假离职证明-小学体育组工作总结

重点中学入学模拟试题及分析二十二
1.从甲地到乙地，如果车速每小时提高20千米 ，那么时间由4小时变为3
小时。甲乙两地相距 千米。
【答案】240
【 解】3个小时多行20×3＝60（千米），这60千米原来需行1小时，所以
两地相距60×4＝24 0（千米）。
【另解】根据比例关系，原来与现在所用时间比为4︰3,则原来与现在
的速度 比为3︰4,所以按比例分配得，现在的速度为20÷（4-3）×4＝
80（千米），所以路程为80 ×3＝240（千米）。

13.某小学即将开运动会，一共有十项比赛，每位同学可以任报两项，
那么要有 ___ 人报名参加运动会，才能保证有两名或两名以上的
同学报名参加的比赛项目相同.
【答案】46
【解】 十项比赛，每位同学可以任报两项，那么有
C
10
＝45种不同的报
名方法．
那么，由抽屉原理知为 45+1＝46人报名时满足题意．

14.
2

20. 如图，ABCD是矩形，BC=6cm，AB=10cm，AC和BD是 对角线，图
中的阴影部分以CD为轴旋转一周，则阴影部分扫过的立体的体积是
多少立方厘米？ （π=3.14）
【答案】565.2立方厘米
【解】设三角形BOC以CD为轴旋转一周 所得到的立体的体积是S，S等
于高为10厘米，底面半径是6厘米的圆锥的体积减去2个高为5厘米， 底
面半径是3厘米的圆锥的体积减去2个高为5厘米，底面半径是3厘米的圆
锥的体积。即：
11
S=
3
×6
2
×10×π-2×
3
× 3
2
×5×π=90π，

2S=180π=565.2（立方厘米）


【提示】S也可以看做一个高为5厘米，上、下底面半径是3、6厘米的圆
台的体积减去一个高为5厘米，底面半径是3厘米的圆锥的体积。

4．如图，点B是线 段AD的中点，由A，B，C，D四个点所构成的所有
线段的长度均为整数，若这些线段的长度的积为1 0500，则线段AB的长
度是 。

【答案】5
【解】由 A，B，C，D四个点所构成的线段有：AB，AC，AD，BC，
BD和CD，由于点B是线段AD的 中点，可以设线段AB和BD的长是x，
AD=2x，因此在乘积中一定有x
3
。
对10500做质因数分解：
10500=2
2
×3×5
3
×7，
所以，x=5,AB×BD×AD=5
3
×2,AC×BC×CD=2×3×7,
所以，AC=7，BC=2,CD=3,AD=10.

5．设有十个人各拿着一只 提桶同时到水龙头前打水，设水龙头注满第
一个人的桶需要1分钟，注满第二个人的桶需要2分钟，…… .如此下去，
当只有两个水龙头时，巧妙安排这十个人打水，使他们总的费时时间最
少.这时间 等于_________分钟.
【答案】125分钟
【解】 不难得知应先安排所需时间较短的人打水．
不妨假设为：
第一个水龙第二个水龙

头 头
第一
A F
个
第二
B G
个
第三
C H
个

第四
D I
个
第五
E J
个
显然计算总时间时，A、F计算了5次，B、G计算了4次 ，C、H计算
了3次，D、I计算了2次，E、J计算了1次．
那么A、F为1、2，B、G 为3、4，C、H为5、6，D、I为7、8，E、J
为9、10．
所以有最短时间为(1+ 2)×5+(3+4)×4+(5+6)×3+(7+8)×2+(9+10)×1＝
125分钟．
评注：下面给出一排队方式：
第一个水龙第二个水龙

头 头
第一
1 2
个
第二
3 4
个
第三
5 6
个
第四
7 8
个
第五
9 10
个
【提示】想象一下，如果你去理发店理发，只需要一分钟 ，可能这时已
有一位阿姨排在你的前面，她需要1小时。这时，你请她让你先理，她
可能很轻松 地答应你了。
可是，如果反过来，你排队在前，这位阿姨请你让她先理，你很难
同意她的要求 ，而且大家都认为她的要求不合理，这是为什么呢？


可以看到，一个水龙头时的等待总时间算法是：
S＝A+A+B+A+B+C+A+B+C+D+A+B+C+D+E=5A+4B+3C+2D+E
所以，要想使总时间S最小，则要A
两个水龙头可参见排队方法，但排队方法不唯一。有一个原则:

（A+F）<(B+G)<(C+H)<(D+I)<(E+J)



6.用140个棱长为1的小正方体粘成一个大的长方体，若拆下沿棱的小正方体，则余下92个小正方体(见右图). 留下的多面体的表面积是
________.
【答案】 142.
【解】大长方体的长、宽、高都大于2，否则所有的小正方体都在棱上，
与题意不符. 140 分解成3个大于2的自然数的乘积只有457，所以大长方
体的长、宽、高分别是4，5，7，表面积是
(45+47+57)2=166.
拆下沿棱的小正方体后，对比原来的表面积，相当于每个面减少4
或每个角减少3，表面积为
166-46=142 或 166-38=142.
【提示】整体思考的经典范例，一是从整体考虑前后表面积的变化关系，
看变化可以简化运算。
二是，如何看变化，本题可以用“阳光照面”法。

7. 在三位数中，个位、十位、百位都是一个数的平方的共有 个。
【答案】48
【 解】百位有1、4、9三种选择，十位、个位有0、1、4、9四种选择。
满足题意的三位数共有
3×4×4＝48（个）。

