笨人学数学的一点心得来源
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笨人学数学的一点心得
来源： 王浩的日志
我把自己这个彻底的外行，学数学的一点经验分享给大家。
数学是什么？大部分中国
人心目中的数学，其实按严格的分类，都属于应用数学。
一句话：应用数学是用数字和公式描述客观世界
的科学，研究的是客观世界的数
量性质和运动规律；而数学（为了区分，多称作“纯数学”或“基础数学
”）是含有
公式的哲学，研究的是抽象概念的关系、运动规律和空间的性质，具有很强的主
观性
和艺术性。古人从猎物分配中总结了算术，从土地面积丈量中总结出基础的
平面几何，可以说，先有应用
数学后有纯数学。二者在300年前可以说不分彼
此，牛顿、高斯、欧拉等大数学家同样也在应用数学、
物理和哲学等领域取得累
累硕果。后来，罗巴切夫斯基和黎曼等建立非欧几何学，使得人类第一次脱离生
活中直观的三维空间，思考抽象空间的性质，这个事件标志着纯数学开始自立门
户。而1900
年希尔伯特在国际数学家大会上的讲话，可以说是纯数学从应用数
学中彻底独 立出来。二战后经济复苏
，数学家有了资金支持可以无忧生计，全
心全力做研究，数学得到长足发展。
为什么要学基础数学？常言道，练武不练功，到老一场空。倚天剑屠龙刀是绝世
神兵
，但也要拿得动舞得起来才有威力。看过电影《导火线》的筒子，肯定对里
面甄子丹的背摔印象深刻。但
如果没有甄子丹的身体素质和协调能力，硬用背摔
这样的技能非伤到自己不可。应用数学的模型的发明研
究者多数有很深的基础数
学功底，故学习者若无一定的基础数学的训练，理解他们的成果就要花费很多的
时间和精力，而且难以理解透彻和应用到位，更不要提举一反三了。而目前工业
日新月异，金融
界瞬息万变，相关的模型和公式也是层出不穷。学习者如果不能
触类旁通，一个一个学是必然学不完的。
一切高级的数学，归根结底都是微积分
和线性代数的各种变化，这是哈佛数学系主任丘成桐和普林斯顿数
学系前系主任
释天(Elias Stein)经常告诫学生的话。而基础数学的初级学科，如数学分析
和高
等代数，就是对最基本的高等数学和线性代数进行理论上的完善，让学习者不仅
仅能学会现
有的套路，更能理解公式定理背后的道理，从而能更好地应对各种随
机的情况，甚至于自创招式。故将来
计划学习理工科和金融的学生，除了练好微
积分和线性代数的计算，至少要学习一下这两个领域的证明课
程，也就是一年的
基础数学。这只是最低要求，物理学特别是理论方向的必修群论（属于抽象代数），<
br>量子力学要学希尔伯特空间（属于实变函数）。另外，有些较为高端的金融数学
项目中的随机模型
的课程，已经要求初步掌握测度论。具体到理工科和金融的名
家案例：生物学家施一公高中数学竞赛河南
省第一名，大学物理和生物双学位中
修了大量数学；哈佛大学双聘教授庄小威本科在中科大读核物理，群
论和偏微分
方程是必修，出国读博时数学水准不亚于数学系毕业生；文艺复兴基金创始人、
30
年内杀入福布斯前50名的富豪赛猛宅(James Simons) 本身就是基础数学出
身。近一点
的例子：北大生命科学学院05级本科第一名、现斯坦福博士生高小
井；06级本科第一名、现哈佛医学
院博士生李鑫，高中都有数学奥赛经历，在
大学也一直加强数学学习。MHC生物和化学双学位取得者，
目前杜克大学医学
院MD学生王晓雯，大学期间做完了著名的《吉米多维奇数学分析习题集》。本
科阶段学好数学，是理工社科从业者一生的财富。
我
的数学到底有多烂？做过《五年高考三年模拟》的朋友，都知道高考数学北京
卷的特点是基础题特别基础
