四川国际标榜职业学院教务网-中班下学期家长会发言稿

谈小学分数的教学

【按】分数，无疑是小学数学中的一个核心概 念。我们在2011年
第6期同时刊发了华应龙老师的《分数：先分后数——“分数的意义”
教 学新路径》和刘加霞老师的《通过“分”与“数（shǔ）”，分数是
个数（shù）——兼评华应龙老 师执教的“分数的意义”》两篇文章，
探讨这一核心概念以及孩子应该学习分数的哪些内涵等问题，引发 了广
大读者的热议。

为什么反复强调核心概念？因为“概念是儿童乃至成人建构复 杂
能力的基石。孩子可以运用认识或理解的主要概念，扩展到探究其他问
题上，触类旁通地解决 学习和生活中遇到的某些问题”。核心概念尤其
具有强大的“生长性”。同时，数学素养与核心概念的理 解和掌握密切
相关。

本期通过对分数概念内涵及思想方法的进一步廓清，希望引起 老师
们对数学乃至其他学科核心概念的重视，从而引发研究的兴趣与热情。
教学，原本就是学科 本质的教学，而核心概念则是最重要的载体。

在国际上，分数被认为是小学阶段最抽象、最 复杂、最容易出现问
题的概念。这固然跟该学段学生的认知水平有关系，但最重要的是教师
对分 数的理解和认识水平。研究表明，教师是否具备与分数概念相关的
知识，是影响学生分数概念学习的重要 因素之一，但目前很多教师对分
数知识理解多基于运算法则的运用，缺乏对分数概念各个知识点之间联< br>

系的整体认识。这里对分数概念的相关知识及教学中的问题做一简要梳
理，拟作参考。

分数不仅仅表示部分与整体的关系

分数一词来自拉丁文的“fractio”，它 的意义是分开，通常用来
描述一个被分开的全体的各个部分。它产生于测量过程（整体或一个单
位的一部分）和计算过程（除不尽时得到分数）。测量“连续的量”时，
人们就需要选定度量单位，而不 能数尽时需要进行更小的分割；为了测
量得更精确，就用分数来表示测量的结果。分数是一个数值。它比 自然
数更能准确地刻画事物的“量”特性，实现数学“量化思想方法”的意
义。
< br>分数概念就是在不同意义情境下，共有着“除的意涵”的不变性，
并透过各种不同的表征方式加以 呈现。分数的含义可以概括为以下6个
方面：

1 ．部分与整体。它是指连续量中 部分与整体的关系，即将分数表
征成把一个连续的整体平均分后，其中的几部分与该整体相比较的结果。例如：图1中黑色部分占全部图形的14。这里强调“平均分”是
必要的，也要注意平均分只是 各个部分的地位相同，外观、形状不一定
相同。

2 ．商：整数相除的结果。它是指分数被视为两个量相除的结果，代
表一个量（ 被除数）与基准量（除数）之间相比较关系。分数是由除不
尽引起的。学生必须尽快从分数的“部分与整 体”过渡到“商”定义。
分数的商的定义比份数的定义要深入一步，体现了引进分数的必要性。
正由于从除法的视角理解分数，分数的各种运算性质才能被学生更好地
理解。

3 ．子集和集合。当全体是离散量时，分数的意义为子集和集合的
关系，此时将分数表征成一个集合平均分 后，其中的几组与该集合相比
较的关系。

4 ．比值。即将分数表示成两个集合（ 离散量）或两个量（连续量）
的比较结果。“分数比值定义”价值在于可用其定量研究两个以上事物在量方面的结构关系，实现数学“结构化思想方法”的意义。如果只停
留在“分数的份数定义”，不 但局限了分数的价值，而且会给学生解决
分数问题造成障碍。

5 ．数轴上的一个 数值或点。分数是数轴上一点，强调分数是实数
系的子集合。用数轴表示分数有两层含义：第一，表明“ 分数是数”，
一个分数只有一个对应点；第二，表明分数是线段长，是指分数的测量
意义。如图 2，13表示数轴的一点，13还可以表示数轴上线段的长。

在数 轴上学生对分数作几何解释是他们认识分数的进步，这是一个半抽
象的模型。线段模型是分数从实物模型 到“圆模型”、“正方形”等数
学模型的再抽象，它是分数从“份数模型”向“商”模型过渡的几何载< br>体，体现分数稠密性的特征。美国和新加坡的小学数学教材利用数轴解
释分数的大小比较。利用数 轴模式可以让学生了解分数的序列、等值分
数及分数大小、分数单位和非分数单位的关系，也可以让学生 了解整数、
分数和小数之间的关系。

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6 ．公理化定义：有序的整数对：(p，q)，其中p≠0。表示把单位
1分 成多少份的数p，叫做分母，表示取了多少份的数q，叫做分子。分
数写成分子分母＝qp。