8. 老师在黑板上写了一个自然数。第一个同学说： “这个数是2的倍数。”
第二个同学说：“这个数是3的倍数。”第三个同学说：“这个数是4的倍数。”……第十四个同学说：“这个数是15的倍数。”最后，老师说：“在
所有14个陈述中，只 有两个连续的陈述是错误的。”老师写出的最小的
自然数是 。
【答案】60060
【解】2，3，4，5，6，7的2倍是4，6，8，10，12，14 ，如果这个数不
是2，3，4，5，6，7的倍数，那么这个数也不是4，6，8，10，12，14< /p>

的倍数，错误的陈述不是连续的，与题意不符。所以这个数是2，3，4，
5，6 ，7的倍数。由此推知，这个数也是（2×5=）10，（3×4=）12，（2
×7）14，（3×5 =）15的倍数。在剩下的8,9,11,13中，只有8和9是连续
的，所以这个数不是8和9的倍数 。2，3，4，5，6，7，10，11，12，，
13，14，15的最小公倍数是2
2×3×5×7×11×13=60060。

12.小王和小李平时酷爱打牌，而且推理 能力都很强。一天，他们和华
教授围着桌子打牌，华教授给他们出了道推理题。华教授从桌子上抽
取了如下18张扑克牌：
红桃A，Q，4 黑桃J，8，4，2，7，3，5
草花K，Q，9，4，6，lO 方块A，9
华教授从这18张牌中挑出一张牌来，并 把这张牌的点数告诉小王，
把这张牌的花色告诉小李。然后，华教授问小王和小李，“你们能从已
知的点数或花色中推断出这张牌是什么牌吗?
小王：“我不知道这张牌。”
小李：“我知道你不知道这张牌。”
小王：“现在我知道这张牌了。”
小李：“我也知道了。”

请问：这张牌是什么牌?
【答案】方块9。 【解】小王知道这张牌的点数，小王说：“我不知道这张牌”，说明这张
牌的点数只能是A，Q，4 ，9中的一个，因为其它的点数都只有一张牌。
如果这张牌的点数不是A，Q，4，9，那么 小王就知道这张牌了，因
为A，Q，4，9以外的点数全部在黑桃与草花中，如果这张牌是黑桃或草花，小王就有可能知道这张牌，所以小李说：“我知道你不知道这张牌”，
说明这张牌的花色是红桃 或方块。
现在的问题集中在红桃和方块的5张牌上。
因为小王知道这张牌 的点数，小王说：“现在我知道这张牌了”，说
明这张牌的点数不是A，否则小王还是判断不出是红桃A 还是方块A。
因为小李知道这张牌的花色，小李说：“我也知道了”，说明这张牌
是 方块9。否则，花色是红桃的话，小李判断不出是红桃Q还是红桃4。

【提示】在逻辑推理中，要注意一个命题真时指向一个结论，而其逆命
题也是明确的结论。

10.
3
【答案】
11


【解】
将分子、分母分解因数：9633＝3×3211，35321=11×3211
【提示】用辗转相除法更妙了。

12.已知三位数的各位数字之积等于10，则这样的三位数的个数是
_____ 个.
【答案】6
【解】 因为10＝2×5，所以这些三位数只能由1、2、5组成，于是共< br>3
P
3
有＝6个．

12. 下图中有五个三角形，每个小 三角形中的三个数的和都等于50，其
中A
7
＝25，A
1
＋A2
＋A
3
＋A
4
＝74，A
9
＋A
3
＋A
5
＋A
10
＝76，那么A
2
与A
5
的和是
多少？

A
1< br>A
9
A
2
A
8
A
3
A
5< br>A
4
A
10
A
6
A
7

【答案】25



【解】 有A
1
+A
2
+A
8
＝50，
A
9
+A
2
+A
3
＝50，
A
4
+A
3
+A
5
＝50，
A
10
+A
5
+A
6
＝50，
A
7
+A
8
+A
6
＝50，

于是 有A
1
+A
2
+A
8
+A
9
+A
2
+A
3
+A
4
+A
3
+A
5
+ A
10
+A
5
+A
6
+A
7
+A
8
+A
6
＝250，
即(A
1
+A
2
+ A
3
+A
4
)+(A
9
+A
3
+A
5
+A
10
)+A
2
+A
5
+2A
6< br>+2A
8
+ A
7
＝250.
有74+76+A
2
+A
5
+2(A
6
+A
8
) + A
7< br>＝250，而三角形A
6
A
7
A
8
中有A
6
+A
7
+A
8
＝50，
其中A
7
＝25， 所以A
6
+A
8
＝50－25＝25.
那么有A
2
+A
5
＝250－74－76－50－25＝25.
【提示】上面的推导完全正确，但我们缺乏方向感和总体把握性。
其实，我们看到这样的数阵 ，第一感觉是看到这里5个50并不表示
10个数之和，而是这10个数再加上内圈5个数的和。这一点 是最明显的
感觉，也是重要的等量关系。
再“看问题定方向”，要求第2个数和第5个数的和，
说明跟内圈另外三个数有关系，而其中第6个数和第8个数的和是
50-25＝25,
再看第3个数，在加两条直线第1、2、3、4个数和第9、3、5、10个
数时，重复算到第3个数 ，
好戏开演：
74+76+50＋25+第2个数＋第5个数＝50×5
所以 第2个数＋第5个数＝25






一、填空题：
1 满足下式的填法共有 种?
口口口口- 口口口=口口
【答案】4905。
【解】由右式知，本题相当于求两个两位数a与b之和不小于100的算式
有多少种。
a=10时，b在9099之间，有10种；


a=11时，b在8999之间，有11种；
……

a=99时，b在199之间，有99种。共有
10+11+12+……99=4905(种)。
【提示】算式谜跟计数问题结合，本题是一例。数学模型的类比联想是
解题关键。