，最后一道大题用超纲知识+新信息+方法综合拉开
分数档次。我当时模考，就总是最后一道题得一两分
或者全部放弃。我从小强于
记忆而不善也不喜欢逻辑推理，故高中数学基本上靠题海练习、熟悉题型、照
搬
定式来得分。来到石溪，我学数学有过非常痛苦的经历。其实当时规划也有失误，
很多地方失
于急躁冒进，不然，完全可以不那么累而且学得更好。欧美有很多数
学天才写过数学的学习心得，但鉴于
他们起点太高，学习节奏可以很快，故方法
未必适合大家。我的方法可以说是零起点的，目的是帮助像我
一样没搞过竞赛的
理科生以及文科生搞定美国大学的数学系要求，以在未来的职业竞争中，数学方
面不至于拖累自己甚至领先身边人。那么如何学好数学？看我细细道来：
第一：要具备不卑
不亢的心态。数学并非难，只是它的表述体系和思维要求，对
于多数中国学生比较陌生。要把它当作全新
的东西来认识，就跟学习一门新语言
一样。以前自己学的东西，包括高中知识和AP数学等，记住概念即
可，思维推
导不要沿用。然后严格按照老师讲的思维方式，不厌其烦的推导和证明，慢慢一
回生
二回熟。几年前华人数学天才陶哲轩给UCLA本科生讲Honor Analysis（荣
誉数学分析
）的时候，上来进度非常慢，前一个月都在证明皮亚诺公理、集合论
和基本的映射理论，但后来可以越学
越快，而且学生越学越Hi。拳不离手，曲
不离口，学语言要勤动口和动笔，学数学也要没事常动脑。就
算文科生一样可以
学好数学：20世纪俄罗斯数学学派掌门人、莫斯科国立大学数学系主任柯莫高
（Kolmogorov,又译柯尔莫格洛夫）大一是读历史的。美国人魏爱华(Edward W
i
tten)更奇葩，本科四年读的都是历史和语言学，博士申请UWM的经济学博士，
读了半年退学，自
修数学和物理,23岁考进Princeton，硕转博再同时搞数学和物
理。16年后，他站在菲尔兹
奖的领奖台上。我说过了基础数学其实是哲学，而
哲学算文科还是理科都有道理。所以，就算国内数学学
得再烂，只是按照国内标
准比较烂，在美国完全有可能前途无量，要有信心。另一方面，国内就算奥赛摘
金夺银，到美国也要扎扎实实的学。因为奥赛国际金牌在欧美的精英面前多数是
渣：俄罗斯盖芳
德(Gelfand)15岁读完代数几何教父高探蝶（Grothendieck）的
名著EGA（代
数几何原理），这套书让北大博士去读都够呛。我们石溪的米糯教
授本科大一在《数学年鉴》上发论文，
这是数学界最高学术期刊，每年中国大陆
所有教授加起来在上面都很难有一篇文章发表。这里特别要说一
下美国数学教学
的二段教学法：不同于俄罗斯和中国上来就是带证明的数学分析和高等代数，美
国的教学更为亲民：上来先是微积分和不带证明的线性代数，内容比较简单，作
业和考试很多中国学生可
以依靠高中基础秒杀之。但不少人练习不够，很多知识
没搞透，方法技巧也不够熟练。然后到了第二段，
数分和高代一开，很多人欲哭
无泪。这就要求第一阶段，哪怕觉得这些题再傻，一本书一道不落地做完是
很有
必要的。 然后第二段就要细读书，多问老师。在美国基础数学能学好的中国人，
要么是自
己天才，要么就把教授办公室的椅子坐穿。
第二，保证数学的学习时间。要是天才并且喜欢数
学，那你自然会给数学大量时
间。如果是为了将来胜任其他领域而学数学，要记住大一大二对于打好数学
基础
是最宝贵的。所以，建议每天先完成其他学科的作业，然后把大块时间分配给数
学的看书做
题细琢磨。我目前主要是修各种数学课和一门应用数学的概率论，每
天时间大体是这样分
割的：睡觉6小时，吃饭包括饭后的休息2小时，健身和洗
澡2小时，交通1小时，个人爱好1小时（抄
抄四书五经，读读文艺的歌词，
