解放军外国语大学-中国地质大学江城学院

2.1.1 指数与指数幂的运算（2课时）
第一课时 根式
教案目标：1.理解n次方根、根式、分数指数幂的概念；
2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质；
3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。
教案重点：根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质
教案难点：根式概念和分数指数幂概念的理解
教案方法：学导式
教案过程：
（I）复习回顾
引例：填空
（1）
a
n
aa（nN
*
)
； a
0
=1（a
0)
；
a
n

n个a
1
(a0,nN
*
)

n
a
(2)
a
m
a
n
a
mn
(m,n∈Z)；
(a
m
)
n
a
mn
(m,n∈Z)；
(ab)
n
a
n
b
n
(n∈Z)
（3）
9_____
； -
9_____
；
0______

（4）
(a)
2
_____(a0)
；
a
2
________

（II）讲授新课
1 15

1.引入：
（1）填空（1），（2）复习了整数指数幂的概念和运算性质（ 其中：因为
a
m
a
n
a
可看作
a
ma
n
,所以
a
m
a
n
a
m n
可以归入性质
a
m
a
n
a
mn
； 又因为
()
n
可看作
b
a
n
a
n
aa
，所以
()
n
可以归入性质
(ab)
n
 a
n
b
n
(n∈Z)）,这是为下面学习分
bb
mn< br>数指数幂的概念和性质做准备。为了学习分数指数幂，先要学习n次根式
（
nN
*
）的概念。
（2）填空（3），（4）复习了平方根、立方根这两个概念。如：
2
2
=4 ，（-2）
2
=4

2，-2叫4的平方根
2
3
=8

2叫8的立方根；（-2）
3
=-8

-2叫-8的立方根
2
5
=32

2叫32的5次方根 … 2
n
=a

2叫a的n次方根
分析：若2
2
=4，则2叫4的平方根；若2
3
=8，2叫做8的立方根；若2
5
=32， 则
2叫做32的5次方根，类似地，若2
n
=a，则2叫a的n次方根。由此，可有：
2.n次方根的定义：（板书）
一般地，如果
x
n
a
， 那么x叫做a的n次方根（
n
th root）,其中
n1
，且
nN

。
问题1：n次 方根的定义给出了，x如何用a表示呢？
x
n
a
是否正确？
分析过程：
例1．根据n次方根的概念，分别求出27的3次方根，-32的5次方根，a< br>6
的3
次方根。（要求完整地叙述求解过程）
2 15

< br>解：因为3
3
=27，所以3是27的3次方根；因为
(2)
5=-32，所以-2是-32的5
次方根；
因为
(a
2
)3
a
6
，所以a
2
是a
6
的3次方根。 < br>结论1：当n为奇数时（跟立方根一样），有下列性质：正数的n次方根是正数，
负数的n次方根 是负数,任何一个数的方根都是唯一的。此时，a的n次方根可表
示为
x
n
a
。
从而有：
3
273
，
5
322，
3
a
6
a
2

例2．根据n次方根的概念，分别求出16的4次方根，-81的4次方根。
解：因为
2
4
16
，
(2)
4
16
，所以2和-2 是16的4次方根；
因为任何实数的4次方都是非负数，不会等于-81，所以-81没有4次方根。
结论2：当n为偶数时（跟平方根一样），有下列性质：正数的n次方根有两个

n< br>a(a0)
且互为相反数，负数没有n次方根。此时正数a的n次方根可表示为：
其 中
n
a
表示a的正的n次方根，

n
a
表示a的负 的n次方根。
例3．根据n次方根的概念，分别求出0的3次方根，0的4次方根。
解：因 为不论n为奇数，还是偶数，都有0
n
=0，所以0的3次方根，0的4次方
根均为0 。
结论3：0的n次方根是0，记作
n
00,即
n
a
当 a=0时也有意义。
3 15

这样，可在实数范围内，得到n次方根的性质：
3n次方根的性质：（板书）
n

n

a,n2k1
a
n叫根指数，a叫被
x

(kN*)
其中 叫根式，
n


a,n2k
开方数。
注意：根式是n次方根的一种表示形式，并且，由n次方根的定义，可得到根式
的运算性质。
4.根式运算性质：（板书）
n
n
（a）a
，即一个数先开方，再乘方（同次）①，结果仍为被开方数。
问题2：若对一个数先乘方，再开方（同次），结果又是什么？
例4：求
3
(2)
3
，
5
2
5
，
4
3
4< br>，
(3)
2

