寒假趣事作文400字-法制教育的资料

2009—2010第一学期南开区六十三中学教师教案
第1周 周课时_ 1 ____ 第___1___课时
课题：《七桥问题与一笔画》
欧拉渊博的 知识，无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作，都是
令人惊叹不已的！他从19岁开始发表论文，直到7 6岁，半个多世
教
材
简
析
纪写下了浩如烟海的书籍和论文．到今几 乎每一个数学领域都可以
看到欧拉的名字。据统计他那不倦的一生，共写下了886本书籍和
论 文，其中分析、代数、数论占40%，几何占18%，物理和力学占
28%，天文学占11%，弹道学、 航海学、建筑学等占3%，圣彼得
堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了四十七年。


欧拉著作的惊人多产并不是偶然的，他可以在任何不良的环境中工
作，他常常抱着孩 子在膝上完成论文，也不顾孩子在旁边喧哗．他
学
情
分
析
那顽强的 毅力和孜孜不倦的治学精神，使他在双目失明以后，也没
有停止对数学的研究，在失明后的17年间，他 还口述了几本书和400
篇左右的论文．19世纪伟大数学家高斯（Gauss，1777-1855年 ）
曾说：研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法．
欧拉还创设了许多数学符号，例如π（ 1736年），i（1777年），e
（1748年），sin和cos（1748年），tg（175 3年），△x（1755
年），Σ（1755年），f(x)（1734年）等．
教
学
目
标
知识与能力：
1、让学生了解一笔画问题的解决方法；
2、通过学习，了解图论发展的起源及其应用之广泛；
3、让学生体会数学地思考问题的作用，激发学生对数学的兴趣。

过程与方法：
1、通过学生对相关问题的思考和讨论，激发学生学习和探究的愿望。
2、通过本节学习，近一步培养学生探索的精神和强烈的社会责任感。
3、通过对资料和信息的获取，培养学生的分工合作精神。

重
点
难
点
分
析

教
与
学
的
准
备
教学过程
【导入】
[引入]
我想大家对“签名”这个词一定都不陌生，拿
起笔，刷刷几下，一个突显 个性的签名就产生了。
现在请大家看这样一个图形,据说穆罕默德他不识

将班级学生 分成12个小组，每个小组3-4人，分别搜集月球
表面的形态、月球的运动、月相和日食及月食的成因 的相关资料。


重点：一笔画问题的解决过程、方法

字 ，于是就以这个图形作为他的签名。现在请你拿出笔试试看，你
会模仿他的签名吗？
（巡视一圈 ，请两位同学上黑板模仿）

模仿得像不像呢？我想穆罕默德看到了一定能辨出真假，因为他< br>这个签名是一笔画成的，你用几笔画成，连接处可
能会有空隙，而且这个感觉根一笔画出来的肯定 是
不一样。
穆罕默德应该是伊斯兰教的，跟中国的回族有
点联系，所以看了这个进口 的问题之后，使我很自
然地联想到我们国产的一个游戏，请大家看这个图形，有点像“回”
字， 你能不能从某一点出发，不重复地一笔把它画出来？这就是中
国民间古老的一笔画游戏，而这个图形实际 上也是来源于生活。大
家知不知道古代量米用的“斗”?上下都是四方的，底小口大，从上
往下 看就是这样的图形。我记得我小学时候就玩过这个游戏，但是
试了很久也没有成功，大家动笔试试看。好 像有点难度吧。
这类“一笔画”问题中最著名的当属“哥尼斯堡七桥问题”了。

[七桥问题]
故事发生在十八世纪的东普鲁士，哥尼斯堡是一座风景秀丽的城
市，普 莱格尔河从这里流过，它有两条支流，一条称新河，另一条
叫旧河，两河在城中心汇合成一条主流，叫做 大河。汇合处有两座
小岛，河上有7座桥，岛上有古老的哥尼斯堡大学，有教堂，还有
哲学家康 德的墓地和塑像，因此城中的居民，尤其是大学生们经常
沿河过桥散步。渐渐地，爱动脑筋的人们提出了 一个问题：一个散
步者能否一次走遍7座桥，而且每座桥只通过一次，最后仍回到起
始地点。这 个问题看起来似乎很简单，然而许多人作过尝试始终没

有能找到答案。因此，一群大学生 就写信给著名的瑞士数学家欧拉，
向他请教如何解决这个七桥问题。
欧拉从千百人次的失败， 以深邃的洞察力猜想，也许根本不可
能不重复地一次走遍这七座桥，并很快证明了这样的猜想是正确的。
欧拉是怎样解决这个问题的呢？
欧拉发现欧几里得几何并不适用于这个问题，因为桥不涉及“ 大
小”，也不能用“量化计算”来解决。相反地，这问题属于提出的“位置
几何”。
欧拉想到，小岛无非是桥梁的连接
地点，两岸陆地也是如此，那么可以把
这四处地点用A,B, C,D四个点来表示，
同时将七座桥表示成连结其中两点的七
条线，就得到这样一张图．于是， 欧拉建立了一个数学模型，一个
人不重复地走遍所有的七座桥，就相当于从图中某一点出发，不重
复地一笔画出图来．这样，“七桥问题”就转化为“一笔画”问题了。
欧拉注意到，如果一个图能一 笔画成，那么一
定有一个起点开始画，也有一个终点。图上其它的
点是“过路点”——画的时候 要经过它。
这些点有什么特征呢？我们先来看看“过路点”，
它应该是“有进有出 ”的点，有一条边进这点，那么就要有一条边
出这点，不可能是有进无出，如果有进无出，它就是终点， 也不可
能有出无进，如果有出无进，它就是起点。因此，在“过路点”进
出的边总数应该是偶数 。
如果起点和终点是同一点，那么它也是属于“有进有出”的点，
因此必须连着偶 数条边，这样图上所有点都连偶数条边。