主要是墨明棋妙的还有林夕的），机动时间1小时，剩下11小时是听课
和课下
学习。周末多用两小时坐校车去买个菜，路上一直思考，也相当于最终学习10
小时。谁
说数学天才每天悠哉游哉？那么最年轻的菲尔兹奖得主，27岁得奖的
赛赫（Jean-Pierre
Serre）够天才了吧？他自述道：习惯带着数学题入梦，醒来
往往有思路。故我用最爱的《红楼梦》
第一回作为他的雅号：“梦幻通灵”赛赫(与
“造化阴阳”高探蝶，“迷津慈航”艾抵涯（Sir
Michael Atiyah，英国皇家学会会长，
敕封爵士）并列20世纪世界第一的数学家)。数
学多好算好？别说拿A，满分都
是不够的。一本书读完，知识和方法不超纲的题目要难不住你（by“现
代微分几
何之父”陈省身）。一本书读完，同一领域下一阶段的书要能自通30%（by菲尔
兹
奖得主Curtis McMullen的导师Dennis Sullivan，石溪数学四大导师之苏立文）
。
校内传的什么每天学习八小时那是给别的学科的。每天八小时想学好数学？做梦！
第三，学会科学的思维方法：下面分条目详解。数学天才请华丽丽的无视。
（1）数
学思维的三个方面：任何数学的定义、定理说透了也就三部分：第一是
它本身的文字和（或）符号、 公
式内容；第二是它在数学知识体系中的位置，
与其他数学内容的逻辑关系，包括由什么可以推出来该定义
或定理，它又可以（与
其它定理一起）推出些什么；第三是它所涉及的范畴有什么具体实例（比如循环<
br>群就有旋转图形、整数加群和同余模加群等例子），这些例子又有何作用，能否
在数学中或数学外
（典型的如几何和物理）取得应用。这就分别是数学对象的本
体论、方法论和目的论。柯莫高说：“的确
学生对数学的适应性存在差异，这种
适应性表现在：1，算法能力，也就是对复杂式子作高明的变形，以
解决标准方
法解决不了的问题的能力。2，几何直观的能力，对于抽象的东西能把它在头脑
里像
图画一样表达出来，并进行思考的能力。3，一步一步进行逻辑推理的能力。”
（http:re234
887501）这些对应的就是掌
握数学概念的三方面需要什么能力。提高算法能力最好多做题，几何直
观除了做
题还要平时多留意，多联系生活实际；逻辑推理这个往往是中国学生的弱项，毕
竟我们
母语的方块字二维画面性远远超过西方拼音文字，而一维线形（逻辑链的
内在属性）却不足。汉字个个如
画，横竖左右写均可，而西方拼音文字就得一条
路从左往右，上下写都够呛。故逻辑推理要特别练习。练
习逻辑推理的方法关键
在定理的证明，下面会详述。
（2）如何课前预习：一开始微
积分可以多做一点，而数分和高代等带证明的预
习下一节课内容即可。先回顾上堂课所学知识，再看新章
节内容：先略读本章节，
看清有几个定义（Definition），几个定理（Theorem）和引
理（Lemma），有
哪些例子（Example）和注释（Remark）。如果把数学比作一门语言
，定义就是
名词，定理和引理是句子，而例子和注释相当于古文经典中的注和疏。定义一定
要自
己品味，比较长的拆开句子成分慢慢看，不行就抄。日本第一个菲尔兹奖小
平邦彦大学时抄过整本Van
de Warden的代数，咱们抄书不丢人。 定义要么
是全新的，这个不急着理解，往后看看；要么
是基于以前内容的，这个不妨回顾
一下相关内容再继续看。遇到定理就要注意，课本的证明不要先看，自
己理解定
理内容后，把定理当作习题徒手证一遍，写下来，再与课本原文比较，查找二者
的不同
：自己的证明是不是漏某条件或者把某需要说明的当做显然了（初学者常
犯错误），是不
是有多余的语句，是不是有地方用错了。凡是不同处，都要重点
思考，这样进步就快了。如果实在想不起
