申请书模板-张君钰

七桥问题和一笔画
18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，那里
有七座桥。如图1所示：河中的小岛A与河的左岸B、右岸
C各有两座桥相连结，河中两支流间的陆地D 与A、B、C各
有一座桥相连结。当时哥尼斯堡的居民中流传着一道难题：
一个人怎样才能一次 走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后
回到出发点？大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不
了这个问题。

图 1 图 2
七桥问题引起了著名数学家欧拉（17071783 ）的关注。他把
具体七桥布局化归为图2所示的简单图形，于是，七桥问题
就变成一个一笔画问 题：怎样才能从A、B、C、D中的某一
点出发，一笔画出这个简单图形（即笔不离开纸，而且a、b、
c、d、e、f、g各条线只画一次不准重复），并且最后返回起
点？欧拉经过研究得出的结论 是：图2是不能一笔画出的图
形。这就是说，七桥问题是无解的。这个结论是如何产生呢？
请看 下面的分析。
如果我们从某点出发，一笔画出了某个图形，到某一点终止，
那么除起点和终点 外，画笔每经过一个点一次，总有画进该
点的一条线和画出该点的一条线，因此就有两条线与该点相连结。如果画笔经过一个n次，那么就有2n条线与该点相
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连 结。因此，这个图形中除起点与终点外的各点，都与偶数
条线相连。如果起点和终点重合，那么这个点也 与偶数条线
相连；如果起点和终点是不同的两个点，那么这两个点部是
与奇数条线相连的点。综 上所述，一笔画出的图形中的各点
或者都是与偶数条线相连的点，或者其中只有两个点与奇数
条 线相连。
图2中的A点与5条线相连结，B、C、D各点各与3条线相
连结，图中有4个与奇 数条线相连的点，所以不论是否要求
起点与终点重合，都不能一笔画出这个图形。

1 736年，欧拉在圣彼得堡科学院作了一次学术报告。在报告
中，他证明了上述结论。后来他又给出了鉴 别任一图形能否
一笔画出的准则，即欧拉定理。为了介绍这个定理，我们先
来看下面的预备知识 ：
由有限条线组成的图形叫做网络，其中每条线都要求有两个
不同的端点。这些线叫做网络的 弧，弧的端点叫做网络的顶
点。例如，图2是一个网络，a、b、c、d、e、f、g是它的
7 条弧，A、B、C、D是它的四个顶点。
网络中互相衔结的一串弧叫做一条路。如果网络中任意两个< br>顶点都可以用一条路连结起来，那么就称这个网络为连通
的；否则称为不连通的。例如，图2是连 通的网络；图3是
不连通的网络，其中有的顶点（例如A与D）之间没有路线
连结。
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图 3 图 4
网络中以某顶点为端点的弧的条数，叫 做该顶点的叉数。叉
数是奇数的顶点叫做奇顶点，叉数是偶数的顶点叫做偶顶
点。
下面介绍欧拉定理。
欧拉定理 如果一个网络是连通的并且奇顶点的个数等于0
或2 ，那么它可以一笔画出；否则它不可以一笔画出。

用欧拉定理可以很方便地判断一个简单图形 是否可以一笔
画出。例如，图3是不连通网络，它不能一笔画出（尽管它
的奇顶点个数为0）； 图4中实线所示图形有8个奇顶点．它
不能一笔画出，如果将图中虚线补为实线，那么奇顶点只有
F和G两个，所得图形就能一笔画出了（以F为起点，G为
终点；或G为起点，F为终点）。


试问下列图形能否一笔画出？如能画出应怎样画？如不能
画出理由是什么？
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