4 在足球表面有五边形和六边形图案(见右上图)，每个五边形与5个六
边形相连 ，每个六边形与3个五边形相连。那么五边形和六边形的最
简整数比是_______ 。
【答案】3︰5。
【解】设有X个五边形。每个五边形与5个六边形相连，这样应该有5X个
六边形，可是每个六边形与3个五边形相连，即每个六边形被数了3遍，
5
X
所以六边形有
3
个。
5
X:X3:5

3



6 用方格纸剪成面积是4的图形，其形状只能有以下七种：
如果用其中的四种拼成一个面积是16的正方形，那么，这四种图形的编
号和的最大值是_____ _．
【答案】19.
【解】为了得到编号和的最大值，应先利用编号大的图形，于是，可以
拼出，由：(7)，(6)，(5)，(1)；(7)，(6)，(4)，(1)；(7)，(6)，( 3)，
(1)组成的面积是16的正方形：

显然，编号和最大的是 图1，编号和为7＋6＋5＋1＝19，再验证一下，
并无其它拼法．
【提示】注意从结果入 手的思考方法。我们画出面积16的正方形，先涂
上阴影（６）（７），再涂出（５），经过适当变换， 可知，只能利用
（１）了。
而其它情况，用上（６）（７），和（４），则只要考虑（３）（５）
这两种情况是否可以。
10 设上题答数是a，a的个位数字是b．七个圆内填入七个连续自然数，
使每两个相邻圆内 的数之和等于连线上的已知数，那么写A的圆内应
填入_______．



【答案】A＝６
【解】如图所示：
B＝A－4,
C＝B＋３，所以C＝A－１;
D=C＋3，所以D＝A＋２;
而A ＋D ＝14;

所以A＝（14－2）÷2＝6.
【提示】本题要点在于推导隔一个圆的两个圆的差，
从而得到最后的和差关系来解题。

13 某个自然数被187除余52，被188除也余52，那么这个自然数被22除的余数是_______．
【答案】8
【解】这个自然数减去52后，就能被187和1 88整除，为了说明方便，这

个自然数减去52后所得的数用M表示，因187＝17× 11，故M能被11整除；
因M能被188整除，故，M也能被2整除，所以，M也能被11×2＝22 整除，
原来的自然数是M＋52，因为M能被22整除，当考虑M＋52被22除后的余
数时， 只需要考虑52被22除后的余数． 52＝22×2＋8这个自然数被22
除余8．

26 有一堆球，如果是10的倍数个，就平均分成10堆，并且拿走9堆；如
果不是10的倍 数个，就添加几个球(不超过9个)，使这堆球成为10的
倍数个，然后将这些球平均分成10堆，并且 拿走9堆。这个过程称为
一次操作。如果最初这堆球的个数为
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2…9 8 9 9．
连续进行操作，直至剩下1个球为止，那么共进行了 次操作;共添
加了 个球.
【答案】189次； 802个。
【解】这个数共有189位，每操作一次减少一 位。操作188次后，剩下2，
再操作一次，剩下1。共操作189次。这个189位数的各个数位上的 数字
之和是
(1+2+3+…+9)20=900。
由操作的过程知道，添加的球数相当于将原来球数的每位数字都
补成9，再添1个球。所以共添球
1899-900+1=802(个)。

30 有一种最 简真分数，它们的分子与分母的乘积都是693，如果把所有
这样的分数从大到小排列，那么第二个分数 是______．
9
【答案】
77

【解】把693分解质因数： 693＝3×3×7×11．为了保证分子、分母不
能约分(否则，约分后分子与分母之积就不是693 )，相同质因数要么都
在分子，要么都在分母，并且分子应小于分母．分子从大到小排列是11，
9，7，1，

8. 从1到100的自然数中，每次取出2个数，要使它们的和大于100，则
共有 _____ 种取法.

【答案】2500
【解】 设选有a、b两个数，且a＜b，
当a为1时，b只能为100，1种取法；
当a为2时，b可以为99、100，2种取法；
当a为3时，b可以为98、99、100，3种取法；
当a为4时，b可以为97、98、99、100，4种取法；
当a为5时，b可以为96、97、98、99、100，5种取法；
…… …… ……
当a为50时，b可以为51、52、53、…、99、100，50种取法；
当a为51时，b可以为52、53、…、99、100，49种取法；
当a为52时，b可以为53、…、99、100，48种取法；
…… …… ……
当a为99时，b可以为100，1种取法．
所以共有1+2+3+4+5+…+49+50 +49+48+…+2+1＝50
2
＝2500种取法．
【拓展】从1-100中，取两个不同的数，使其和是9的倍数，有多少种
不同的取法？ 【解】从除以9的余数考虑，可知两个不同的数除以9的余数之和为9。
通过计算，易知除以9余1 的有12种，余数为2-8的为11种，余数为0的有
11种，但其中有11个不满足题意：如9+9、 18+18……，要减掉11。而余
数为1的是12种，多了11种。这样，可以看成，1-100种， 每个数都对应
11种情况。
11×100÷2=550种。除以2是因为1+8和8+1是相同的情况。

二、解答题：
1．小红到商店买一盒花球，一盒白球，两盒球的数量相等，花球原价
是2元钱3个，白球原价是2元钱5个．新年优惠，两种球的售价都是4元
钱8个，结果小红少花了5元 钱，那么，她一共买了多少个球？
【答案】150个
【解】
用矩形图来分析，如图。