分数概念蕴含的数学思想

概念往往是思想的表达。任何一个数学概念，都蕴含着相 应的数学
思想。分数概念中蕴含着转换思想、等价类思想、公理化思想、函数思
想、数形结合思 想等，在小学数学教学中尤其要注意其中的转换思想和
等价类思想。

1 ．转换思想。

概念有五种表征方式：实物情境、操作 具体物、图画、口语符号以
及书写符号。在理解分数概念的过程中，学生能将它放入各种不同的表
征系统间；在给定的表征系统内，能很有弹性地处理分数概念；能够很
精确地将分数从一个表征系统转 换到另一个表征系统。此即为分数概念
蕴含的转换思想。

另外需要指出的是，分数 的转换思想还体现在分数的化聚。聚的问
题主要探讨学生是否能够以几个分数单位来合成集聚一个分数， 例如：
3个15可以合成35；而化的问题则是探讨学生能否视集聚分数为几
个分数单位所合成 的结果，例如：35可以看作是3个15合成的结果。

在分数比较大小时，突出反映了分数 基本性质的转换思想，如：比
较56与23的大小时，将转换23为46，再将46与56比较，转化为分子4与5的比较。等值分数图形表征转换上的意义是一个量的进
一步细分割，形成扩分的等值 分数；也可以将一个量转换，重新描述其
分割数，形成其约分的等值分数。

学生是 否能在不同表征之间自由转换分数，足以代表其是否能熟练
掌握分数概念。每一个转换对学生而言就是一 个分数概念的重新解释。
例如：35表示放大3倍（×3）后再分成5份（÷5)的过程，同时也可以视为3个15。至于其他的转换，例如比与分数（8:7=87）和比与除
法（8:7=8÷7) ，都牵涉到分数的一种表示与另一种表示之间的转换。

2 ．等价类思想。

分数的使用能够把事物的许多不可比的状态变成可比的状态。比< br>如，盘子的12与足球场的12，它们所代表的实际意义是不尽相同的，
但是在讨论分数时，由于 分数的无量纲性（不带单位的量），它们又是
等价的，这样就把两种不同的事物联系起来。这一点，有时 候对于数学
活动，特别是对于数学建模来说是非常重要的。

分数的“等价类”思想 ，是一个重要的数学思想方法。学生领会等
价类思想，既有学习的难度，又有思想的高度。数学上把所有 分数的等
价集所形成的集合称之为有理数的集合，也就是说每一个分数的等价
集，例如【34】 ，都是一个有理数，或者说它是有理数集合的一个元
素。由此可知每一有理数事实上是一个集合，其集合 的元素为分数。当
然只有等价集才可作为有理数的元素。

学生在理解分数概念时的常见错误

1 ．对单位“1”的认识模糊。

“单位1”又称为“整体量”，或“单位量”。一个物体，一个图
形，一个计量单位，一些物体 都可以看作一个整体，我们称它为单位
“1”。“单位1”不仅表示一个，也可以表示由多个事物组成的 整体，
它体现了数学高度抽象概括的特征。单位“1”是形成学生对分数概念
理解差异的原因， 也是发展成不同的分数子概念的基础。这就尤其需要
我们引导学生认识到从微观世界到宏观物体，不论其 体积或重量大小，
都可以把它看作一个整体，用单位“1”表示。

学生对分数单位“l”的认识存在相当大的问题，容易忽略题目给
定 的单位“1”大小。林福来等人研究发现学生在理解单位“1”时存在
的错误如下：学生倾向于自我假设 在同一情境中出现的各个分数具有相
同的单位“1”；信息量超过学生的处理能力时，学生会配合其处理 能
力，自行更改单位“1”，或分解单位“1”【1】。单位“1”概念在连
续量和离散量上所 需的知识并不相同，离散量情境比连续量情境难。学
生对连续量的事物可理解为一个整体，但是对于离散 量的事物很难理解
为一个整体，很难将其视为单位“1”来看待。构建抽象、灵活的单位
“1” 概念是学生构建分数概念过程中的主线。学生在形成分数概念时
（比如8个苹果），必须先形成有弹性或 变通性的单位“1”概念。

2 ．误认为分数单位几分之一的“一”是一个物体。

分数单位的意义是把单位“1”平均分成若干份，其中的一份叫做
这个分数的分数单 位。在小学阶段中，依据分数概念的情境来区分，分
数单位的内容大致可以分为两类：已知量和未知量。 而分数单位内容物
是已知量的又可分为：离散量（多个物）和连续量。教学时，要从单位
“1” 的意义角度帮助学生理解分数单位的实际大小不是固定的。学生
能理解分数单位是可再分割及再复制的单 位，可以将某一分数单位分割
成为数个等价的低阶分数单位，也可以将数个该分数单位集聚成为另一个高阶的分数单位。

