法律基础知识-复旦附中浦东分校

什么是数学？为什么学习数学？《数学文化》的目的和意义
主要内容：
数学的本质
数学美学
数学与人的发展
数学与其它

一、数学研究对象的历史考察
从数学发展的每个历史时期，人们在实践中，对数学研究对象的发现与认识，来加以考察。
数学，作为一门科学，它来源于人类社会实践，并促进人类社会实践，也随着人类社会的
进步而发展。
1.数学萌芽时期(远古～公元前6世纪)
零零星星地认识了数学中最古老、原始的概念——“数”(自然数)和“形”(简单几何图形)。
数的概念起源于数(读snǔ)，脚趾和手指记数、“结绳记数” 等；
另一方面，人类还在采 集果实、打造石器、烧土制陶的活动中，对各种物体加以比较，
区分直曲方圆，逐渐形成了“形”的概念 。
2.常量数学时期(公元前6世纪～公元17世纪)
特点：人们将零星的 数学知识，进行了积累、归纳、系统化，采用逻辑演绎的方法形成
了古典初等数学的体系。
欧几里得（Euclid）：《几何原本》
以空间形式为研究对象，以逻辑思维为主 线，从5条公设、23个定义和5条公理推出
了467条定理，从而建立了公理化演绎体系。
我国东汉时期：《九章算术》
由246个数学问题、答案和术文组成，全书主要研究对象是数量关系。
3.变量数学时期(17世纪～19世纪)
特点：“运动”成为自然科学研究的中心课题，数 学由研究现实世界的相对静止的事物或
现象进而探索运动变化的规律，常量数学已发展到变量数学。17 世纪，迪卡尔（Descartes）
将几何内容的课题与代数形式的方法相结合，产生了解析几何学， 这标志着变量数学时期的
开始。17世纪60年代，Newton和Leibniz各自从运动学和几何 学研究的需要，创建了微积
分。随后，相继建立了级数理论、微分方程论、变分学等分析学领域的各个分 支。
15世纪～18世纪，人们还研究了大量的随机现象，发现存在着某种完全不确定 规律性，
建立了概率论。这个时期，数学的研究对象已由常量进入变量，由有限进入无限，由确定性进入非确定性；数学研究的基本方法也由传统的几何演绎方法转变为算术、代数的分析方法。
马克思 主义奠基人之一的恩格斯，在考察了18世纪前整个数学发展的历史基础上指出：“数
和形的概念不是从 任何地方得来的，而仅仅是从现实世界中得来的”、“纯数学是以现实世界
的空间形式和数量关系——这 是非常现实的材料——为对象的”，这些论断揭示了科学的数
学本质。
4.近现代数学时期(19世纪以后)
特点：数学由研究现实世界的一般抽象形式和关系，进 入到研究更抽象、更一般的形式
和关系，数学各分支互相渗透融合。随着计算机的出现和日益普及，数学 愈来愈显示出科学
和技术的双重品质。19世纪以来，由于社会发展的需要，以及数学自身的逻辑矛盾不 断产
生许多新问题，促使处于数学核心部分的几个主要分支——代数、几何、分析学科的内容发
生了深刻变化，并产生了许多新的数学分支。抽象代数学 、n维空间、无穷维空间以至于

