天津美院官网-司法考试卷一

知识要点



按照题目要求（形状和面积），根据图形与图形之间的内在联系，通过在纸上画图 或者实际的剪
拼，来掌握图形的变化，包括把一个几何图形分割成几个图形以及把几个几何图形拼成几个 图形。
有兴趣的学生还可以自制“七巧板”或者“伤脑筋十二块”等中国传统益智拼板游戏，在闲暇时
间尝试拼一下，说不定还能拼出自创的新颖有趣的图形。


图形的剪拼
找对称

【例 1】 把一个
33
的的网格分成形状、大小完全相同的四份。

【分析】 答案不唯一，最简单的分法如右上图。

【例 2】 哥哥和弟弟一起做手工，想把一张红色 的平行四边形蜡光纸沿着一条直线，把它剪成大小、形状
完全相同的两部分。想一想，你可以有多少种剪 法？

【分析】凡是经过平行四边形的中心点的直线都符合要求，故有无数种画法。

【例 3】 要把一个正方形剪成形状相同、大小相等的
4
个图形，该怎样分？
【分析】 把一个正方形分成形状、大小相等的
4
个图形。
可以先把这个正方形分成形状、大小相等的
2
个图形，
然后再把这两个图形继续分成形状、大小相等的
4
份。
有些方法中我们也可以利用对称图形的特点来分。
本题有很多种解法，这里只列举最常用的几种。
【温馨提示】规则图形或不规则图形的分割成相等的几部分。
第一步：先将原图形平均分成若干个小的规则图形。
第二步：根据题意按要求画分成相等的几部分。


【例 4】 你能把下面的图形分割成
4
个形状相同、大小相等的图形吗？

【分析】 一共有
32
个小正方形，分割成
4
个形状相同、大小相等 的图形，每个图形有
8
小正方形。
答案如图所示。

【例 5】 一个长
6
厘米，宽
4
厘米的长方形，从中间剪开，如图所示，得到
2
个大小、形状都相同的长方
形，这两个新长方形的周长是多少？

【分析】 切割开之后，新形成的
2
个小长方形除了原有长方形的边之外，新产生了两条边，如图虚线所示 。
每个新长方形的周长为
（34）214
厘米。
两个新长方形的周 长是
14+14=28
厘米或
14228
厘米。

图形剪切

【例 6】 你能把一个正三角形分成形状相 同，大小相等的
2
个、
3
个、
4
个、
6
个 、
9
个三角形吗？
分成2个三角形
分成3个三角形
分成4个三角形
分成6个三角形
分成9个三角形

【分析】 通过观察正三角形有
3
条对称轴，把一个正三角形分成若干份，都可以根据它的对称轴来分。
分成
分成答案如图所示。
【温馨提示】如果沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形，
这条直线叫做这个图形的对称轴。对称轴绝对是一条直线。
先让学生理解对称轴的意义，然后根据对称轴划分。

【例 7】 你能把一个正方 形分成
6
个、
7
个、
8
个、
9
个小正方形 吗？(不要求面积相等)

【分析】 首先我们来观察：一个正方形分成
4
个小正方形，每分一次，正方形的个数增加
3
个。

根据这样的规律， 我们可以想到怎样把一个正方形分成
4
个、
6
个、
8
个正方 形的方法。

分成
6
个 分成
7
个 分成
8
个 分成
9
个

【例 8】 你能把下面的图形分割成
4
个形状相同、大小相等的图形吗？

【分析】 一共有
5
个完整的小正方形、
2
个三角形（半个正方形）。相当于
6
个小正方形的面积。

分成
4
个形状相同、大小相等的图形，每个图形有
1
个正方形和
1
个三角形 （半个正方形）。
可以先考虑右下角三角形（半个正方形），再考虑右上角三角形（半个正方形），
最后考虑剩余部分。答案如图所示。


【例 9】 把下图分成
5
个形状相同、大小相等的图形。


【分析】 一共 有
15
个小正方形，分割成
5
个形状相同、大小相等的图形，每个图形有3
小正方形。若3个
小正方形在同一排很明显无法完成分割，那么考虑三个小正方形成折角 ：先考虑左下角的正方形，
再考虑剩下的长方形。可得答案如图所示，共有
4
种情况。