问题：如图3，请用分数表示图中阴影部分。

学生成功解题的关键在于找到适当的分数单位，同时将 全部与部分
量尽。然后，再利用这个单位重组成全部或集合。开始学生以方格作为
测量单位，方 格能将全体量尽，但在测量部分时却无法获得整数个方格
数，学生无法灵活地应情境的需要或限制，弹性 地转换测量的分数单位，
所以会出现4.512等这种带有小数的答案。在老师启发下，他将方格
转化为直角三角形，以直角三角形作为测量单位，最后得到阴影部分占
全体的924。
< br>另外，重新诠释新的数量关系是发展复杂数学概念的关键。在分数
学习中，学生还应该具有单位化 能力（就是将单位集聚化的能力），例
如，如果学生能以25为单位，点数出几个25，此时该学生就将 “25”
单位化了。将25当成一个新的单位，需要学生经过二次单位化的转换
过程。当学生能 处理分数单位内容物为多个物体的问题时，才具备学习
等值分数的基础；学生才能够深刻理解分数的基本 性质和异分母分数加
减法中通分的意义。

笔者听课时发现：学生很容易认识分数单 位，如，35的分数单位
为15；但是，学生难以在分数单位的数字表示与分数单位的多个实物
表示间建立正确的联系。在分数单位内容物为多个实物的情境中，学生
利用实物或图形表征分数单位时容 易出现错误。

问题：图4有12个方块图，你能先分一分，再涂一涂，表示出一
个分数吗？


如图5，在第一个图中，学生能够将这12个方块平均分为4等份（每
等份中包含3 个方块），但是学生只利用其中的1个方块表示；学生在
其他3个图形中，也出现类似问题：只利用其中 的1个方块表示、、。
因此学生必须理解份数与个数的关系。针对学生出现的问题，许卫兵老
师 在教学中强调：分母是指被分割的所有份数而不指个数；同样，分子
是指所取得的份数而不指个数。

3 ．整数偏向。

在学习分数时，学生很可能因为分数与整数 共享一套符号系统，且
由于过于依赖连续的“部分——整体”模式（这一模式抑制了他们将分
数 视为一个数），从而出现错误的认知，以致在处理分数问题时，运用

整数的知识并将分数的分子、分母视为独立的两个数，表现出整数偏向。
研究也表明，学生在应用分数 知识时，常常使用先前形成的有关整数的
独立单元计数图式来解释分数的倾向【2】。
出现“整数偏向”的原因主要在于目前教师在教授分数概念时通
常从“部分——整体”引入，使用的 表征方式也多采用区域模型和离散
物体模型，这种做法无形中强调了整数概念，从而造成对分数的测量含
义的不理解。为了更好地认识分数的测量概念，需要学生理解在任意两
个分数中间是存在无限多 个分数的，还需要具有在数轴上标定分数的能
力。数轴模型的缺乏和使用测量工具经验的缺乏可能是分数 理解困难的
另一个原因。

4 ．对分数符号、名称、程序等的混淆。

学生掌握分数概念的重要标志是理解分数符号所表征的这些相关
但不相同分数的意义。马克(M ack）指出：一些小学生的分数非正式知
识无法与分数符号及运算法则联系起来。这些小学生在分东西 时，能正
确比较东西的大小，但却无法比较分数符号的大小【3】。分数的符号
为号ab（b≠ 0),学生普遍将该符号视为是由两个整数组成的，并将它
应用到分数的问题上。分数是一个过程概念。 学生在分数概念的发展初
期，其认知常常停留在分的活动上，此类学生常以完成分东西的动作当
成满足点，而不会将分完的东西与单位量、分数符号、名称等相关联。
学生理解分数的困难可能与教学时 过多地注重规则而忽略了分数符号、
名称、程序造成的，这种做法阻碍了学生自发探求分数的意义。

5 ．等值分数不等值。

等值分数 是分数形态的等价类，其本质是具有相同的分数意义，但
却有不同的分数符号。在比较两个等值分数的大 小时，学生常误以为分
母比较大的分数，其值也比较大。对于“一个分数可以有许多不同的名
字 ，同一个分数的不同名称不会改变它的量的性质”，学生不易接受。

比较分数大小有三个策 略：从外观上比较分数；用推理的方法比较
大小；将它们变成分母或分子相同的分数。一些研究结果显示 学生可以
机械地比较分数的大小，但要求学生有意义地解释如何比较分数大小却
是很困难的【4 】。在比较分数大小的过程中，学生要运用分数基本性
质。但构建分数基本性质的过程是一个循序渐进的 过程，不能简单地把
分数基本性质仅仅归结于机械地掌握一个运算规则：“分子、分母同时
乘以 一个相同的数，分数的值不变。”这一点，我们或许可以参考一下
我国台湾省和西方一些国家的数学教材 中对分数基本性质的表述。他们
把分数基本性质称作等值分数（equivalent frction )，美国的小学数
学教科书中，将等值分数定义为：分数可以有不同的名字，但却代表相
同的量 。它是异分母分数大小比较的前置概念之一，它在分数乘法或分
数除法的学习上扮演着重要的角色。
分数概念教学建议

