河北工业职业技术学院单招-双拥工作计划

循环小数的计算
:1' hL
教学目标
循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律
进行简算的问题.
刎
1
世 知识点拨
1.
1
的“秘密”
7
-=0.14285
,
- =0.28571
,
-=0.42857^
,…,
-=0.857142
7 7 7 7
2.
推导以下算式
123
—竺；
0 1234
-逊-
0.123 =
333 9999
999
⑵ 0.12=JhH ； -37
；
0.1234 =^^3
0.123
123—12
90 90 300 9000
900
⑶
0.1234
空；
0.1234
二於二空
9900 4950 9990 1110
以
0.1234
为例，推导
0.1234 =
4
⑴ 0.1 J 0.12
丄
9 99
33
1111
— ;
9000

.
9900 4950
设
0.1234
二
A
，将等式两边都乘以
100
,得：
100A=12.34
；
再将原等式两边都乘以

1234

一
12 611
10000
,得：
10000A =1234.34
,
混循环小数
循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与 不循
环部分数字所组成的数的差
纯循环小数
分子 循环节中的数字所组成的数
分母

n
个
9
,其中
n
等于循环节所 含的
按循环位数添
9
，不循环位数添
0
,组成分 母，其
数字个数
a
中
9
在
0
的左侧
ab
0.0ab
二辿
1 ab
99 10 990

12 611
10000A-100A =1234-12
，所以

两式相减得：
9900 4950
0.a =
9

二

;
99

二
abc —
990
3.
循环小数化分数结论

；
L
i
也例题精讲
模块一、循环小数的认识
【例
1
】 在小数
1.8
上加两个循环点，能得到的最小的循环小数是 __________
（
注：公元
2007
年
10
月
24
日北 京时间
18
时
05
分，我国第一颗月球探测卫星
【考点】循环小数的认识 【难度】
2
星
嫦娥一号”由长征三号甲”运载火
箭在西昌卫星发射中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。
）
【题型】填空
【关键词】希望杯，
1
试
【解析】因为要得到最小的循环小数， 首先找出小数部分最小的数为
0
,再看
0
后面一位上的数字，有
05
、
02< br>、
00
、
07
，
00
最小，所以得到的最小循环小数 为
【答案】
1.8*
【巩固】给下列不等式中的循环小数添加循环点：
【考点】循环小数的认识
1.8*
0.
佃
98 0.1998 0.
佃
98 0.1998
【题型】计算 【难度】
3
星
【解析】根据循环小数的性质考虑，最小的循环小数应该是在小数点后第五位出现最小数字
此一定是
0.1998
，次小的小数在小数点后第五位出现次小数字
的循环点必定使得小数点后第五位出现
1
的小数，因
8
，因此一定是
0.1998
.其后添加
9
，因此需要考虑第六位上的数字，所以最大的小数其循
环节中在
9
后一定还是
9
，所以最大的循环小数是
0.1$$98
，而次大数为
0.19,8
，于是得到不等式：
0.1998 0.1998 0.1998 0.?998
【答案】
0.1998 0.1998 0.1998 0.*998
a
【例
2
】 真分数化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是
1992
，那么
a
是
7
多少
？
【考点】循环小数的认识 【难度】
3
星 【题型】计算
1
【解析】
-
=0.142857
,
因
2 3 4 5 6
- =0.285714
,
- =0.428571
,
- =0.571428
,
- =0.714285
,
- =0.857142
•
7 7
7
7 7 7
1+4+2+8+5+7=27
，又
7
a
此，真分数化为小数后，从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是
因为
1992
-
27=73……21,27-21=6
，而
6=2+4
，所以
=0 857142
，即
a=6
.
a
7
【答案】
a =6
【巩固】真分数- 化成循环小数之后，从小数点后第
【考点】循环小数的认识
a
1
位起若干位数字之和是
9039
，则
a
是多少？
7
【题型】计算 【难度】
3
星
【解析】我们知道形如的真分数转化成循环小数后，循环节都是由 < br>1
、
2
、
4
、
5
、
7
、< br>8
这
6
个数字组
7
成，只是各个数字的位置不同而已， 那么
9039
就应该由若干个完整的
1 4 2 8 5 7
和一个不
完整
1 4 2 8 5 7
组成。
903^' 1 2 4 5 7 8 334
山
21
，而
21 =27 -6
，所以最后一 个循环节中所缺
的数字之和为
6
,经检验只有最后两位为
4
,
2
时才符合要求，显然，这种情况下