如果起点和终点不是同一点，那么这两点连有奇数条边，这也是
图中仅有的连着奇数条边的点。
现在对照七桥问题的图，A点连有3条边，B点连有5条边，C
点D点各连3条边， 所以欧拉得出的结论是这个图肯定不能一笔画
成，也就是说要想不重复的走遍这七座桥是不可能的。 < br>公元1736年，29岁的欧拉向圣彼得堡科学院递交了一份题为《哥
尼斯堡的七座桥》的论文， 论文的开头是这样写的：“讨论长短大小
的几何学分支，一直被人们热心地研究着，但是还有一个至今几 乎
完全没有探索过的分支；莱布尼兹最先提起过它，称之‘位置的几
何学’。这个几何学分支讨 论只与位置有关的关系，研究位置的性质，
它不去考虑长短大小，也不牵涉到量的计算，但是至今未有过 令人
满意的定义，来刻划这门位置几何学的课题和方法，„„”
欧拉用了最简单的图 形——点和线，巧妙地彻底解决了“七桥问
题”．虽然，中国民间很早就流传着这种一笔画的游戏，但是 很可惜，
古时候没有人对它引起足够的重视，也没有数学家对它进行经验总
结，以及加以研究。

[拓展]
我们今天学习欧拉的成果不应是单纯把它作为数学游戏，重要 的
是应该知道他怎样把一个实际问题抽象成数学问题。研究数学问题
不应该为“抽象而抽象”， 抽象的目的是为了更好的、更有效的解决
实际产生的问题，欧拉对“七桥问题”的研究就是值得我们学习 的
一个样板。
欧拉对哥尼斯堡七桥问题的解决远远超出了它的娱乐价值，由此
提出的 新思想开辟了数学的一个新的领域——图论，同时也为拓扑

学的研究提供了一个初等的例 子。此后许多著名的数学游戏成为图
论和拓扑学发展的催化剂和导引，如哈密尔顿问题（绕行世界问题） 、
四色猜想等。直到20世纪中期，这两门学科才逐步完善并迅速发展。
在这里我们简单介绍一些图论的基本概念。
所谓图，是指由一些点和连接点的线组成的图形， 这些点称为结
点，线称为边。图中的每条边都有两个结点，而且互不相交。至于
边的长度和结点 的位置则无关紧要。
如果一个图中的任意两个结点，都可以找到图中的某条弧线，把
它们连接 起来，那么，这样的图就称为连通的。
每个结点所连的边的条数叫做这个结点的度数，度数是偶数就称
为偶点，度数是奇数则称为奇点。
欧拉的结论用图论的语言叙述，那就是：如果一个图是连通 的并
且奇点的个数等于0或2，那么它可以一笔画出；否则它不可以一笔
画出。

布
置
作
业
让我们回到开头的问题。
看一下穆罕默德的签名图中有几个奇点？（0个，可以一笔画出）
回字形的图中呢？（8个点都是奇点，所以无法一笔完成）
其实欧拉的结论只是给出了什么样 的图可以一笔画出，具体怎么
画还要我们根据不同的情况具体分析。大家有没有兴趣尝试一下？
好，那我们就来试试看。
1、最近有个摄影展览，所有作品都布置在画廊里,入口处有个指< br>示图，怎样才能既不走冤枉路又不漏看任一幅作品呢？

可
看作
这样
一个
图形来处理。







2、甲乙两个邮递员去送信，两人以同样的速度 走遍所有的街道，
甲从A点出发，乙从B点出发，
最后都回到邮局（C点）。如果要
选 择最短的线路，谁先回到邮局？

图中A，C为奇点，其余都是
偶点。甲从A点出发 ，可以不重复到达C点。乙从B出发一定会走
重复的路，所以甲先回到邮局。

3、 下图是一个公园的平面图，能
不能使游人走遍每一条路不重复？入
口和出口又应设在哪儿？
H点和B点是奇点，其余都是偶

点，所以入后和出口应设在H点和B点。


教学反思
最后回顾一下我们这节课的收获。
我们了解了欧拉 对一笔画问题的解决方法，图论的起源，他启示我们：
只要善于用数学的眼光、方法去观察事物，分析问 题，就能把生产、生活
中的某些问题转化为数学问题，并用数学方法来处理和解决。
给大家两 点建议，希望大家能够充分利用图书馆的资源，阅读相关书
籍，比如说我看到有一本《数学的奥秘》，用 大量的趣味数学题和游戏的
方式，深入浅出的表述了数学的机智，看过之后觉得很有长进。此外，大数学家欧拉一生的经历也值得我们好好的了解一下，他那杰出的智慧，顽
强的毅力，孜孜不倦的奋斗 精神和高尚的科学道德，永远是值得我们学习
的。这里提供给大家一个网址，课后可以去查阅。