感恩老师的诗句-数学教育叙事

不等式恒成立问题
一、知识梳理：
不等式与函数、数列有关恒成立的综合运用
二、训练反馈：
1．若关于x的不等式
x2xaa
在R上恒成立，则a的最大值是（ ）
A. 0 B. 0 C. -1 D. 2
2．不等式
x
2
xaa
2

0
恒成立，则
a
的取值围是 。
422
2
3．不等式
2
x
1
m
(
x
1)
对于满足
m2
的一切实数
m
都成立，则
x
的围< br>是 。
4．（04启中模拟）对一切实数
x
， 不等式
x
2
a
|
x
|

1
≥0 恒成立，则实数
a
的取值围是
（ ）
A、
(
，－2］ B、［－2，2］ C、［－2，
)
D、［0，
)

5．（04月考）对任意
a
∈[－1,1]， 函数
f(x)=x
2
+(a－4)x+4－2a
的值总大于
零，则< br>x
的取值围是 （ ）
A．13 C．12
6．（04中模拟）已知
f
(
x
)
x
lg(< br>x
2

1
x
)
,若
f(m3)
+
f(932)

xxx
0
恒成立，则
m
的取值围是__________. 7．（04黄冈模拟）设函数
f(x)x
（
x

R），若0


3
π
时，
f(msin

)
+
f(1m)

2
1
2
0
恒成立，则实数
m
的取值围是 （ ）
A、（0，1） B、（-∞，0） C、
(
，
)
D、
(
，
1)

三、例题
例1：
f(x)lg(x1)
，
g(x)2lg(2xt)
当
x[0,1]
时
f(x)g(x)
恒成立，求的围。
例2：已知
f(x)
定义在
(1,1)
上，且有
f(x)f (y)f(
xy
)
，若数列
{f(x
n
)}
满 足
1xy
x
1

2x
n
1
。
,x
n1

2
2
1x
n
（1） 求数列
{
f
(
x
n
)}
的通项公式

（2） 是否存在整数
M
，使不等式
111
.. .
M
对任意
nN

恒成
f(x
1
) f(x
2
)f(x
n
)
立？若存在，求出
M
的最大 值；若不存在，请说明理由。
例3：（2004天津卷）
R
上的奇函数
f< br>(
x
)
axcxd
(
a
0)
，当< br>x1
时
f(x)
取得
3
极小值
2
。
（1） 求
f(x)
的单调区间和极大值；
（2） 证明对任意
x
1
,
x
2

(

1,1)
，不等 式
f(x
1
)f(x
2
)4
恒成立
四、课堂练习：
1．函数
y
log
a
x
在x[2,)
上恒有
y1
，则
a
的取值围是 。
2．
x
的不等式
1
x
2
xb
在
[1,0]
上恒成立，则
b
的取值围是 。
3.函数
y
kx7
的定义域是一切实数，则
k
的取值围 是 。
2
kx4kx3
4.对任意实数，若不等式
x1x2k
恒成立，则
k
的取值围是 。
(x
2
1)cos

x(cos

5) 3

sin


1
对于任意实数x都成立，求

的取5. 若不等式
x
2
x1
值围。
x
2< br>2mx1
6.若
y
对任意实数x都有
y5
，求m的围 。
2
3x2x3
x
2
2xa
7.（2000年） 已知函数f(x)=,x∈
[1,)
.
x
（1）当a=
1
时，求函数f(x)的最小值；
2

（3） 若对任意的x∈
[1,)
，
f(x)0
恒成立，试求a的取值围。 < br>8.（04年模拟）已知
f

x

xaxb
(
a
,
bR
)