221
xx2x5
容易得，
352

解得:
x75


所以 2x=150

2．22名家长（爸爸或妈妈，他们都不是老师）和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛，已知家长比老师多，妈妈比爸爸多，女老师比妈妈
多2人，至少有一名男老师， 那么在这22人中，共有爸爸多少人？
【答案】5人
【解】家长和老师共22人，家长比老 师多，家长就不少于12人，老师不
多于10人，妈妈和爸爸不少于12人，妈妈比爸爸多，妈妈不少于 7人．女
老师比妈妈多2人，女老师不少于7＋2＝9(人)．女老师不少于9人，老
师不多于 10人，就得出男老师至多1人，但题中指出，至少有1名男老师，
因此，男老师是1人，女老师就不多 于9人，前面已有结论，女老师不少
于9人，因此，女老师有9人，而妈妈有7人，那么爸爸人数是：2 2-9-1-7
＝5(人) 在这22人中，爸爸有5人．
【提示】妙，本题多次运用最值问题思考方法，且巧借半差关系，得出
不等式的范围。
正反结合讨论的方法也有体现。


3．甲、乙、丙三人现在岁数的和是1 13岁，当甲的岁数是乙的岁数的一
半时，丙是38岁，当乙的岁数是丙的岁数的一半时，甲是17岁， 那么乙
现在是多大岁数？
【答案】32岁
【解】如图。

设过x年，甲17岁，得：
[(17x)2x]238x

解得 x=10,
某个时候，甲17-10=7岁，乙7×2=14岁，丙38岁，年龄和为59岁，
所以到现在每人还要加上（113-59）÷3=18（岁）
所以乙现在14+18=32（岁）。

7. 甲、乙两班的学生人数相等，各有一 些学生参加数学选修课，甲班参
加数学选修课的人数恰好是乙班没有参加的人数的13，乙班参加数学选修课的人数恰好是甲班没有参加的人数的14。那么甲班没有参
加的人数是乙班没有参加的人数 的几分之几?
8
【答案】
9

【解】：设甲班没参加的是4x人，乙班没参加的是3y人
那么甲班参加的人数是y人，乙班参加的人数是x人
根据条件两班人数相等，所以4x+y=3y+x
3x=2y x:y=2:3
因此4x:3y=8:9 故那么甲班没有参加的人数是乙班没有参加的
8
人数的
9

【另解 】列一元一次方程：可假设两班人数都为“1”，设甲班参加的为x，
则甲班未参加的为（1-x）；则 乙班未参加的为3x，则乙班参加的为（1-3x）,
可列方程：（1-x）4=1-3x 求x=311。
【提示】方程演算、设而不求、量化思想都有了，这道题不错。


目标班
名校真卷七
一、填空题：
31 满足下式的填法共有 种?
口口口口-口口口=口口

【答案】4905。

【解】由右式知，本题相当于求两个两位数a与b之和不小于100的算式
有多少种。
a=10时，b在9099之间，有10种；
a=11时，b在8999之间，有11种；
……
a=99时，b在199之间，有99种。共有
10+11+12+……99=4905(种)。
【提示】算式谜跟计数问题结合，本题是一例。数学模型的类比联想是
解题关键。


34 在足球表面有五边形和六边形图案(见右上图)，每个五边形与5个六
边形相 连，每个六边形与3个五边形相连。那么五边形和六边形的最
简整数比是_______ 。
【答案】3︰5。
【解】设有X个五边形。每个五边形与5个六边形相连，这样应该有5X个
六边形，可是每个六边形与3个五边形相连，即每个六边形被数了3遍，
5
X
3
所以六边形有个。
5
X:X3:5

3



36 用方格纸剪成面积是4的图形，其形状只能有以下七种：
< br>如果用其中的四种拼成一个面积是16的正方形，那么，这四种图形的编
号和的最大值是____ __．
【答案】19.

【解】为了得到编号和的最大值，应先利用编号大的 图形，于是，可以
拼出，由：(7)，(6)，(5)，(1)；(7)，(6)，(4)，(1)；( 7)，(6)，(3)，
(1)组成的面积是16的正方形：

显然，编号和最大的是图1，编号和为7＋6＋5＋1＝19，再验证一下，
并无其它拼法．
【提示】注意从结果入手的思考方法。我们画出面积16的正方形，先涂
上阴影（６）（７）， 再涂出（５），经过适当变换，可知，只能利用
（１）了。
而其它情况，用上（６）（７），和（４），则只要考虑（３）（５）
这两种情况是否可以。
40 设上题答数是a，a的个位数字是b．七个圆内填入七个连续自然数，
使每两个相邻圆内 的数之和等于连线上的已知数，那么写A的圆内应
填入_______．



【答案】A＝６
【解】如图所示：
B＝A－4,


C＝B＋３，所以C＝A－１;
D=C＋3，所以D＝A＋２;

而A ＋D ＝14;
所以A＝（14－2）÷2＝6.
【提示】本题要点在于推导隔一个圆的两个圆的差，
从而得到最后的和差关系来解题。

43 某个自然数被187除余52，被188除也余52，那么这个自然数被22除的余数是_______．
【答案】8
【解】这个自然数减去52后，就能被187和1 88整除，为了说明方便，这
个自然数减去52后所得的数用M表示，因187＝17×11，故M能被 11整除；
因M能被188整除，故，M也能被2整除，所以，M也能被11×2＝22整除，
原来的自然数是M＋52，因为M能被22整除，当考虑M＋52被22除后的余
数时，只需要考虑52 被22除后的余数． 52＝22×2＋8这个自然数被22
除余8．