更抽象的空间 、Cantor集合论泛函分析等
20世纪以来，数学的发展更是迅猛异常，产生了“优选学” 、“规划论”、“对策论”、“排
队论” 、“计算机理论‟等等，尤其是第二次世界大战以后，由于科学技术和工程技术上的计
算问题的越来越复 杂，需要高速、准确地计算许多非线性的、多维的，或为方程组形式的数
学问题，为此电子计算机应运而 生。随着计算机的出现，与高新科技紧密相关的数学理论，
如控制论、突变论、拓扑稳定性和大范围分析 等理论也随之产生。今日的数学不仅是一门独
立的科学，而且是一种普遍性的技术，它“兼有科学和技术 的两种品质”。
显然，现代数学的许多分支的研究对象，远远突破了传统的“空间形式”和“数量关系 ”
的范围。
二、数学是什么科学？
数学本质的另一个问题：数学究竟是 什么科学？是演绎科学，还是经验科学呢？或是实
验归纳科学呢？由于人们从不同的角度来认识，因而对 这个问题有着不同的看法．
1.数学科学的几种论述：
（1）从数学所从属的工作领域来 看：在17世纪以前，毕达哥拉斯（Pytnagoras）学派的数
学观占据了统治地位，他们认为“ 数是一切事物的本质，整个有规律的宇宙的组织，就是数
以及数的关系的和谐系统”，Galieo说得 更明白：“大自然乃至整个宇宙这本书都是用数学语
言写出的”。依他们看来，科学的本质就是数学，世 界是数学的描述形式，这一时期数学成
了科学的“皇后”；
到了17世纪，数学家Alem bert把数学划归在自然科学之内，确认它是自然科学的一个门类，
数学再不被认为是科学的“皇后” ，而是科学的“仆人”，是自然科学的工具。直到20世纪80
年代末，我国杰出的科学家钱学森明确提 出，“数学应该与自然科学和社会科学并列”，成为
现代科学技术的自然科学、社会科学、数学科学、思 维科学、系统科学、人体科学、军事科
学、文艺理论、地理科学等十大门类的一大门类，他主张“数学应 该称为„数学科学‟”。
（2）从研究数学的方法来看：匈牙利数理逻辑学家卡尔马认为“数学是 一门有经验根据的科
学”；著名的科学哲学家Lakatos认为“数学是既含有经验成分又含有理性成 分的一种非封闭
的演绎系统—拟经验的体系”；美籍匈牙利数学家、数学教育家认为“用欧几里得方法提出来的数学看来却像是一门系统的演绎科学；但在创造过程中的数学看来却像是一门实
验性的归 纳科学”。可见从数学真理的发现或发明的无数事实来看，它是通过大量实验、归
纳而得以发现，进而通 过演绎推理而证明它的可靠性和真实性。因此，数学具有两重性，它
既是一门系统的演绎科学(从最后被 确定的定型的数学来看)，又是一门实验性的归纳科学(从
创造过程中的数学来看)．
（3） 从数学对象来看．数学家Descarte把数学称作“序的科学”；物理学家Weinberg把数学
看作是“模式与关系”的科学，如像生物是有机体的科学，物理是物和能的科学一样，“数学
是模式的科 学”；如果把数学看作是一种语言，它又可认为“是描述模式的语言”。随着现代
数学的创立与发展，人 们对数学的本质的认识逐步深化，在当今数学哲学界流行一些新颖和
较成熟的数学哲学观点.
2.数学是模式的科学
《现代汉语词典》里，对模式的解释是指“某种事物的标准形式”，这 种标准形式是通过抽象、
概括而产生的。
按照这种解释，数学的概念、理论、公式、定理和 方法都可以看成是一种模式，显然它们又
是一种数学抽象思维活动的产物，这种抽象不同于其它科学中的 抽象。首先，在抽象的内容
上，它仅仅保留了事物的量的特性，而舍去了它的质的内容；其次，在抽象的 度量上，数学
中的概念，并非都是真实事物或现象的直接抽象的结果，而是在第一次抽象的基础上，进行
多次的再抽象。换句话说，由概念引出概念，如正方形是由长方形引出的概念；再次，在抽

象的方法上，它是一种“建构”的活动，也就是说，数学的对象是借助于明确 的定义得到构造
的，数学理论又是建立在逻辑演绎之上来展开的。
例1 关于数学概念的模式
我们知道“1”这个数，是对一个人、一棵树、一间房等类事物的量的特性的刻画，是抽象思
维 的产物。实际上，在现实世界里并不存在作为数学研究对象的真正的“1”。又如，现实世
界中，我们只 看到圆形的十五的月亮，圆形的水池，圆形的车轮，而数学概念中的“圆”，则
是这类事物的标准形式， 反映了这类事物都具有的“到一个定点的距离等于定长”的量的特
性。在高等数学中，我们知道瞬时速度 可以看成是距离对时间的导数、电流是电量对时间的
导数等，我们如果将距离、电量、曲线等一类事物都 抽象成关于x的函数f(x)，那么刻画函
数的变化率这一普遍意义的现象，可以用导数这一标准形式— —模式来表示，这样，我们把
数学概念都可以看成是量化模式。
例2 关于数学问题的模式
问题1 下面的两个问题，我们如果从质的方面来看，显然是两个不同的问题，但若从量的
属性 角度来看，却是同一个标准形式．
(1)某人有两套不同的西装和三条不同颜色的领带，问共有多少种搭配方法？
(2)有两个军官和三个士兵，现由一个军官和一个士兵组成巡逻队，问共有多少种组成方法？
这类问题，如果我们都舍去各自的质的内容，它们就可以抽象成下面的形式（图1-1）