由所得结果，可有：（板书）
②
n

a,n为奇数；
a
n



|a|,n为偶数

性质的推导如下：
4 15

性质①推导过程：
当n为奇数时，
x
n
a,由x
n
a得(
n
a)
n
a

当n为偶数时 ，
x
n
a,由x
n
a得(
n
a)
n
a

综上所述，可知：
(
n
a)
n
a

性质②推导过程：
当n为奇数时，由n次方根定义得：
a
n
a
n

当n为偶数时，由n次方根定义得：
a
n
a
n

则
|a||
n
a
n
|
n
a
n

a,n为奇数
n
n
(a)
综上所述：

|a|，n为偶数

注意：性质②有一定变化，大家应重点掌握。
（III）例题讲解
例1．求下列各式的值：
32
4
3
4
（4）
(ab)
2
（a>b） （1）（－8）（2）（－10）
（3）（ 3－

）
注意：根指数n为奇数的题目较易处理，要侧重于根指数n为偶数的运算。
（III）课堂练习：求下列各式的值
5 15

(1)
5
32
(2)
(3)
4
(3)
(23)
2
(4)
526

（IV）课时小结
通过本节学习，大家要能在理解根式概念的基础上，正确运用根式的运算性质解
题。
（V）课后作业
1、书面作业：
a.求下列各式的值
x1
2
3
2
（1）－27
(2)a
6
（3）（－4）
( 4)()

3x
b.书P
82
习题2.1 A组题第1题。

2、预习作业：
a.预习内容：课本P
59
—P
62
。
b.预习提纲：
（1）根式与分数指数幂有何关系？
（2）整数指数幂运算性质推广后有何变化？


6 15

第二课时 分数指数幂
教案目标：
(一)教案知识点
1.分数指数幂的概念.
2.有理指数幂的运算性质.
( 二)能力训练要求
1.理解分数指数幂的概念.
2.掌握有理指数幂的运算性质.
3.会对根式、分数指数幂进行互化.
(三)德育渗透目标
培养学生用联系观点看问题.
教案重点：
1.分数指数幂的概念.
2.分数指数幂的运算性质.
教案难点：
对分数指数幂概念的理解.
1.在利用根式的运算性质对根式的化简过程，注意发现并归纳其 变形特点，
进而由特殊情形归纳出一般规律.
2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进 一步将其推广到实数范围内，
但无须进行严格的推证，由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的 研究
方法.
教案过程：
（Ⅰ）.复习回顾
［师］上一节课，我们一起复习了整数指数幂的运算性质，并学习了根式的
运算性质.
7 15

整数指数幂运算性质
(1)
a
·a
=
a
(
m
,
n
∈Z) 根式运算性质
mnm
+
n
(2)(
a
)=
amnm
·
n

a,n为奇数
(
m
,
n
∈Z)
a


a,n为偶 数

n
n
nn
(3)(
a
·
b
) =
a
·
b
(
n
∈Z)
n
［师］对于整 数指数幂运算性质(2)，当
a
＞0，
m，n
是分数时也成立.
( 说明：对于这一点，课本采用了假设性质(2)对
a
＞0，
m
,
n< br>是分数也成立这
种方法，我认为不妨先推广了性质(2)，为下一步利用根式运算性质推导正分数
指数幂的意义作准备.)
［师］对于根式的运算性质，大家要注意被开方数
a
n
的幂指数
n
与根式的根指
数
n
的一致性.
接下来，我们来看几个例子.
例子：当
a
＞0时



3
2
3
①
a
5
10

5
(a)aa

12
3
252
10
5
②
a
3
12

3
(a)aa

23
3
2
3
434
③
a(a)a



④
a(a)a

1
2
2
1
2
［师］上述推导过程主要利用了根式的运算性质，例子③、④、⑤用到了推广的
8 15

整数指数幂运算性质(2).因此，我们可以得出正分数指数幂的意义.
（Ⅱ）.讲授新课
1.正数的正分数指数幂的意义
m
n
a
n
a
m
(
a
＞0,< br>m
,
n
∈N
*
,且
n
＞1)
［师 ］大家要注意两点，一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与
分数指数幂可以进行互化.
另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定.
2.规定(板书)


(2)0的正分数指数幂等于0.

(3)0的负分数指数幂无意义.

