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“恒成立”中的“恒等式问题”

作者：谭爱平

来源：《中学课程辅导高考版·学生版》2010年第07期

恒等式是无论其变量如何取值,等式永远成立的算式.它是描述两个解析式之间的一种 关系.
给定两个解析式,如果对于它们的定义域的公共部分(或公共部分的子集)的任一数或数组,都有
相等的值,就称这两个解析式是恒等的.一个恒等式左右两边的各同类项的系数必定相同.相反,如果一个等式的左右两边各同类项系数完全相同,则该等式必定是恒等式.
不等式 恒成立问题同学们已经非常熟悉.而恒等式问题近两年已经成为高考命题新动向,是
各地模拟考试竞相挖 掘的热点.主要涉及以下三个方面的问题:
一、奇偶性中的恒等式
例1 (09苏锡常二调)已知k∈R,函数f(x)=mx+k•nx(0
奇偶性?如果有,求出相应 的k值;如果没有,请说明理由.
简析:f(x)=mx+k•m-x
1,mn=1,函数f(x)是否具有
假设函数是奇函数,根据奇函数的定义f(-x)=-f(x),代入整理得
(k+1)(mx+m-x)=0(※),
(※)是对定义域内任意x恒成立,故k+1=0,k=-1.
假设函数是偶函数,根据偶函数的定义f(-x)=
(k-1)(mx- m-x)=0(),
f(x),代入整理得
()是对定义域内任意x恒成立,故k-1=0,k=1.
综上,当k=-1时,函 数f(x)为奇函数;当k=1时,函数f(x)为偶函数;当k≠±1时,函数不具有奇偶
性.
例2
(08南通一模)已知函数f(x)=ex+kk •ex-1(k为常数)在其定义域上是奇函数,则实数k的
值等于 .
简析:根据奇函数的定义f(-x)=-f(x),代入整理得(k2-1)(e2x+1)=0(),