56 有一 堆球，如果是10的倍数个，就平均分成10堆，并且拿走9堆；如
果不是10的倍数个，就添加几个球 (不超过9个)，使这堆球成为10的
倍数个，然后将这些球平均分成10堆，并且拿走9堆。这个过程 称为
一次操作。如果最初这堆球的个数为
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2…9 8 9 9．
连续进行操作，直至剩下1个球为止，那么共进行了 次操作;共添
加了 个球.
【答案】189次； 802个。
【解】这 个数共有189位，每操作一次减少一位。操作188次后，剩下2，
再操作一次，剩下1。共操作18 9次。这个189位数的各个数位上的数字
之和是
(1+2+3+…+9)20=900。
由操作的过程知道，添加的球数相当于将原来球数的 每位数字都
补成9，再添1个球。所以共添球
1899-900+1=802(个)。

60 有一种最简真分数，它们的分子与分母的 乘积都是693，如果把所有
这样的分数从大到小排列，那么第二个分数是______．
9
【答案】
77

【解】把693分解质因数：69 3＝3×3×7×11．为了保证分子、分母不
能约分(否则，约分后分子与分母之积就不是693)， 相同质因数要么都
在分子，要么都在分母，并且分子应小于分母．分子从大到小排列是11，
9 ，7，1，

68 在1，2，…，1997这1997个数中，选出一些数，使得这些数中 的每两
个数的和都能被22整除，那么，这样的数最多能选出______个．
【答案】91
【解】有两种选法：(1)选出所有22的整数倍的数，即：22，22×2，22
×3，…， 22×90＝1980，共90个数；(2)选出所有11的奇数倍的数，即：
11，11＋22×1， 11＋22×2…，11＋22×90＝1991，共91个数，所以，
这样的数最多能选出91个．

二、解答题：
1．小红到商店买一盒花球，一盒白球，两盒球的数量相等，花球原 价
是2元钱3个，白球原价是2元钱5个．新年优惠，两种球的售价都是4元
钱8个，结果小红 少花了5元钱，那么，她一共买了多少个球？
【答案】150个
【解】
用矩形图来分析，如图。
221
xx2x5
容易得，
352

解得:
x75


所以 2x=150

2．22名家长（爸爸或妈妈，他们都不是老师）和老师陪同一些小学生
参加某次数 学竞赛，已知家长比老师多，妈妈比爸爸多，女老师比妈妈

多2人，至少有一名男老师， 那么在这22人中，共有爸爸多少人？
【答案】5人
【解】家长和老师共22人，家长比老 师多，家长就不少于12人，老师不
多于10人，妈妈和爸爸不少于12人，妈妈比爸爸多，妈妈不少于 7人．女
老师比妈妈多2人，女老师不少于7＋2＝9(人)．女老师不少于9人，老
师不多于 10人，就得出男老师至多1人，但题中指出，至少有1名男老师，
因此，男老师是1人，女老师就不多 于9人，前面已有结论，女老师不少
于9人，因此，女老师有9人，而妈妈有7人，那么爸爸人数是：2 2-9-1-7
＝5(人) 在这22人中，爸爸有5人．
【提示】妙，本题多次运用最值问题思考方法，且巧借半差关系，得出
不等式的范围。
正反结合讨论的方法也有体现。

3．甲、乙、丙三人现在岁数的和是113岁，当 甲的岁数是乙的岁数的一
半时，丙是38岁，当乙的岁数是丙的岁数的一半时，甲是17岁，那么乙现在是多大岁数？
【答案】32岁
【解】如图。

设过x年，甲17岁，得：
解得 x=10,
某个时候，甲17-10=7岁，乙7×2=14岁，丙38岁，年龄和为59岁，
所以到现在每人还要加上（113-59）÷3=18（岁）
所以乙现在14+18=32（岁）。

11.甲、乙两班的学生人数相等，各有一 些学生参加数学选修课，甲班
参加数学选修课的人数恰好是乙班没有参加的人数的13，乙班参加
数学选修课的人数恰好是甲班没有参加的人数的14。那么甲班没有
参加的人数是乙班没有参加的人数 的几分之几?
8
【答案】
9

[(17x)2x]238x

【解】：设甲班没参加的是4x人，乙班没参加的是3y人

那么甲班参加的人数是y人，乙班参加的人数是x人
根据条件两班人数相等，所以4x+y=3y+x
3x=2y x:y=2:3
因此4x:3y=8:9 故那么甲班没有参加的人数是乙班没有参加的
8
人数的
9

【另解 】列一元一次方程：可假设两班人数都为“1”，设甲班参加的为x，
则甲班未参加的为（1-x）；则 乙班未参加的为3x，则乙班参加的为（1-3x）,
可列方程：（1-x）4=1-3x 求x=311。
【提示】方程演算、设而不求、量化思想都有了，这道题不错。


2007年重点中学入学试卷分析系列七

24.著名的数学家斯蒂芬
< br>巴纳赫于1945年8月31日去世，他在世时的某
年的年龄恰好是该年份的算术平方根(该年的 年份是他该年年龄的
平方数).则他出生的年份是 _____ ，他去世时的年龄是
______ .
【答案】1892年;53岁。
【解】 首先找出在小于1 945，大于1845的完全平方数，有1936＝44
2
，
1849＝43
2
，显然只有1936符合实际，所以斯蒂芬

巴纳赫在1936年为44
岁 ．
那么他出生的年份为1936－44＝1892年．
他去世的年龄为1945－1892＝53岁．
【提示】要点是：确定范围，另外要注意的“ 潜台词”：年份与相应年龄
对应，则有年份－年龄＝出生年份。
36.某小学即将开运动会，一共有十项比赛，每位同学可以任报两项，
那么要有 ___ 人报名参加运动会，才能保证有两名或两名以上的
同学报名参加的比赛项目相同.
【答案】46
2
C
10
【解】 十项比赛，每位同学可以任报两项，那么有＝45种不同的报

名方法．
那么，由抽屉原理知为 45+1＝46人报名时满足题意．






37.