完整的循环节为
857142
”，因此这个分数应该为 ，所以
a=6
。

6
7
【答案】
a =6
【巩固】真分数空化成循环小数之后，小数点后第
【考点】循环小数的认识
2009
位数字为
7
,则
a
是多少？
7
【题型】计算 【难度】
3
星

【解析】我们知道形如的真分数转化成循环小数后，
a
循环节都是由
6
位数字组成，
2009：-6 =33
州川
）5
,
因此只需判断当
a
为几时满足循环节第
5
位数是
7
,经逐一检验得
a =3
。
【答案】
a =3
【巩固】（
2009
年学而思杯
4年级第
6
题）
6-：-7
所得的小数，小数点后的第
2009
位数字是
【考点】循环小数的认识
6
•
【难度】
3
星 【题型】计算
【解析】
=0.85714285 7142
……
6
个数一循环，
2009
、
6 =334
……
5
，是
4
【答案】
4
【例
3
】写出下面等式右边空白处的数，使等式能够成立:
【考点】循环小数的认识
【关键词】小希望杯，
4
年级
【解析】
0.6+0.06+0.006+ .. = 0.6 =_
=一
=2002
£
003
【难度】
3
星
0.6+0.06+0.006+
……
=2002- _____
【题型】计算
9 3
【答案】
3003
【例
4
】下面有四个算式：
①
0.6+0.133 =0.733;
5
②
0.625=
;
8
5 3 3 5 8 1 .
^③
+ —= = =—
;
14 2 14 2 16 2
④
3 0
-
=14 -
；
3
7 5 5
（C）
②和③
（D）
①和
④
其中正确的算式是（ ）
.
（
A
）①和②
（B）
②和④
【考点】循环小数的认识
【关键词】华杯赛，初赛
【解析】 对题中的四个算式依次进行检验：
【难度】
3
星
①
0.6+0.133=0.6+0.133133=0.733133
，所以①不正确;
②
0.625=
是正确的;
5
8
③两个分数相加应该先进行通分,
④
32421722
而非分子、分母分别相加,
本算式通过- >
-
即可判断出其不正确;
3 X4 — = X- = = 14
，所以 ④不正确。
7 5 7 5 5 5
2 2
那么其中正确的算式是 ②和④，正确答案为
B
。
【答案】
B
【例
5
】 在混合循环小数
2.718281
的某一位上再添上一个 表示循环的圆点，使新产生的循环小数尽可能 大，请写
出新的循环小数。
【考点】循环小数的认识
【关键词】华杯赛，初赛
【解析】小数点后第
7
位应尽可能大，因此应将圈点点在
是纯循环小
【难度】
3
星 【题型】计算
8
上，新的循环小数是
2.718281
。
【答案】
2.718281
【例
6
】 将
1
化成小数等于
0.5
，是个有限小数；将 丄化成小数等于
0.090
…，简记为
0.09
，
2 11

数;
将化成小数等于
0.1666
……，简记为
0.16
，是混循环小数。现在将
2004
个分数
1
,
J
,
1

1
1
…，化成小数，问：其中纯循环小数有多少个？

—?


2005

【考点】循环小数的认识 【难度】
3
星 【题型】计算

【关键词】华杯赛，总决赛，二试

2
和
5
的，化

【解析】凡是分母的质因数仅含
2
和
5
的，化成小数后为有限小数，凡是分母的质因数不含

成小数后为有限小数后为纯循环小数，所以本题实际上是问从
2
到
2005
的
2004
个数中，不含质
因数
2
或
5
的共有多少个
.
这
2004
个数中，含质因数
2
的有
2004
十
2
=
1002
个，含质因数
5
的有

2005
-
5
=
401
个，既含
2
又含
5
的有
2000
-
10
=
200
个，所以可以化成纯循环小数的有
2004

—


1002
—
401
+
200
=
801
个
.


【答案】
801

模块二、循环小数计算



【例
7
】 计算：
0.3 _0.03 _0.003
二（结果写成分数形

式）

【考点】循环小数计算 【难度】
2
星


【关键词】希望杯，五年级，一试

89
【解析】原式」一丄一」
。


3 30 300 300


89
【答案】
__

6 2 3
【题型】计
算
300

【巩固】计算：
0
.
3+0
.
3 = _____ （
结果写成分

数
）
。



【考点】循环小数计算 【难度】
2
星

【关键词】希望杯，五年级，一试


【解析】原式
=-
1

=
1
^


10 3 30

19
【答案】



30

【巩固】请将算式
0.1 • 0.01 • 0.001
的结果写成最简分

数.

