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循环小数的计算



教学目标



循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的 主要
利用运算定律进行简算的问题．

知识点拨
1.的“秘密”
1
7

••••••••
1236
0.142857，
0.285714
，
0.428571
,…,
0.857142

7777
2.推导以下算式
112341< br>&&&

12

4
；
0.123
&&&&< br>
1234
； ⑴
0.1
；
0.1234
；
0.12
999339993339999
&

121
< br>11
；
0.123
&

12312

37
；
0.1234
&

1234123

1111
； ⑵
0.12
909000
&&

123412

611
；
0.1234
&&

12341

137
⑶
0.1234
9910
&&
为例，推导
0.1234
&&

123412

611
． 以0.1234
99004950
&&
A
，将等式两边都乘以100，得 ：
100A12.34
&&
； 设
0.1234
&&
， 再将原等式两边都乘以10000，得：
10000A1234.34
123412611
两式相减得：
10000A100A123412
，所以
A
．

99004950
3.循环小数化分数结论
纯循环小数 混循环小数
循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与
不循环部分数字所组成的数的差
按循环位数添9，不循环位数添0，组成分母，
其中9在0的左侧
分子 循环节中的数字所组成的数
分母
n个9，其中n等于循环节所
含的数字个数
·
··
····
abca
aabab1ab


；
0.0ab
；

，……
0.a
；
990
9999910990
例题精讲

1-3-3.循环小数与分数的拆分.题库 教师版 page 1 of 8

模块一、循环小数的认识
【例 1】 在小数
l.8
上加两 个循环点，能得到的最小的循环小数是_______(注：
公元2007年10月24日北京时间18 时05分，我国第一颗月球探测卫星“嫦娥
一号”由“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心升空， 编写此题是为了纪
念这个值得中国人民骄傲的时刻。)
【考点】循环小数的认识 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】希望杯，1试
【解析】 因为 要得到最小的循环小数，首先找出小数部分最小的数为0，再看0后面一位上
的数字，有05、02、0 0、07，00最小，所以得到的最小循环小数为
l.8

【答案】
l.8


【巩固】 给下列不等式中的循环小数添加循环 点：0.1998

0.1998

0.1998

0.1 998
【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 根据循环小数的性质考虑，最小的循环小数应该是在小数点后第五位出现最 小数字
1的小数，因此一定是
0.1998
，次小的小数在小数点后第五位出现次小数 字8，因
此一定是
0.1998
．其后添加的循环点必定使得小数点后第五位出现9， 因此需要考
虑第六位上的数字，所以最大的小数其循环节中在9后一定还是9，所以最大的循
环 小数是
0.1998
，而次大数为
0.1998
，于是得到不等式：
••••
••
••
••
•
0.19980.19980.199 80.1998

【答案】
0.19980.19980.19980.1998


a
【例 2】 真分数化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是< br>7
1992，那么
a
是多少?
【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算
1
&&
，
3
= 0.428571
&&
，
4
=0.571428
&
，
5
=0.714285
&
&&&
，
&
，
2
=0.285714
【解析】
=0.142857
77777< br>6
&&
．因此，真分数
a
化为小数后，从小数点第一位开始每连续六个 数字
=0.857142
77
之和都是1+4+2+8+5+7=27，又因为199 2÷27=73……21,27-21=6，而6=2+4，所以
.
a
&
=0 .857142
，即
a6
．
7
【答案】
a6


a
【巩固】 真分数化成循环小数之后，从小数点后第1位起若干位数字之和是9039
，则
a
是
7
多少？
【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算
a
【解析】 我们知道形如的真分数转化成循环小数后，循环节都是由1、2、4、5、7、8 这
7
6个数字组
成，只是各个数字的位置不同而已，那么
9039
就应该由若干个完整的
142857
和
一个不完整
1428 57
组成。
9039

124578

334L21
，而
21276
，
所以最后一个循环节中所缺的数字之和 为6，经检验只有最后两位为4，2时才符合要求，
6
显然，这种情况下完整的循环节为“857142
”，因此这个分数应该为，所以
a6
。
7
•••••••
•••••••
1-3-3.循环小数与分数的拆分.题库 教师版 page 2 of 8

【答案】
a6


a
化成循环小数之后，小数点后第2009位数字为7，则
a
是多少？
7
【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算
a
【解析】 我们知道形如的真分数转化成循环小数后，循环节都是由6位数 字组成，
7
20096334LL5
，因此只需判断当
a
为几时 满足循环节第5位数是7，经逐一
检验得
a3
。
【答案】
a3


【巩固】 （2009年学而思杯4年级第6题 ）
67
所得的小数，小数点后的第
2009
位数字
是 ．
【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算
6
【解析】
0.857142857142
……
6
个数 一循环，
20096334
……5，是4
7
【答案】4

【例 3】 写出下面等式右边空白处的数，使等式能够成立：0.6+0.06+0.006+……= 2002÷
______ 。
【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】小希望杯，4年级
&
=
6