【例 10】 下图是由
18
个小正方形组成的图形，请你把它分成
6
个完全相同的图形。

【分析】 一共有
18
个小正方形，分割成
6
个形状相同 、大小相等的图形，每个图形有
3
小正方形。
先考虑左下角、右下角的正方形，再考 虑当中剩下的长方形。答案如图所示，有
4
种情况。


【例 11】 你能把下面的图形分成
7
个大小相等的长方形吗？动手画一画。

【分析】 先观察原图形已经平均分成
14
个小正方形，要分成
7
个 长方形每个长方形肯定是由
2
个小正方形
组成。可以先确定左下角长方形的位置；然后 再分别先后确定这个长方形右边长方形和上边长方
形的位置；最后确定剩余
4
个长方形 的位置。答案如图所示，共有
4
种情况。

【例 12】 如右图所示是由三个正方形组成的图形，请把它分成大小、形状都相同的四个图形。

【分析】如果不考虑分成的四个图形的形状，只考虑它的面积，就要把原来三个正方形平均分成四个面积
相等的部分。答案如右上图所示。

【例 13】 阿凡提周游世界，有一天来到一 个村庄。一个地主对他说：“都传说你很聪明，我有一块地，你
能把它分成大小相等、形状相同的
2
份，我就把地送给你。”聪明的阿凡提不慌不忙，用木棍画
了一道线，把这块地分成大小相 等、形状相同的
2
份。地主傻了眼，只好履行诺言。后来，阿凡
提把地分给了最穷的< br>2
户人家，你知道阿凡提是怎么分的吗？

【分析】 答案如右上图所示。


图形拼合

【例 14】 用下面的四块图形能拼成右边的正方形吗？怎样拼？
13
241
34
1
4
3
4
1
3
222

【分析】 答案不唯一，有
3
种基本的方法，其它方法可改变不同的方位来排列。

【例 15】 晚饭后，平平和 妈妈玩拼木板游戏。妈妈拿出
5
块木板(如下图)，要求平平把这
5
块木板拼 成一
个正方形。聪明的平平很快就拼好了。小朋友，你知道她是怎样拼的吗？试一试。
2
3
4
5
1

【分析】 如果用
2
号、
3
号、
4
号、
5
号这四块木板，就可以拼成近似的正 方形。
现在加上
1
号这块正方形，拼成的正方形一定比四块拼成的大得多。
拼成的正方形如下图所示。
【温馨提示】可以让学生动手试一试、摆成图中所示的样子，让其有直观的理解。配合挂图进行讲解。
3
4
5
1
2


【例 16】 用下面的三块图形能拼成右边的正方形吗？怎样拼？
12
3
1
21
332
2
321
3
1

【分析】 答案有以下
4
种，其实我们可以发现这
4
种方法基本相同，只是方位发生了变化。

【例 17】 下面有
5
组图形，每个各有
5
个小正方形，请把这< br>5
个图形拼成一个大正方形，可以怎样拼？
1
23
45
3
1
4
5
2

【分析】 答案如图所示。

【例 18】 （第九届“中环杯”决赛）“伤脑筋十二块”是中国传统益智拼板游戏。如图，编号为
1~12
的
十二块拼板都是由
5
个
11
的小正方形组成的。请你完成以下内 容：
（
1
）利用编号为
1
、
3
、
6< br>、
8
、
9
、
10
的拼板拼出一个
65的长方形，在“答图
1
”中画出你
的拼法，并标上每块拼板的编号（拼板正、反 面可翻转拼搭，
6
块拼板都要用到且只能用一次，
要求描线清晰）；
（< br>2
）利用编号为
2
、
4
、
6
、
7< br>、
8
、
10
的拼板拼出一个
65
的长方形，在“答 图
2
”中画出
你的拼法，并标上每块拼板的编号（拼板正、反面可翻转拼搭，
6
块拼板都要用到且只能用一次，
要求描线清晰）。
12
3
48
5
67
11
910
12
答图1
答图2