【题型】计
算


【解

【关键词】华杯赛，初赛
1 1 1 100 10 1
原式


析】
9 90 900


【答
37


案】


300
【考点】循环小数计算 【难度】
2
星
【题型】计
算
900


111
37
900 300




【例
8
】 计算
：2.004 2.008
（结果用最简分数表示）

【题型】计
【考点】循环小数计算 【难度】
2
星

算

【关键词】华杯赛，总决赛，一试

原式=
2
土
2
旦二型
4
遊二淞型=型
706
胡輕乞
【解

900 999 900 999 899100 224775 224775

析】

【答

案】



5606
4
224775
将
5.425 0.63 S5
425
【例
【考点】循环小数计
9
】
算
0.63
的积写成小数形式是
V 999
丿
度】
2
星 【难
【题型】计
算

【关键词】华杯赛，初赛
【解析】
5.425 0.63
二
5
425

0.63 J
999 425

竺
二泄
V 999
丿
999
9990
.3.4180
【答案】
3.4180
【例
10
】计算：
0.01 0.12 0.23 0.34 0.78 0.89
【考点】循环小数计算 【难度】
2
星
【题型】计算
【解析】
方法一：
0.01 0.12 0.23
0.34 0.78 0.89
1 12 -1 23 _2 34 -3 78 -7
89-8
=一 + ---- + ------ + ----- + -----
90 90 90 90 90
90
1 11 21 31 71 81 216
=——+——+——+——+——+——= =2 4
90 90 90 90 90 90 90
方法二：
0.01 0.12 0.23 0.34 0.78 0.89
=0+0.1+0.2+0.3+0.7+0.8+
0.01 0.02 0.03 0.04 0.08 0.09
=2.1+0.01 (1+2+3+4+8+9)
1
=2.1 27
=2.1 0.3=2.4
90

【答
2.

案】

4

【巩固】
计算

(
1
)
0.291 —0.192 0.375 0.526 (2
)
0.330 0.186

【考点】循环小数计
【难度】
2
星 【题型】计算

算
291 192 -1 375 526 -5
666

【解析】(
1
)原式
291 375 521 -191

-999 990 999 990
999
990

(2
)原式
330 186 -1 330 185
5
999

— -- x
990 - 999 990
~81

999

【答
(2) §

案】
81


【例
】⑴
0.54 0.36 =

11
19

⑵
1.2 1.24
27

循环小数计算

【考
【难度】
2
星
【题型】计

点】
54 -5 36 49 4
算

+— 90
899
【解析】⑴法一：原式=-
99

11 990

法二：将算式变为竖式：
90
0.5444441


1

0.3636361

1


可判断出结果应该是
0.908
，
化为分数即是
908 -9 899
0.9080801

990
990
⑵原式=是
124
.理』空.翌
1
9 99 27 9 99 27 9
【答案】⑴
899

⑵
20

990 9
【巩固】⑴计算：
0.16 0.142857 0.125 0.1
⑵
1.2
汉
1.24

330
1
990

+ =
27 ■
【考点】循环小数计算
【难度】
2
星
【题型】计算
19

【关键词】香港圣公会，希望杯，六年级，

142
1
试
1 275
1
⑴ 原式
16 1
.—丄


析】
857 +一 +-
6
+一
8 9 504 100 -10 999999 8 9 7


2 24 19 11 123

19

20


⑵ 原式
=1 1 -
+一
X——4


9 99 27 9 99 27 9


【答

275 20
⑴ ⑵
案】




504 9


11
‘0.15+0.21

【巩固】⑴
⑵
2.23*-0.98 11 （
结果表示成循环小
0.3

8
111
数

【题型】计
【考点】循环小数计
【难度】
2
星

算
算
3235679

工卫
1
耳
J J* ,.012345679
I
解析】⑴原式二
^9
&哙









【解
：1 1
990
⑵
2.234 =2
234 2
9 111 99 3 111 81 999999999
【答
案】
【例
12
】
0.3 +0.03+0.003
十小审
=2009
十（ ）。
【考点】循环小数计算 【难度】
2
星
【关键词】中环杯，五年级，决赛
98
“ 22
=2
型，
0.98
二，所以
2.234 -0.98 =2
竺
98 “ 242
1 1 -
，
990 990 99 990
99 990 90
1
-0.98
亠
11 =1
竺
“11 —
= 0.09 0.02 =0.113
90 11 90
⑵
⑴
0.012345679
0.113
【题型】计算
1
【解析】
0.3 0.03 0.003
【答案】
6027
【例
13
】计算空