32
（１）若函数
yf(x)
图象上任意两个不同点的连线斜率小于1，
求证：
3a3

（２）若
x

0,1< br>
，函数
yf(x)
上任一点切线斜率为
k
，当
k 1
时，

求
a
的取值围。





参考答案：
训练反馈：
1．B 2.
a2或a1
3.
例题：
1．
f(x)g(x)< br>等价于
lg(x1)2lg(2xt)
，即
71
x
2
31
4.C 5.B 6.B 7.D
2
2xtx10
，即
t2xx1
，故原问题等价于
t2xx1
对
x[0,1]
恒
x12s
2
s2(1s2)
，而
2
成立。设
x
1
s
,
则xs
1
，所以
2x
(2s
2< br>s2)
max
1,此时s1,故t1
。
2．（1）
f(x
n1
)f(
2x
n
f(x
n1
)< br>1
)2f(x),所以2,又f(x)f(
)

1
， 即有
n1
2
f(x
n
)2
1x
n
{f (x
n
)}是以1为首项，2为公比的等比数列
，故
f(x
n
)2
n1
。
（2）
111111
1
... (1
2
...
n1
)

n1
2

f(x
1
)f(x
2
)f(x
n
)2< br>22
2
2
故
m2
。
g(n)
1n1
2
在
nN

上是减函数，
g(n)
max
g(1)1
，所以
M1又mZ

f
'
(x)3ax
2
c,
由条件
f(1)2,f
'
1

0

3．（1）
d0
，
f
(
x
)
axcx
,
3
ac2,3a c0,解得a1,c3,f(x)x
3
3x
，
f
'< br>(x)3x
2
3,

x(,1]时，f
'
(x)0
，所以
f(x)
在
(,1]
上单调增；
x[1,1]时，f
'
(x)0
，所以
f(x)
在
[1,1]
上单调减；
x[1,)时，f
'
(x)0
， 所以
f(x)
在
[1,1]
上单调增；
所以
f(x)< br>在
x1
处取极大值
f(1)2
。

（ 2）
f(x)
在
[1,1]
上单调减，所以
f(x)
在< br>[1,1]
上的最大值为
f(1)2
，最小值为
f(1)2
，故
f(x
1
)f(x
2
)2(2)4
。
课堂练习：
1．
13
a
2
且a
1
2.
b1
3.
[0,)
4 .
(,3)

24
5.{
x
|
x
=－1或
x
≥3}
x
2
2mx1

5
恒成立 6.
y5恒成立，即
5
3x
2
2x
2
3
解得- 1111
时，
f(x)x2
，
f(x)
在区间[
1,)
上为增函数，
f(x)
22x
7
在区间[
1,)
上的最小值为
f(1)
（2）[解法一]在区间的[
1,)
上，
2
7.解：（1）当
a
x
22xa
f(x)0
x
的恒成立
x
2
2x a0
恒成立，设
yx
2
2xa,x[1,)
，
yx
2
2xa(x1)
2
a1
递增，∴当
x1
时，
y
min
3a
，于是当且仅当
y
m in

3
a
0
时，函数
f(x)0
恒成立， 故
a3
[解法
二]
f
(
x
)
x< br>
a
当
a0
时，函数
f(x)
的值恒为正，当a0
时，函数
f(x)
2.x[1,)
，
x
递增，故当
x1
时，
f
(
x
)
min

3
a
0
，于是当且仅当
f(x)
min
3 a0
时，函数
f(x)0
恒成立，故
a3

8.解（1）、设任意不同两点为
P
1

x
1
,y
1

,P
2

x
2
,y
2
< br>，且
x
1
x
2
，则
y
1
y2
xex
1
x
2
ex
2
22
1
1
1x
1


ex
2
< br>x
1
x
2
ex
2
10
x
1
x
2
x
1
x
2
3232
4
2
x
1
R0即3x
2
2ex
2
e< br>2
40e
2
403a3

3
（2 ）、当
x


0,1

时
,k

f
'

x


3x
2

2ax
由题意：
13x
2
2ax1,x

0,1
，



f
'
(1)32a 1


f
'
(1)32a1

f
'
(1)32a1
a


则

0 1
或

a
或

a
解得：当
3
< br>
1

0
2
3

3

'
aa
1

f()
33

k1
时 ，
1a3