2
=2002÷3003 【解析】 0.6+0 .06+0.006+……=
0.6
93
【答案】
3003


【例 4】 下面有四个算式：
【巩固】 真分数
①0.6+0.
1330.733;

5
②0.625=；
8
533581
③+===；
142142162
32
1
④3×4=14；
75
5
其中正确的算式是（ ）.
（A）①和② (B) ②和④ (C) ②和③ (D) ①和④
【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】选择
【关键词】华杯赛，初赛
【解析】 对题中的四个算式依次进行检验：
① 0.6+0.133=0.6+0.133133=0.733133，所以①不正确；
....
5
② 0.625=是正确的；
8
③ 两个分数相加应该先进行通分，而非分子、分母分别相加，本算式通过
出其不正确；
31
﹥即可判断
22
312421722
④
3
×
4
=×==
14
，所以④不正确。
757555
1-3-3.循环小数与分数的拆分.题库 教师版 page 3 of 8

那么其中正确的算式是②和④，正确答案为B。
【答案】
B


&
【例 5】 在混合循环小数
2.718281
的某一位上再添 上一个表示循环的圆点，使新产生的循
环小数尽可能大，请写出新的循环小数。
【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】华杯赛，初赛
&&
【解析】 小数点后第7位应尽可能大，因此应将圈点点在8上，新的循环小数是
2.718281
。
&&
【答案】
2.718281


11
&&化成小数等于0.5，是个有限小数；将化成小数等于0.090…，简记为
0.09
，< br>211
1
&
，是混循环小数。是纯循环小数；将化成小数等于0.1666…… ，简记为
0.16
6
1
1
11
现在将2004个分数，，， …，化成小数，问：其中纯循环小数有多
2
3
42005
少个？
【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】华杯赛，总决赛，二试
【解析】 凡是分母的质因数仅含2和5的，化成小数后为 有限小数，凡是分母的质因数不含
2和5的，化成小数后为有限小数后为纯循环小数，所以本题实际上是 问从2到2005
的2004个数中，不含质因数2或5的共有多少个.这2004个数中，含质因数2 的
有2004÷2＝1002个，含质因数5的有2005÷5＝401个，既含2又含5的有2000
÷10＝200个，所以可以化成纯循环小数的有2004－1002－401＋200＝801个.
【答案】
801


【例 6】 将
模块二、循环小数计算
&&&
【例 7】 计算：
0.30.030.003
（结果写成分数形式）
【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】希望杯，五年级，一试
11189
【解析】 原式

。

330300300
89
【答案】
300

&
【巩固】 计算：0．3+0．
3
=_____(结果写成分数)。
【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】希望杯，五年级，一试
3119
【解析】 原式=


10330
19
【答案】
30

&&&
【巩固】 请将算式
0.1
的结果写成最简分数．
0.010.001
【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】华杯赛，初赛
1-3-3.循环小数与分数的拆分.题库 教师版 page 4 of 8

11110010111137
【解析】 原式

.

990
37
【答案】
300

&&&
【例 8】 计算:
2.004
（结果用最简分数表示）
2.008
【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】华杯赛，总决赛，一试
4806
【解析】 原式＝
2

24
999175
5606
【答案】
4
224775

425

&
&
0.63

5
【例 9】 将
5.425

0.63
的积写成小数形式是____.

999

【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】华杯赛，初赛

5999425

0.63

34146
3.4180

425
&
&
&&

5.4250.63

50.63
【解析】

9 999990

999

&&
【答案】
3.4180


&&&&&&
【例 10】 计算：
0.01

0.120.230.340.780.89
【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算
&&&&&&
【解析】 方法一：
0.01

0.120.230.340.780.89
1121232343787898


9
216

=
2.4

90
&&&&&&
方法二：
0.01

0.120.230.340.780.89
&&&&&&

0.020.030.040.080.09
=0+0.1+0.2+0.3+0. 7+0.8+
0.01
&
=2.1+0.01(1+2+3+4+8+9)


2.1
1
27
2.10.32.4

90
【答案】
2.4


&&&&&
&
&&
（2）
0.330
&&&&
【巩固】 计算 （1）
0.2910.1920.3750.5260.186
【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算
29119213755265291375521191666330
【解析】 （1）原式
1

999990999990

33018613301855
（2）原式


99999099999081
5
【答案】（1）
1
（2）
81

&
0.36
&&

【例 11】 ⑴
0.54
1-3-3.循环小数与分数的拆分.题库 教师版 page 5 of 8

19


27
【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算
54536494899
【解析】 ⑴ 法一：原式