【分析】 答案如图所示。
8
9
6
6
3
10
答图1
1
2
答图2
7
10
8
4

【例 19】 国外有一种流行的七巧板，它由
20
个小正 方形组成的纸板分割而成，利用这种七巧板也可拼成
许多有趣的图形。仔细观察图
(1)
，然后把图
(2)
分割成七巧板。
6
7
4
5
2
3
图(1)
1
图(2)

【分析】 观察图
(1)
中的“箭头”，给组成它的每个图形编号，按面积从大到小逐步进行分割。
第一步分割出面积最大、边最长的图形①；
第二步再分割出五边形②；
第三步再分割出梯形③，
以此类推，整个七块都分割出来了(如图)。


【例 20】 “七巧板”是我国宋代发明的一种拼图游戏，如图所示。你能不能将这七巧板拼成一个等 腰梯形
（拼板正、反面可翻转拼搭，
7
块拼板都要用到且只能用一次）。
七巧板
等腰梯形

【分析】 答案如图所示。

图形剪拼

【例 21】 妈妈买来了两张同样大小的方桌布，想把这两张方桌布裁剪一下，然后拼成一 张大方桌布，该怎
样裁剪？怎样拼呢？

【分析】 要想把两块一样大小的正方形，剪拼成一个最大的正方形；
可以把这两个小正方形对折，然后剪出四个大小一样的三角形，
这四个三角形就可以拼成一个最大的正方形。如图所示。

【例 22】 有一天，小动物们在草地上做游戏。小狗齐齐看到一个图形， 是一个正方形缺了一部分，齐齐想：
这个图形如果剪一剪、拼一拼，成为一个正方形的框(中间含有一个 正方形的空缺)就可以用来当
野餐的餐桌了。可是该怎么剪、怎么拼才能符合要求呢？

【温馨提示】可以让学生动手试一试、摆成图中所示的样子，让其有直观的理解。配合挂图进行讲解。
【分析】 （方法一）先把这个图形分成一样的
8
个小正方形，然后沿折线剪开，就可以拼成右边的图。
（方法二）先把这个图形分成一样的
4
个小长方形，然后沿折线剪开，就可以拼成右边 的图形。

方法
1
方法
2


【例 23】 有一张纸，被分成大小相等的
16
个方格。请你沿着方格纸的边把这张纸剪成两部分，使得这两
部分正好可以拼成一个正方形。该怎样剪 拼呢？（中间空白是空的）
1
2
沿粗线剪开
12
1
变成两 部分
拼成正方形
2

【分析】 一共
16
个方格，要想剪成两部分拼成一个正方形，
这个正方形每条边就应该是
4
个方格。
如图所示，第一层有
7
个方格，我们可以剪掉
3
个；
补到第二层上正好是
4
个；
再把第二层上右边多的
1
个补到第三层也正好是
4
个；
把第三层上剪出
4
个放到第四层，
这样就拼出了一个正方形。

【例 24】 将长为
12
厘米、宽为
4
厘米的长方形经过剪切然后拼成一个正方形（边长为整数），你能做到吗？
【分析】 不能。原来长方形的面积为
12448
平方厘米，而
48不是整数的平方，因此不能剪拼成一个边
长为整数的正方形。


【例 25】 长方形的长和宽各是9厘米和4厘米，要把它剪成大小、形状都相同的两块，并使它们拼成一个
正方形。
【分析】已知分析面积为36平方厘米，所以正方形的边长应该为6厘米。因此可以把长方形上半部剪下 6
厘米，下半部剪下3厘米，分成相等的两块，合起来正好拼成一个边长为6厘米的正方形。答案
如图所示。


【例 26】 长方形的长和宽各是16厘米和9厘米，要把它剪 成大小、形状都相同的两块，并使它们拼成一
个正方形。
【分析】9=3×3，16=4×4，所以正方形的边长为12厘米，取长补短，长要剪下4厘米，宽要补上 3厘米，
图形A右移4厘米，上移3厘米。答案如右上图所示。

