡车时，甲、乙相距
(6 048)672
千米，这也是乙车与卡车
在接下来的
761
小时内 的相遇路程，则可知卡车速度是
7214824
千米时；乙车与卡车相遇时，乙、丙相距

48v
丙

7
千
米，这也是丙与卡车在接下 来的
871
小时内的相遇路程
(24v
丙
)1
，< br>可得方程：

48v
丙

7

24 v
丙

1
，解得
v
丙
39
千米时。
说明：求出卡车速度后，也可以先求两地间距离，得

6024

6504
千米，再求丙车的速度：
50482439
千米时。

4．【解析】
从某一时刻开始，小轿车
10
分钟追上货车，
15
分钟追上客车，
假设他们之间的距离都是
S
，则说明小轿车
15
分钟比客车多开了< br>2S
，
15
分钟比货车多开了
1.5S
，所以货车每
15
分钟比客车多开
0.5S
，所
以需要两个
15
分钟火车 才能追上客车，即再过
15
分钟

不等式3＋2
x
≤-1的解集是_____。
⑶不等式15－(7＋5x
)≤2
x
＋(5－3
x
)的解集是_____。
⑷不等式
3x2
x1
的解集是_____。
4

例6

解下列不等式：
⑴
y3

3
(2y5)
；
24



⑵
3
[
1
(2x1)
1
]2

423




⑶
1
(1
1< br>x)
1
(
1
x1)1

2332



例7

342
已知
a
x4，b
2x7
，并且
2b
5
a
，请求出
x
的取值范围。

例8

(基础)求不等式2
x
＋1≤5的正整数解。




(提高、尖子)求不等式
x
3x5

2(10x)
1
的非负整数解。
27

测试题
1．设
a
，
b
，
c
都是实数，且满足：用
a
去乘不等式的两边，不等号
方向不变；用
b
去除不等式的两边，不等号方向改变；用
c
去乘不
等式的两边，不等号要 变成等号。则
a
、
b
、
c
的大小关系是( )
A
．
abc

B
．
acb
C．
bca

D
．
cab





< br>2．关于
x
的方程
3xm4x2
的解是非正数，则
m< br>的取值范围是




3．不等式
x


7
3
110.03x0.0 11.30.1x
(x3)
的非负整数解是
______

60.050.2

答案
1．【解析】
根据题意可得
a0
、
b0
、
c0
，所以选择B。

2．【解析】
解方程
3xm4x2
得
x2m
，因为
x0
，所以
2m0
，
m2
，
解 得
m2
。

3．【解析】
将不等式去分母：
14x 11(x3)(
3x113x
)6

52
14x11(x3)(3x1)1.2(13x)3

去括号：
14x11x333.6x1.2393x

移项：
14x11x3.6x3x1.23933

合并同类项：
3.6x7.2

系数化为
1
：
x2

所以原不等式的非负整数解是
0,1
。