问题2 著名的Euler“七桥问题”
东普鲁士哥尼斯堡(原苏联加里宁格勒)有一条布 勒尔河，这条河有两条支流，在城中心汇
合成大河，河中有一小岛，现有七座桥将它与陆地连接（图1- 2）

1735年左右，哥尼斯堡大学生傍晚散步时，总想一次走过七座桥，要求每座桥只 准走一遍，
试来试去总未成功，于是，他们写信求教瑞士的大数学家Euler，他用了几天时间反复思 考、

想象，终于在1736年解决了这个问题（图1-3）
他解决这个问题的优美之处，在于把问题简单化、理想化，
将问题中的陆地和岛抽象成四个点，七座桥抽象成七条线，
人们一次不重复地走过四块陆地和七座桥的问题，就化归
为能否一笔画成图1-2的问题了-“线路拓扑学”的先驱工作．

问题3 六人集会问题．试证明六个人集会，总是有三个互相
认识，或者有三个互相不认识。
同样，我 们也可以通过数学抽象，将这个实际问题，转化为纯数学的问题—建构一种模式，
并对其进行研究。事实 上，集会中的六个人，用平面上的六个点A1，A2，A3，A4，A5，
A6来表示，每两人相识则用 实线连接，不相识则用虚线连接，这样

于是，原来的问题就转化为：证明在上述15条线段 中，一定有某三条实线段或某三条虚线
段构成一个三角形，这就成了一个纯数学问题，运用抽屉原则就得 到要求的结论。
上面三个问题，虽然都来自于现实世界的问题，且有不同的实际背景，但是每 个问题经
过抽象之后，“它们所反映的已不是某一特定事物或现象的量性特征，而是一类事物或现象在量的方面的特性”。像这样超越特殊对象而具有普遍意义的问题就是一种模式，即量化模
式。
综上所述，数学的概念、命题(理论)、公式、定理、问题和方法等等，事实上都是一种
量化的模式，这样一来，“数学即是关于量化模式的建构与研究。”正如美国数学家
所说：“数学是模 式的科学，数学家从数中、空间中、科学中和想象中寻找模式，数学理论
阐明了模式间的关系。”
“数学是模式的科学”与“数学是量的科学”的定义相比，我们认为前者的界定比后者更为恰当，更为精确。这是因为前者的定义，不仅指出了数学的研究对象，而且指明了数学研究
的思想方 法，这就更明确了数学的本质。
3.数学是一种文化体系
“数学是一种文化体系” ，是美国数学家、数学哲学家Wilder于1981年提出来的，这是
长期以来提出的第一个成熟的数 学哲学观。
数学何以是一种文化？
文化，从广义上讲是人类在社会历史发 展过程中所创造的物质财富和精神财富的总和。
简言之，由人类所创造的事物或对象，都可叫做文化。
数学研究的对象是现实世界的空间形式和数量关系，是现实世界一种量化模式。这种模
式是由现实世界中的事物或现象，经过人的大脑抽象思维人为创造出的抽象模式，是“人类
悟性的自由创 造物”。它源于现实世界，又并非是现实世界的真实物。例如，在现实世界中，
我们只看到了长方形的黑 板，长方形的桌面，而现实世界中并不存在数学上所研究的真正“矩
形”；同样，日常生活中我们只见到 三张桌子，三棵树，三个人，又何时看到数学研究对象
中的“3”呢？更不要说，虚数、四元数、超复数 、向量空间、n维空间等“理想元素”，它们都
可以看成是人类思维的自由创造物。正因如此，数学同各 种艺术形式一样，是人类一种创造
性活动的结果，是人类抽象思维的产物，从这个意义来讲，数学是一种 文化，而且是更高层
次上的文化．
从现代人类文化学的角度来讲，文化又指的是“各 个群体所特有的行为、观念和态度等。”
换句话说，是各个群体所特有的“生活方式”。中华民族的文化 是儒家文化、道家文化、佛教
文化逐渐演变而成的，而以儒家文化为主体，其核心是认识论和伦理说的统 一，即所谓“仁