一课一练

【练习1】 在下图的长方形里画一条直线，把长方形分成大小、形状完全相同的两部分，有多少种分法？

【分析】凡是经过长方形的中心点的直线都符合要求，故有无数种画法。

【练习2】 把一个等边三角形分成8块形状、大小相同的三角形。
【分析】先取各边中点并 把它们连接起来，得到4个大小、形状相同的等边三角形，然后再把每一个三角
形平均分成两个，则可得 到如图所示的答案图形。

【练习3】 剪一刀将下面的平行四边形分成两部分，然后再用这两部分拼成一个长方形。

【分析】 答案如右上图所示。

【练习4】 下面哪个图形不可以用
3
个相同正方形组成？

(1)(2)
(3)(4)

(3)(4)
(2)

(2)
【分析】 我们可将每个图形等分，便能发现哪个图形不可以用三个正方形拼成。从分割后得图形可以看出，
(1 )
图形（
1
）不能分成
3
个相同正方形，图形（
2
）、（
3
）、（
4
）能分成
3
个相同正方形。

【练习5】 在下图中画一条直线，把图形分成形状相同、大小相等的两部分。

【分析】 题目要求把图形分成形状相同、大小相等的两部分，
所以应该先计算图中有多少个小正方形。
先看上面
2
行，因为有几个不是完整的正方形，
所以先把这看成有
2
行，每行
6
个小方格，总共有
12
个小方格，
但是它相当于连了一条对角线，所以上面
2
行有
6
个小方格。
下面
2
行有
12
个小方格。
这个图形一共有
18
个小方格。
将这个图形分成形状相同、大小相等的两部分，每部分有
9
个小方格，
而两部分图形应有一边是“斜线”，由此画法如图所示。

【练习6】 你能将下面的图形分割成
4
个形状相同、大小相等的图形吗？

【分析】 首先可以把这个图形分成
12
个小正方形。
要把这个图形分成大小相等的
4
个图形，那么每个小图形必须包含
1243
个小方格；

然后我们再来考虑分得的形状相同，通过尝试我们就可以得到答案，答案如图所示。
在分割不规则图形时，我们可以考虑把这个图形分割成若干个规则图形，然后再来进一步思考。

【练习7】 你能把下面的图形分割成
4
个形状相同、大小相等的图形吗？

【分析】 一共有
20
个小正方形，分割成
4
个形状相同、大小相等的图形，每个图形有
5
小正方形。
答案如图所示。

【练习8】 将下面的正三角形分割成
8
个、
16
个形状、大小一样的三角形。

【分析】先取各边中点并把它们连接起来，得到4个大小、形状相同的等边三角形，然后再把每一个三角
形平均分成两个，则可得到如图所示的8个形状、大小一样的三角形。若在4个大小、形状相同
的等边三角形的基础上将每个小三角形再分成4个三角形就可以得到16个形状、大小都一样的
三角形。
【练习9】 教室旁边有一块空地，现在要把这块空地作为实验园地，分给
4
个小组， 要求每个小组分到的面
积和形状都一样，你想想该怎么分？
教室
教室

【分析】 教室的大小占了这个大的长方形的四分之一，剩下的面积有
24
个小方格， 则每块实验园地有
2446
个小方格。分法如图所示。
【练习10】 请把下图中长方形分成形状相同、大小相等的两块，然后再拼成一个正方形。
2
1
1
2
2
1
1
2

【分析】 一共有
36
块小方块。要剪拼成一个正方形，这 个正方形每边应该有
6
个小方块。答案如图所示。

【练习11】 把下图剪成形状、大小相等的
8
个小图形，怎么剪？

【分析】 一共有< br>12
个小正方形，分割成
8
个形状相同、大小相等的图形，每个图形有
1
小正方体和
1
个三角
形（半个正方形）。答案如图所示（答案不唯一）。

【练习12】 你能把下面的四块图形拼成一个长方形的宣传牌吗？
世
迎
接
博
迎
接
世
博

【分析】 答案如图所示。

【练习13】 你能把下面的图形分成
7个长方形，使每个长方形中包含相连的
2
个小方格吗？

【分析】 因为如果可分的话，每块图形中一定是一个黑色、一个白色。
那么黑白方格应分别有
7
个，但图中白色方格只有
6
个。
所以不能把该图形分成
7
个长方形。