一空

【考点】循环小数计算
A
=0.3
，所以括号中填
2009 3 =6027
3
11
(99900 99990
丿
9901
A

99
【难度】
4
星
（
结果表示为循环小数
）
【题型】计算
【解析】由于 ------
=0.00001， ----- =0.00001
，
99900
A
99990
所以——
— 0.00001 -0.0d001 =0.91
，
99900 99990
11 11 =0.91 2009
9901
A

而
900991=7 13 990
仁
91 9901
，

09900 99990
丿

=0.9— 11 2009 =0.01 2009 =0.09
【答案】
0.09
所以，鑒
【例
14】某学生将
1.23
乘以一个数
a
时，把
1.23
误看 成
1.23
，使乘积比正确结果减少
多少
？
【考点】循环小数计算 【难度】
3
星 【题型】计算
3
2009
0.3.
则正确结果该是
【解析】由题意得：
1.23；-1.23a =0.3
，即：
0.003^0.3
，所以有：
—a
•解得
a =90
,
900
111
所以
1.23a =1.23 90
10
90 =111
90
【答案】
111
【例
15
】计算：
0.1+0.125+ 0.3+0.16
，结果保留三位小数.
【考点】循环小数计算 【难度】
2
星 【题型】计算

【解析】方法一：
0.1+0.125+0.3+0.16 ：■ 0.1111+0.1250+0.3333+0.1666=0.7359=0.736
方法二：
0.1+0.125+0.3+0.16
=丄 +〕
+? +
』+〕=兰
=0.7361
15
9 8 9
【答案】
0.736
90 18 8 72
【例
16
】 将循环小数
0.027
与
0.179672
相乘，取近似值，要求保留一百位 小数，
小数是多少？
【考点】循环小数计算 【难度】
3
星 【题型】计算
那么该近似值的最后一位
* j-r-
y c
彳
TCQTd 27 179672 1 179672 4856 j i
【解析】
0.027 X0
.仃
9672 0.004856
999 999999 37 999999 999999
循环节有
6
位，
100
十
6=16……4
,因此第
100
位小数是循环节中的第
4
位
8
,第
101
位是
5
.这样 四舍五
入后第
100
位为
9
.
【答案】
9
【例
17
】有
8
个数，
0.51 , - , - , 0.51,
里,是其中
6
个，如果按从小到大的顺序排列时， 第
4
个数是
0.51
,
13
47 25
那么按从大到小排列时，第
4
个数是哪一个数
？
【考点】循环小数计算 【难度】
3
星 【题型】计算
【解析】
=0.6 ,=0.5,
：
0.5106, =0.52
252413
3 9
9 47 25
243
显然有
0.5106<0.51<0.51<0.52<0.5<0.6
即
<051<051<^<-<-
,
8
个数从小到大排列第
4
个
47 25
9 3
135
是
0.51
，所以有口
<
口<空<
051<051<<<2
.
（
“□”表示未知的那
2
个数
）.
所以，这
8
个数
47 25
9 3
从大到小排列第
4
个数是
0.51
.
【答案】
0.51
【例
18
】 空和 丄化成循环小数后第
2
3
【考点】循环小数计算 【难度】
2
星
【关键词】走美杯，初赛，六年级，第
14
题
【解析】如果将 空和丄转化成循环小数后再去计算第
2
2009 287
100
位上的数字之和是 _______________
.
【题型】计算
2009 287
1
们发现
1
，而
1 =0.9
，则第
100
位上的数字和为
9.
2009 287
【答案】
9
100
位上的数字和比较麻烦，通过观察计算我
【例
19
】将循环 小数
0.081
与
0.200836
相乘，小数点后第
2008
位是
【考点】循环小数计算
【关键词】 走美杯，
6
年级，决赛
【解析】
..
【难度】
3
星
. .
【题型】计算
3
37
200836
，所以乘积为
3 200836 16284
0.016284
,
0.081
,
0.200836
999999 37 999999 999999

【答案】
2
。