1 ．还原历史，创设分数教学情境。
< br>教师可以遵循分数产生的历史，设计一个要用分数解决问题的情
境，让学生感到，分数的出现在情 理之中，学习分数知识很有用。例如，

一位教师创设这样的情境： 5个大小一样的苹果，分给4个人，一人分
得1个以后，再将l个苹果平均分4份，每人分得1份，这1 份就是1
个苹果的14。这其中包含着比的过程：将物品（苹果）逐个分给每个
人以后，剩余分 配的物品与要分配的对象进行比较，发现剩余分配的物
品少于要分配的对象，需再进行平均分割，分割得 到的一份或几份与整
体进行比较，得到分数，表示分割得到的是原来整体的某些部分。

2 ．使分数的意义具体、直观。

分数的原始意义——“等分割及再合成其份数的 活动”是分数概
念发展的基石。对于所有分数问题，学生唯有经历实际操作或心理操作
等分割及 再合成其份数的活动，才能理解如何解决这些问题。故在分数
的初步认识阶段，应充分运用形象和直观手 段，让学生在具体的情境中
操作、感悟。通过操作活动理解分数，学生经历了“平均分一个量，建
立部分与整体之间的关系”这一过程，并能够用一个新的数（分数）来
表示。这时教师再给出分数的符 号表示，使之明确分数与符号之间的一
一对应关系。

在认识分数“14”时，许卫 兵老师让学生经历三次“分苹果”的
过程，在一“变”（总数量）和三“不变”（平均分的份数“4”、 表
示的份数“1”、使用的分数“14”）的对比和概括中，教师引领学生
认识分数的本质【5 】。若将3个苹果平均分给4人，每人分得多少苹
果？每人分得一份，这一份就是3个苹果的14。这是 分数概念的形式
化结果，体现除法或比率。实际教学过程中，有的学生先将一个苹果平

均分4份，每人分1份(14，分数单位），再将第二个苹果平均分4份，< br>每人分1份，再将第三个苹果平均分4份，每人分1份，最后，将3个
14（分数单位）累加起来 就是3个苹果的14，即34个苹果。这也为
建立分数除法转换为乘法做好铺垫：3÷4=3×14=3 4。这与华应龙老
师提出的先“分”后“数”不谋而合。

我们还可以借助信息技术 使分数的意义直观起来。如利用《几何画
板》演示分数的意义。如图6,学生可以看到：随着分子、分母 的数字变
化，图形的分割及相应的阴影部分也随之变化，这将帮助学生建立分数
语言、符号、图 形之间的联系。通过图形的方式取代具体物的操弄，能
够将心像具体表示出来，以帮助学生理解题意和解 决问题。


大多数学生在认识分数时难以理解单位“1”,学生往往只关注物体的个数，而忽略整体。许卫兵老师处理这一问题时，利用信息技术让
学生感受到总数量的明显变化 （一个孙悟空变成24个，再变成54
个……），通过细致观察、比较后，学生就可以使用简单的技法用 分数

表示涂色部分（图7）。学生通过这个有趣的变换过程加深了对分数的
理解。


还可以利用Excel软件显示分数的图形表示（图8）。学生理解分
数比较大小的 过程就是寻找共同的分数单位的过程，认识分数单位在比
较分数大小讨程中的价值。


3 ．渗透数学思想。



数学思想方法是数学教学 的隐性知识系统。教师有意识地、潜移默
化地启发学生领悟蕴含于分数知识之中的各种数学思想方法。如 转化思
想在教学中的渗透：使用形象、直观的图形语言来表示分数的概念，使
学生很好地实现从 认识整数到认识分数的转化；在计算异分母分数加减
法时，学生利用分数基本性质进行通分，就是要将其 中一分数转化为特

定的分数，再进行加减运算。另外，在上述问题 （图4）中学生要认清
其中的,“1”可以表示多个，这是数学思维方式的转变，也是将多个转
换为“1”，凸显转化思想。只有实现外在活动（“分一分”、“涂一
涂”）与内在思考（对分子“1” 的概括性理解，“1”包含多个内容物）
的一致性，才能体现学生对分数的真正理解。通过转化思想，教 师一步
步地引导学生着眼于新、旧知识间的联系，将新知识转化为旧知识，实
现从未知到已知、 复杂到简单、陌生到熟悉的转变。