【练习14】 如图,有一黑（村底为白）、一白（村底为黑）两条鱼都没有尾巴，只要从白鱼身上适当 的部
位剪下一块补到黑鱼身上去；从黑鱼身上适当的部位剪下一块补到白鱼身上去，那么两条鱼
就都有尾巴了。想想看看，该怎样剪，怎样补？

【分析】 无论是白鱼还是黑鱼，实际上都是两个完全相同的直角三角形，
所以从白鱼身上取下的部位应和从黑鱼上取下的部分是完全一样的，
鱼现在只有头和身子，但又不能同时补上鱼的两边部分，
所以移动部分应在鱼身，由此可推出步法。
补法如图所示。

【练习15】 先给定一个三角形（如图所示），你能用三个这样的三角形拼出下面的图形么？将你的拼 法在下
图中用虚线画出来。

【分析】 如图所示拼法如下（第一、第二个图形拼法不唯一）。


【练习16】 下图是两 个由同样大的小方格组成的图形，我们可以用不同的方法把这两块图形拼成一个
轴对称图形（对折能完全 重合）。符合要求的拼法一共有多少种？

【分析】 有三种：

【练习17】 长方形长24厘米，宽15厘米，把它剪成两块，使它们拼成一个长20厘米，宽18厘米的长
方形。

【分析】 新长方形的长比原来短4厘米，宽长了3厘米，那么应该在原长方形的长剪下4厘 米，宽补上3
厘米，可得答案如右上下图所示。

补充题库

【 补充1】（第五届走进美妙的数学花园决赛）如图所示，大长方形被分割成为
9
个互不重叠的正 方形。已
知最小的的两个正方形的边长分别是
2
厘米和
5
厘米。那 么，大长方形的周长是多少厘米？
6
9
4
5
3
1
2
8
7

【分析】 第
3
小的正方形边长为
257
厘米，
第
4
小的正方形边长为
279
厘米，
第
5
小的正方形边长为
7916
厘米，
第
6
小的正方形边长为
91625
厘米，
第
7
小的正方形边长为
571628
厘米，
第
8
小的正方形边长为
52833
厘米，
第
9
小的正方形边长为
272536
厘米。
所以，大的长方形周长为
[(2833)(3336)]2260
厘米。

【补充2】把下面这个长方形沿格线剪成大 小相等、形状相同的四块，使每块内都含有“上海世博”这四
个字中的一个字，该怎样剪呢？
上海
世
博
上海
世
博

【分析】 一共有< br>28
个小正方形，分割成
4
个形状相同、大小相等的图形，每个图形有
7
小正方形。答案如
所示。沿图中的粗线剪开，就得到了大小相等、形状相同的四块，并且每块 内都含有“上海世博”
这四个字中的一个字。

【补充3】将下图分割成大小、形状相同的三块，使每块都包含一个小圆圈。
O
O
OO
OO

【分析】 一共有
18
个 小方格，要分成大小、形状相同的三块，每块里面应该包含
6
个小方格。
然后再来考虑每块里面要含一个小圆圈，答案如图所示。

【补充4】长为
16
厘米、宽为
4
厘米的长方形经过剪拼，组成一个正方形，这个正方形的边长为多少 厘米？
16厘米
4厘米4厘米
4厘米 4厘米 4厘米 4厘米
16厘米< br>4厘米
8厘米
4厘米
4厘米4厘米
8厘米

【分析】 这个长方形可看成是边长是
4
厘米的正方形
4
个排一排。
现在把这
4
个小正方形，拼成一个大正方形。
这个大正方形的边长是
8
厘米。

< br>【补充5】如图所示为一个国际象棋的棋盘，共有
64
个棕色和白色相间的小方格。现在 拿走左上角和右下
角的
2
个白色的小方格，请问能不能分成
31
个长 方形，使每个长方形包含
2
个小方格。

【分析】 不能。
因为如果可分的话，每块长方形中一定是一个棕色、一个白色。
那么棕色、白色的小方格各有
31
个，
而图中白色方格只有
30
个。
所以，该图形不能分成
31
个长方形，使每个长方形包含
2
个小方格。