来，就看看书本怎么证的。对于自己的
不足，要整理到上述公式、逻辑或几何三个大类中，并提醒自己注
意（如国内分
析教材从罗尔定理证明拉格朗日中值定理，很多人不会把一般的函数构造成符合
罗
尔定理条件的函数，这个就牵涉到公式变形能力和逻辑能力）。引理也是这么
证。别小看引理，朗兰兹猜
想中的基本引理之一，吴宝珠证出来就是一个菲尔兹
奖。至于例子，也是不要先看，自己看了定理，自己
想至少两个例子，一个是典
型的，一个是退化的极限情况（by Halmos，《我要做数学家》和《
希尔伯特空
间习题集》的作者，芝加哥大学鼎盛时期和陈省身等共事的数学家）。例如高中
解析
几何的双曲线，分母的a^2, b^2当然大于零，可以找出来一个例子。如果
其中一项等于零，就退
化成两条直线，这就是退化的极限情况。不要小看退化，
这正是跟以前知识的联系。自己想了例子，其实
潜意识中，注释的内容已经过了
一遍。然后不必太早做习题，再回顾一下整个思维过程有没有需要看课本
提示的
地方，有没有自己能看懂但是跟以往惯性思维相悖的地方，有没有突然顿悟的地
方。这都
要记下来，上课等老师讲到这里时要格外留心。
（3）听课：美国的数学教授基本还是写黑板
，而且不会太快。上课公式一写几
黑板的那是应用数学教授，噼噼啪啪打幻灯的在石溪一定不是数学或物
理教授。
所以，有时间记笔记。但不必全记住，把预习的成果调动起来，老师讲的时候
跟自己
脑中的备份随时印证并修正。就一个建议，教授不停嘴，学生不动笔。真
正听好了，上课一字不写又何妨
？课下完全可以轻松补全并注上自己的心得见解。
（4）课下：先整理笔记，一定有自己的见
解，全抄老师的对于学应数是有用的，
对于学数学则是浪费时间。数学界的师生关系往往很融洽，但思维
上绝对是批判
继承和启发继承，学我者昌，似我者亡。然后是定义再品味一下，定理和引理自
己
再证一遍，比较老师的证明、课本的证明和自己当初的证明，这次不仅要能说
出哪个好，还要能说出为什
么好。然后是做题了。除了开始的微积分要刷书，带
证明的课，课本做好作业题就够了，因为老师选的可
能不是经典教材（经典的往
往比较难，很多美国学生受不了）。但每个题要做精，做完一题回顾自己的思
路
历程，并对其中的公式变形、逻辑推理和几何直观进行归类。实在做不出来，画
个记号，改天
再看，两天都做不出来才可以看解答。对于解答中自己想不到的，
要特别标注，常常回顾。然后就是选一
本这一门课比较经典的书，按照上文预习
和做题的路子走一遍。经典教材的知识点和思路要自己总结，每
过一两章节，找
一张大的纸画下来本章定理的逻辑体系图。经典教材的题目最好都做，做不出来，
Office Hour坐穿椅子去。
（5）心理状态：很多人开始觉得数学难，然后生怕
基础打得不牢，一个定理看
半天，看似很认真很投入，其实就算理解了思维也很僵化，而且容易跟不上进
度。
这就像打羽毛球和练书法，你心里紧张，手抓得太紧，反而发不出力来，写的字
也不好看。
掌心要虚着，身体要保持随时可以发力的弹簧状，击球时蹬地转体推
肩压臂一套动作一气呵成，手掌瞬间
抓紧最后一次加速，这才能打出林丹那样硬
砸开李宗伟铁板防御的扣杀。书法所谓挥洒，也是如此。要保
持轻微的紧张和激
动，有点小期待，随时能调动已有知识，并可以多角度观察新知识，思维能发散
也能迅速收回并集中攻关。这种感觉一旦找到，妙不可言。不过重难点也要适当
文火慢炖：如果教材中
有令自己感到太难的思考，头一天理解了要标记，第二天
要试着不看书回忆。曾任Pri
nceton和University of Wisconsin Madison教授，
现坐镇石溪
的微分几何大家陈秀雄先生在《初遇尤金·卡拉比》中写道，当年导