智统一说”，“仁智统一，意味着人道(仁爱)原 则和理性原则的统一，伦理学和认识论的统一。”
几千年来中华民族的生活方式和道德行为都遵循这一准 则，也是中华民族的文化传统．
在现代社会中，数学家和数学教育工作者已形成了一个群体， 称之为“数学共同体”。这
个共同体的成员是以从事数学研究或数学教育，或两者兼之作为自己的职业的 人。他们组成
了自己的社会团体——数学会或数学教育研究会。在这个共同体中的每个成员，有“共同的
观念，共同的标准和行为模式，共同的方法和设想。”只有这样，他们的研究成果和教学业
绩， 才能得到数学共同体的承认，才得以在他们之间广泛交流和互相促进，从而推动数学和
数学教育深入研究 ，以及成果的应用和普及。在数学发展的历史进程中，伴随产生和发展的
数学共同体，也逐渐形成了自己 特有的生活方式——数学传统。因此，作为数学共同体的独
有的生活方式来讲，数学是一种文化。英国学 者Snow指出文化有两种：一种是人文文化；
另一种是科学文化。而数学文化不同于艺术、技术一类的 文化，它属于科学文化。
数学文化又为什么能构成一种独特的文化体系呢？
首先， 数学发展至今，尽管分支众多，发展迅猛，但在数学发展的历史进程中，伴随而
生并逐渐形成了一个独具 特色的统一的数学思想方法体系。
所谓数学思想方法，是指人们在认识或处理各种数学或非数 学现象的思维过程中，所表
现出来的种种数学观念及思维方式。
其认识的客体，包括 数学研究的对象及其特性，研究途径与方法的特点，研究成果的精
神文化价值及对现实世界的实际作用， 内部各种成果或结论之间的相互关联和相互支持的关
系等。
解析几何的发明，不仅仅 是创建了一门新的数学分支，而更重要的是引起数学思想方法
的重大变革，使得形与数、几何与代数统一 起来，不但如此，还开拓了代数学、几何学新的
研究领域，加速了微积分形成的历史进程。
一部数学思想方法变革史，也是人类思想文化史中极为重要的一部分。数学思想是人类
思想文化宝库中的 瑰宝。它不仅影响数学本身的发展，而且也影响着人类社会的其它的各个
领域，尤其是科学技术和哲学。 数学思想方法在它产生和形成的过程中，自始至终蕴含着一
种理性主义的探索精神，这种精神激励人们“ 认识宇宙，也认识人类自己”。
其次，“文化是语言(一类的东西)”，文化依赖于语言而传 播、保存。同样，数学文化也
可以看成是“描述模式的语言”。数学语言如同数学对象一样来源于人类实 践，它源于人类自
然语言，随着数学抽象性和严格性发展，逐步演变成相对独立的数学语言体系。数学语 言体
系是由一些符号和记号组成的语言体系，主要有文字语言、符号语言、图象语言三个部分。
数学语言是人类语言的高级形式，它具有精确性、简洁性、以及形式化和符号化的特点。
再次 ，数学文化作为人类文化的子系统，有其特殊的发展动力体系。这个体系的主要力
量有：环境力量、遗传 力量以及符号、文化传播、抽象、一般化、一体化、多样化等等。
有的学者把数学的发展与生 物的进化进行比较之后，认为上述各种力量，归纳起来就是
环境力量和遗传力量，数学之所以能蓬勃地发 展就是这两种力量共同作用的结果。
环境力量又称外部力量，主要来自于生产实践和日常生活 、科学研究的需要，遗传力量
又称内在力量或内驱动力，它主要是指形成的数学文化(包括数学理论、数 学问题、数学传
统等等)对数学发展的作用和影响。
数学发展的历史表明，往往是许多数学 家对已研究出的数学理论，提出了种种不完善之处或
研究工作的不足之点，以及存在的尚未解决的问题。 这些数学内部的矛盾，驱使他们不断地
对数学进行发现和发明创造。所以有的学者提出：“纯理性数学的 发展动力之一，是“数学理
论与数学审美标准之间，或数学美形态前后之间的矛盾。”正如著名数学家V on－Neumann
所说：“我认为数学家无论是选择题材还是判断成功的标准，主要地都是美学的。 ”因此，追
求数学的统一性、简洁性、奇异性、和谐性等美的特性，往往是数学家致力于数学的发现和< br>

创造的一个十分重要的原因。
综上所述，数学文化作为 人类文化体系中的一个重要组成部分，由于具有自己独特的数学思
想方法体系，数学语言体系和数学发展 的动力体系等，所以数学文化构成了不同于其它文化
的一种独特的文化体系。