43. 如图，ABCD是矩形，BC =6cm，AB=10cm，AC和BD是对角线，图
中的阴影部分以CD为轴旋转一周，则阴影部分扫 过的立体的体积是
多少立方厘米？（π=3.14）
【答案】565.2立方厘米
【解】设三角形BOC以CD为轴旋转一周所得到的立体的体积是S，S等
于高为10厘米，底面半径是 6厘米的圆锥的体积减去2个高为5厘米，底
面半径是3厘米的圆锥的体积减去2个高为5厘米，底面半 径是3厘米的圆
锥的体积。即：
11
S=
3
×6
2
×10×π-2×
3
×3
2
×5×π=90π，
2S=180π=565.2（立方厘米）
【提示】S也可以看做一个高为5厘米，上、下底 面半径是3、6厘米的圆
台的体积减去一个高为5厘米，底面半径是3厘米的圆锥的体积。

4．如图，点B是线段AD的中点，由A，B，C，D四个点所构成的所有
线段的长度均为整数 ，若这些线段的长度的积为10500，则线段AB的长
度是 。

【答案】5
【解】由A，B，C，D四个点所构成的线段有：AB，AC，A D，BC，
BD和CD，由于点B是线段AD的中点，可以设线段AB和BD的长是x，
AD= 2x，因此在乘积中一定有x
3
。
对10500做质因数分解：
10500=2
2
×3×5
3
×7，
所以，x=5,AB×BD×AD=5
3
×2,AC×BC×CD=2×3×7,
所以，AC=7，BC=2,CD=3,AD=10.

5．甲乙两地相距60公里 ，自行车和摩托车同时从甲地驶向乙地.摩托车
比自行车早到4小时，已知摩托车的速度是自行车的3倍 ，则摩托车的速
度是 ______ .
【答案】30公里小时
【解】 记 摩托车到达乙地所需时间为“1”，则自行车所需时间为“3”，
有4小时对应“3”－“1”＝“2” ，所以摩托车到乙地所需时间为4÷2＝2小
时．摩托车的速度为60÷2＝30公里小时．
【提示】这是最本质的行程中比例关系的应用，注意份数对应思想。

6. 一辆汽 车把货物从城市运往山区，往返共用了20小时，去时所用时
间是回来的1.5倍，去时每小时比回来时 慢12公里.这辆汽车往返共行驶
了 _____ 公里.
【答案】576
【解】 记去时时间为“1.5”，那么回来的时间为“1”．
所以回来时间为20÷(1.5+1)＝8小时，则去时时间为1.5×8＝12小
时．
根据反比关系，往返时间比为1.5︰1＝3︰2,则往返速度为2：3,
按比例分配，知道去的速度为12÷（3-2）×2＝24（千米）
所以往返路程为24×12×2＝576（千米）。


7. 有70个数 排成一排，除两头两个数外，每个数的3倍恰好等于它两边

两个数之和.已知前两个数是 0和1，则最后一个数除以6的余数是
______ .
【答案】4
【解】 显然我们只关系除以6的余数，有0，1，3，2，3，1，0，5，3，，
3，5，0，1，3，……
有从第1数开始，每12个数对于6的余数一循环，
因为70÷12＝5……10，
所以第70个数除以6的余数为循环中的第10个数，即4．
【提示】找规律，原始数据的生成也是关键，细节决定成败。

8. 老师在黑板上 写了一个自然数。第一个同学说：“这个数是2的倍数。”
第二个同学说：“这个数是3的倍数。”第三 个同学说：“这个数是4的倍
数。”……第十四个同学说：“这个数是15的倍数。”最后，老师说：“ 在
所有14个陈述中，只有两个连续的陈述是错误的。”老师写出的最小的
自然数是 。
【答案】60060
【解】2，3，4，5，6，7的2倍是4，6，8，10，12， 14，如果这个数不
是2，3，4，5，6，7的倍数，那么这个数也不是4，6，8，10，12，1 4
的倍数，错误的陈述不是连续的，与题意不符。所以这个数是2，3，4，
5，6，7的倍数 。由此推知，这个数也是（2×5=）10，（3×4=）12，（2
×7）14，（3×5=）15的 倍数。在剩下的8,9,11,13中，只有8和9是连续
的，所以这个数不是8和9的倍数。2，3， 4，5，6，7，10，11，12，，
13，14，15的最小公倍数是2
2
×3× 5×7×11×13=60060。


16.小王和小李平时酷爱打牌，而且推理 能力都很强。一天，他们和华
教授围着桌子打牌，华教授给他们出了道推理题。华教授从桌子上抽
取了如下18张扑克牌：
红桃A，Q，4 黑桃J，8，4，2，7，3，5
草花K，Q，9，4，6，lO 方块A，9
华教授从这18张牌中挑出一张牌来，并 把这张牌的点数告诉小王，
把这张牌的花色告诉小李。然后，华教授问小王和小李，“你们能从已
知的点数或花色中推断出这张牌是什么牌吗?