师卡拉比告诉过他：如果你不能在脑
海中重复整个论证过程，那么它就没有成为
你的一部分。
下面是几个本科课程的经典教材：
基础微积分：Stewart，Thomas，吉
米多维奇选一个就可以。吉米可以晚一些，
学数学分析时做。
基础线性代数：Gilbert Strang的Introduction to Linear
Algebra, MIT OCW上
有教学视频，作者亲自讲，非常非常适合入门 。
高等代数（带证明的线代）：Friedberg的Linear
Algebra。不要用那个Linear
Algebra Done
Right，太粗糙。
抽象代数：小丫挺（Michael Artin）的Algebra
，国内张禾瑞的《近世代数基础》
很好，毕竟是小丫挺的父亲丫挺先生（Emil
Artin）的博士生，土豆网上有授课
视频。学有余力的看Dummit &
Foote的Algebra，再牛的挑战郎射日（Serge
Lang）的Algebra。
数学分析：基础一般的，陶哲轩的Analysis
I,II很好。基础很好的用苏联卓里奇
（Vladimir
Zorich）的Mathematical Analysis
I,II，这是清华基础科学班大一数
分教材。课外想自虐的用Rudin的Principles
of Mathematical Analysis，即Ba
by Rudin。
复分析：经典的多数用Rudin的Real and Complex
Analysis，不过有点小难。
实分析：这个不必看本科生专门的实分析，研究生的可以
直接上，毕竟本科分析
扎实的话，测度论可以直接看。上一条中Rudin的就好，另外有个Real
Analysi
s: Modern Techniques and Their
Applications by
Folland写的不错。至于释
天的三卷分析，相当难，慎用。
微分方程：常微分
方程很多人推荐Arnold的，不过偏难。偏微分一定要问老师，
毕竟涉及的范畴太广了。
拓扑学：Munkres的不解释。如果多元微积分很好，可以用Milnor的那本小册
子（
Topology from the Differentiable
Viewpoint）看看微分拓扑。
永远不要用新中国成立后国内写的数学教材，特别是同
济大学的高等数学，有
知识性错误。
第四，打造良好的身体素质：数学是劳心的工作
，如果身体素质不够，气血不足，
将直接影响思维质量。数学牛人几乎没有不爱运动的：柯莫高70岁仍
冬泳，注
意，是莫斯科的冬天！陶哲轩骑山地车，高探蝶养牛（囧），陈秀雄卖萌（我坚
持认为
他是自然萌）。说说离我们比较近的，目前清华数学系第一名刘琳媛，我
高中师妹，天天长跑，全程马拉
松4小时内拿下。要想学好数学，摸爬滚打至少
要喜欢一项。这里给男生推荐联系腹肌：首先这个可以天
天练，作为读书的调剂
（上肢和下肢如果负重，要隔天练才不会受伤）；其次腹肌训练能提高躯干供血，
这样在各种环境（沙发，椅子，树上，火车或飞机上）看书都不易出现头晕或胸
闷；最后当然是能吸引妹子。每天推荐训练量：腹肌撕裂者(Abs Ripper)或八分
钟腹肌（8
Min Abs）教程一套（网上有），配合腿部负重（沙袋就好）；负重
仰卧起坐50次每组x5组（
开始可以20次每组x10组），负重悬垂举腿10-30
每组x5组，负重俯卧挺身10-20次每组
x5组。这对综合防身也有用：常言到
手是两扇门，全靠腿打人。同样是低位置的快速踢腿，小腿发力叫
下段踢，腰胯
发力叫碎骨，只有用上腹部和背部的力量，才是令人闻风丧胆的“武神强踢”。
最后祝大家都能以高效率学好数学，享受学习数学的过程。各路高人欢迎拍砖。