．

9
法二：将算式变为竖式：
0.544444
L
0.363636
L
0.908080
L

··
908 9899
可判断出结果应该是
0.908
，化为分数即是．

990990
224
⑵ 原式
11


99927999279
89920
【答案】⑴ ⑵
9909

&&&
&
【巩固】 ⑴计算：
0.16

0.1428570.1250.1
&&&

19

________． ⑵
1.21.24
27
【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】香港圣公会，希望杯，六年级，1试
1611275
【解析】 ⑴ 原式

；

10019504
224
⑵ 原式
11
．

99927999279
27520
【答案】⑴ ⑵
5049

····
11

&&&&
11
(结果表示成循环小数) 【巩固】 ⑴

； ⑵
2.234
0. 150.2180.3
0.98

111

【考点】循 环小数计算 【难度】2星 【题型】计算
1234567 9

1512182

311
371111
&&

【解析】 ⑴原式



0.01234567 9


909909111
993999

&&
2
2342
2
232
，
0.98
&&
< br>98
，所以
2.234
&&&&
2
232

98
1
242
1
22
， ⑵
2.2340.98< br>999090
&&&&
111
22
11
1

2
0.09
&&&
0.113
&&

2.2340.980.02
901190
&&&&
【答案】⑴
0.012345679
⑵
0.113

【例 12】 。
0.30.030.003LL2009
（ ）
【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】中环杯，五年级，决赛
.
1
【解析】
0.30.0 30.003L0.3
，所以括号中填
200936027

3
【答案】
6027


2009

11

2009

【例 13】 计算

(结果表示为循环小数)


999

⑵
1.21.24
•••


1-3-3.循环小数与分数的拆分.题库 教师版 page 6 of 8

【考点】循环小数计算 【难度】4星 【题型】计算
11
&&&&
【解析】 由于，，
0.000010 .00001
9990099990
11
&&&&&&
所以，
 0.000010.000010.91
9990099990
而
900991 7139901919901
，
2009

1111
< br>2009
&&
所以，


0.912009


999901

&&&&&&

0.9111 20090.0120090.09
&&
【答案】
0.09


&
乘以一个数
a
时，
&
误看成1.23，【例 14】 某 学生将
1.23
把
1.23
使乘积比正确结果减少0.3.
则正确结 果该是多少?
【考点】循环小数计算 【难度】3星 【题型】计算
••
33
【解析】 由题意得：，即：所以有：解得
a90
，
a
．
1.23a1 .23a0.30.003a0.3
，
90010
••
111
所 以
1.23a1.239090111

90
【答案】
111


&&&
【例 15】 计算：
0.1+0.125+0.3+0.16
，结果保留三位小数．
【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算 &&&
0.1111+0.1250+0.3333+0.1666=0.7359=0.736
【解析】 方法一：
0.1+0.125+0.3+0.16
&&&
1

1

3

15

11

1

53
0.7361
&
方法二：
0.1+0. 125+0.3+0.16

9899018872
【答案】
0.736


&
&
&&
【例 16】 将循环小数
0.027
与
0.179672
相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近
似值的最后一位小数是多少 ?
【考点】循环小数计算 【难度】3星 【题型】计算
&
&
&&

27

179672

1

179672

4856
0.004856
&&< br>【解析】 ×
0.179672

0.027
99999999937 999999999999
循环节有6位，100÷6=16……4，因此第100位小数是循环节中的 第4位8，第10l位是5．这
样四舍五入后第100位为9．
【答案】9

2
5
2413
&&
&
【例 17】 有8个数，
0 .51
，,,
0.51
,
,
是其中6个，如果按从小到大的顺序排列
3
9
4725
&
时，第4个数是
0.51
，那么按 从大到小排列时，第4个数是哪一个数?
【考点】循环小数计算 【难度】3星 【题型】计算
25
&
&
,
24
0.5106
,
13
=0.52
【解析】
=0.6
,
=0.5394725
&
&
&
&
&
即
24
<0 51<0.51<
&
&
&
13
<
5
<
2< br>，显然有
0.5106<0.51<0.51<0.52<0.5<0.6
8个数从小到 大排列第4
472593
24
&
&
&
&
13
<
5
<
2
．(“□”个是
0.51
，所以有
口< 口<<0.51<0.51<
，表示未知的那2个数).所以，
472593
&
&
这8个数从大到小排列第4个数是
0.51
．
&
&
【答案】
0.51

1-3-3.循环小数与分数的拆分.题库 教师版 page 7 of 8

20021
【例 18】 和化成循环小数后第100位上的数字之和是_____________.
2009287
【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】走美杯，初赛，六年级，第14题
20021
【解析】 如果将和转化成循环小数后再去计算第100位上的数字和比较麻烦，通
2009287
20021
过观察计算我们发现
1
，而
10.9
，则第1 00位上的数字和为9.
2009287
【答案】9

【例 19】 将 循环小数
0.081
与
0.200836
相乘，小数点后第
2008
位是 。

【考点】循环小数计算 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】走美杯，6年级，决赛
....
3216284
【解析】 ，
0.200836
，所以乘积为


0.0810.01 6284
，
3799999937999999999999
20086334L L4
，所以第
2008
位是
2
。
【答案】
2


..
....
1-3-3.循环小数与分数的拆分.题库 教师版 page 8 of 8