小王：“我不知道这张牌。”
小李：“我知道你不知道这张牌。”
小王：“现在我知道这张牌了。”
小李：“我也知道了。”
请问：这张牌是什么牌?
【答案】方块9。
【解】 小王知道这张牌的点数，小王说：“我不知道这张牌”，说明这张
牌的点数只能是A，Q，4，9中的一 个，因为其它的点数都只有一张牌。
如果这张牌的点数不是A，Q，4，9，那么小王就知道 这张牌了，因
为A，Q，4，9以外的点数全部在黑桃与草花中，如果这张牌是黑桃或草
花，小 王就有可能知道这张牌，所以小李说：“我知道你不知道这张牌”，
说明这张牌的花色是红桃或方块。
现在的问题集中在红桃和方块的5张牌上。
因为小王知道这张牌的点数，小王说：“ 现在我知道这张牌了”，说
明这张牌的点数不是A，否则小王还是判断不出是红桃A还是方块A。


因为小李知道这张牌的花色，小李说：“我也知道了”，说明这张牌是方块9。否则，花色是红桃的话，小李判断不出是红桃Q还是红桃4。

【提示】在逻辑推理中，要注意一个命题真时指向一个结论，而其逆命
题也是明确的结论。

10.从1到100的自然数中，每次取出2个数，要使它们的和大于100，则
共有 _____ 种取法.
【答案】2500
【解】 设选有a、b两个数，且a＜b，
当a为1时，b只能为100，1种取法；
当a为2时，b可以为99、100，2种取法；
当a为3时，b可以为98、99、100，3种取法；
当a为4时，b可以为97、98、99、100，4种取法；
当a为5时，b可以为96、97、98、99、100，5种取法；
…… …… ……

当a为50时，b可以为51、52、53、…、99、100，50种取法；
当a为51时，b可以为52、53、…、99、100，49种取法；
当a为52时，b可以为53、…、99、100，48种取法；
…… …… ……
当a为99时，b可以为100，1种取法．
所以共有1+2+3+4+5+…+49+50 +49+48+…+2+1＝50
2
＝2500种取法．
【拓展】从1-100中，取两个不同的数，使其和是9的倍数，有多少种
不同的取法？ 【解】从除以9的余数考虑，可知两个不同的数除以9的余数之和为9。
通过计算，易知除以9余1 的有12种，余数为2-8的为11种，余数为0的有
11种，但其中有11个不满足题意：如9+9、 18+18……，要减掉11。而余
数为1的是12种，多了11种。这样，可以看成，1-100种， 每个数都对应
11种情况。
11×100÷2=550种。除以2是因为1+8和8+1是相同的情况。

14.已知三位数的各位数字之积等于10，则这样的三位数的个数是
_____ 个.
【答案】6
【解】 因为10＝2×5，所以这些三位数只能由1、2、5组成，于是共< br>3
P
3
有＝6个．

12. 下图中有五个三角形，每个小 三角形中的三个数的和都等于50，其
中A
7
＝25，A
1
＋A2
＋A
3
＋A
4
＝74，A
9
＋A
3
＋A
5
＋A
10
＝76，那么A
2
与A
5
的和是
多少？

A
1
A
9
A
2
A
8
A
3
A
5
A
4
A
10
A
6
A
7

【答案】25

【解】 有A
1
+A
2
+A
8
＝50，
A
9
+A
2
+A
3
＝50，
A
4
+A
3
+A
5
＝50，
A
10
+A
5
+A
6
＝50，
A
7
+A
8
+A
6
＝50，
于是有A
1
+A
2
+A
8
+A
9
+A
2
+A
3
+A
4
+A
3
+A
5
+A
10
+A
5
+A
6
+A
7
+A
8
+A
6
＝250，
即(A
1
+A
2
+A
3< br>+A
4
)+(A
9
+A
3
+A
5
+ A
10
)+A
2
+A
5
+2A
6
+2A< br>8
+ A
7
＝250.
有74+76+A
2
+A< br>5
+2(A
6
+A
8
) + A
7
＝250 ，而三角形A
6
A
7
A
8
中有A
6
+A< br>7
+A
8
＝50，
其中A
7
＝25，所以A
6
+A
8
＝50－25＝25.
那么有A
2
+A
5
＝250－74－76－50－25＝25.
【提示】上面的推导完全正确，但我们缺乏方向感和总体把握性。
其实，我们看到这样的数阵 ，第一感觉是看到这里5个50并不表示
10个数之和，而是这10个数再加上内圈5个数的和。这一点 是最明显的
感觉，也是重要的等量关系。
再“看问题定方向”，要求第2个数和第5个数的和，
说明跟内圈另外三个数有关系，而其中第6个数和第8个数的和是
50-25＝25,
再看第3个数，在加两条直线第1、2、3、4个数和第9、3、5、10个
数时，重复算到第3个数 ，
好戏开演：
74+76+50＋25+第2个数＋第5个数＝50×5
所以 第2个数＋第5个数＝25

13.下面有三组数
(1)
2
113
3
1
128
9
3
，1.5，
6< br> (2)0.7，1.55 (3)
4
，
2
，1.6，
20

从每组数中取出一个数，把取出的三个数相乘，那么所有不同取法
的三个数乘积的和是多少？
【答案】720
【铺垫】在一个6×5的方格中，最上面一行依次填写0、1、3、5、7、 9；
在最左一列依次填写0、2、4、6、8，其余每个格子中的数字等于与他
同一行中最左边 的数字与同一列中最上面的数字之和。问：依次填满数
字以后，这30个数字之和是多少？
【解】思路同原题。（2+4+6+8）×6+（1+3+5+7+9）×5=245
因为原题较复杂，也可先讲此题，然后再讲原题。
1

13
< br>1

3

21.512



0.71.55



91.68

6

220

＝16×2.25×20＝

4
【解】

3
720．
【提示】推导这部分内容，可别忘了帮学生复习一下求一个数 所有约数
和的公式。融会贯通的机会来了。


家 庭 作 业
1.
3
【答案】
11


【解】将分子、分母分解因数：9633＝3×3211，35321=11×3211
【提示】用辗转相除法更妙了。

14.甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，相 向而行，出发时他们的速
度比是3：2，他们第一次相遇后，甲的速度提高了20％，乙的速度
提高了30％，这样，当甲到达B地时，乙离A还有14千米，那么，A、
B两地间的距离是多少千米？
【答案】45千米
【解】设A、B两地间的距离是5段，根据两人速度比是3∶2，当他们第

一次相遇时，甲走3段，乙走了2段，此后，甲还要走2段，乙还要走3段．当
甲、乙分别提高速度后，再者之比是：

【提示】题目很老套了。但考虑方法的灵活性，可以作不同方法的练习。
本题还可以用通比（或者称作连比）来解。
14÷(27-13)×(27+18)=45(千米)

20.新年联欢会上， 六年级一班的21名同学参加猜谜活动，他们一共猜
对了44条谜语.那么21名同学中，至少有___ ____人猜对的谜语一样
多.
【答案】5
【解】 我们应该使得猜对的谜语的条数尽可能的均匀分布，有：
0+0+0+0+1+1+1+1+2+2+ 2+2+3+3+3+3+4+4+4+4＝(0+1+2+3+4)×4＝40，
现在还有1个人还有 4条谜语，
0+0+0+0+1+1+1+1+2+2+2+2+3+3+3+3+4+4+4+4+4 ＝44．
所以此时有5个人猜对的谜语一样多，均为4条．

不难验证至少有5人猜对的谜语一样多．
此题难点在入手点，即思考方法，可由学生发言，由 其发言引出问
题，让学生们把他们的意见充分表达出来，再在老师的启发下，纠正问
题，解决问 题。这样讲法要比老师直接切入解题要好。
【提示】注意如果没有人数限制，则这里的“至少”应该是 1个人。结合
21人，应该找到方向了。

26.某一个 工程甲单独做50天可以完成，乙单独做75天可以完成，现在
两人合作，但途中乙因事离开了几天，从 开工后40天把这个工程做
完，则乙中途离开了 ____ 天.
【答案】25
【解】 乙中途离开，但是甲从始至终工作了40天，完成的工程量为整
14
个工程 的40×
50
＝
5
．
4111
那么剩下的1－
5
＝
5
由乙完成，乙需
5
÷
75
＝15天完成，所以 乙离开了
40－15＝25天．

30.从时钟指向4点整开始，再经过________分钟，时针、分针正好第一
次重合.
【答案】
21
9
11

【解】 方法一：4点整时，时针 、分针相差20小格，所以分针需追上
1
时针20小格，记分针的速度为“1”，则时针的速度 为“
12
1

9

1

21
需20÷

12

＝
11
．
”，那么有分针10
9
8
11
12
1
2
3
4
7
6
5


65
5
11
分钟重方法二：我 们知道：标准的时钟，时针、分针的夹角每
复一次，显然0:00时时针、分针重合．
有1:
5
51049
101621
11
，2:
11
，3:
11
，4:
11
……均有时针、分针重合，所以

从4 点开始，再过
21
9
11
时针、分针第一次重合．
【拓展】4点到5点的时间里，时针和分针成直角，在什么时间？
这是时钟和行程相结合的一 个类型，可用原题的方法一求解。难度不大。
但是要注意题目有两个答案，即时针和分针重合和时针、分 针位于时针
两侧的情形。

38.设有十个人各拿着一只提桶同时到水龙头前打水， 设水龙头注满第
一个人的桶需要1分钟，注满第二个人的桶需要2分钟，…….如此下
去，当只 有两个水龙头时，巧妙安排这十个人打水，使他们总的费
时时间最少.这时间等于_________分 钟.
【答案】125


【解】 不难得知应先安排所需时间较短的人打水．

不妨假设为：

第一
个
第二
个
第三
个
第四
个
第五
个
第一个水龙
头
A
B
C
D
E
第二个水龙
头
F
G
H
I
J

显然计算总时间时，A、F计算了5次，B、G计算了4次，C、H计算
了3次 ，D、I计算了2次，E、J计算了1次．
那么A、F为1、2，B、G为3、4，C、H为5、6， D、I为7、8，E、J
为9、10．
所以有最短时间为(1+2)×5+(3+4)×4+ (5+6)×3+(7+8)×2+(9+10)×1＝
125分钟．
评注：下面给出一排队方式：

第一
个
第二
个
第三
个
第四
个
第五
个
第一个水龙
头
1
3
5
7
9
第二个水龙
头
2
4
6
8
10
【提示】想象一下，如果你去理发店理发，只需 要一分钟，可能这时已
有一位阿姨排在你的前面，她需要1小时。这时，你请她让你先理，她
可 能很轻松地答应你了。
可是，如果反过来，你排队在前，这位阿姨请你让她先理，你很难
同意 她的要求，而且大家都认为她的要求不合理，这是为什么呢？

可以看到，一个水龙头时的等待总时间算法是：
S＝A+A+B+A+B+C+A+B+C+D+A+B+C+D+E=5A+4B+3C+2D+E
所以，要想使总时间S最小，则要A
两个水龙头可参见排队方法，但排队方法不唯一。有一个原则:

（A+F）<(B+G)<(C+H)<(D+I)<(E+J)

45.有一列数，第一个数是133，第二个数是57，从第三个数开始，每个
数都是它前面两个数的平 均数，那么，第16个数的整数部分是
_______．
【答案】82
【解】由已 知：第三个数＝(133＋57)÷2＝95，第四个数＝(57＋95)÷
2＝75，第五个数＝(7 6＋95)÷2＝85.5，第六个数＝(85.5＋76)÷2＝
80.75，第七个数＝(80.7 5＋85.5)÷2＝83.125，第八个数＝(83.125＋
80.75)÷2＝81.9375 ，第九个数＝(81.9375＋83.125)÷2＝
82.53125．第十个数＝(81.937 5＋82.53125)÷2＝82.234375，从第十
一个数开始，以后任何一个数都在82.5 3125与82.234375之间，所以，
这些数的整数部分都是82，那么，第16个数的整数部分 也是82．