［师］规定了分数指数幂的意义以后，指数的概 念就从整数推广到有理数指数.
当
a
＞0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂 也同样适用.即对于任意有
理数r,s,均有下面的运算性质.
3.有理指数幂的运算性质(板书)



(1)
ar
·
a
s
=
a
r
+
s
(
a
＞0,
r
,
s
∈Q)
(2)(
a< br>r
)
s
=
a
r
·
s
(
a
＞0,
r
,
s
∈Q)
(3)(
a< br>·
b
)
r
=
a
r
·
b
r< br> (
a
＞0,
b
＞0,
r
∈Q)
(1)
a

m
n

1
a
m
n
(
a
＞0，
m
,
n
∈N
*
,且
n
＞1)
9 15

［师］说明：若
a
＞0，P
是一个无理数，则
a
P
表示一个确定的实数，上述有理
指数幂 的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明在本书从略.
这一说明是为下一小节学习指数函数作铺垫.接下来，大家通过例题来熟悉
一下本节的内容.
4.例题讲解

例2 求值：
8,100
2
3

1
2
1
3
16

4
,(),().
481
3
分析：此题主要运用有理指数幂的运算性质.
2
3
2
3
3
2
3
解：
8(2)2
1< br>2
1
2
3
2
2
4

100
(10)
2

10
1
2()
210
1

1
10
1
()
3
( 2
2
)
3
2
(2)(3)
2
664

4
33
16

4
2
4(
4
)
227
()()()
3

81338< br>例3

用分数指数幂的形式表示下列各式：


a
2
a,a
3

3
a
2
,aa
(式中
a
＞0)
解：
aaaaa
22
1
2
2
1
2
a

a
1
2
11
3
3
4
5
2
a
3

3
a
2
a
3
a
1
2
2
3
1
2
a
3
2
3
aa(aa)(a)a
3
2

［师］为使大家进一步熟悉分数指数幂的意义与有理指数幂的运算性质，我们来
做一下练习题.
Ⅲ.课堂练习
10 15

课本
P
51
练习
1.用根式的形式表示下列各式(
a
＞０)
1
5
3
4

3
5

2
3
a,a,a
1
5
,a

解：
a
5
a

3
4< br>a
4
a
3
a
a

3
5

5
a
3


3
a
2

1
5
a
3
1
a
2


2
3
3
2.用分数指数幂表示下列各式：

(1)
3
x
2
（2）
4
(ab)
3
（
ａ
＋
ｂ
＞０）

（3）
3
(mn)
2
（4）
(mn)
4
（
ｍ
＞
ｎ
）

(5)
pq
（
ｐ
＞０） (6)

2
3
65
m
3
m

解：(1)
xx

3
4
3
2
(2)4
(ab)(ab)

2
3
3
(3)
3
(mn)
2
(mn)

1
2
(4)
(mn)(mn)
＝（
ｍ
－
ｎ
）
２

4
11 15

(5)
pq(p0)(pq)pqpq

65 6
1
5
2
6
2
5
2
3
5
2
(6)
m
3
m
mm
3

1
2
m

5
2
3.求下列各式的值：
3
22
3
3
3
36
2
25

2
( 1)
25
；（2）
27
；（3）
()
；（4）
()

4
49
（5）
819
； （6）
23
3
1.5
6
12

3
2< br>3
2
3
2
4
3
2
解：(1)
25 (5)5
2
3
2
3
3
2
3
2
2
5
3
125

(2)
27(3)3
33
3
3
2
9

3
36
2
6
2
2
6
2
2
6
3
6
3
216
（3）
()[()]()()
3< br>

49777343
7
25

2
5
2

2
5
2(
2
)
5
3
5
3
2
3
8
()[()]()()()
(4)
42222
5
3
125
333
(5)
814
9
3
2

4
3
4
[(3
2
)]
2
3
1
4
2
3
1
2

4
3
4
3
2
3
1
4
21< br>2
32

1
6
4
3
4
3
2
3
(33)
4
(3)(3)
1
3
1
4
1
4
333
6
3

1
3
3
2
6
6
3
(6)
231.51223()(32)

2
12 15

2332
2
11
1
33
1
2
1
3

1
3
32(22
1
6< br>1
3

1
3
2)(333)
1
3< br>1
2
1
3
1
6
3
111
236

236
要求：学生板演练习，做完后老师讲评.
（Ⅳ）.课时小结
［师］通过本节学习，要求大家理解分数指数幂的意义，掌握分数指数幂与
根式的互化，熟练运用有理指数幂的运算性质.
（Ⅴ）.课后作业
（一）1.课本
P
53练
习题

2.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)

(1)
3
a
4
a
（2）
aaa


（3）
3
(ab)
2
（4）
4
(ab)
3


（5）
3
ab
2
a
2
b
（6）
4
(a
3
b
3
)
2

解 ：（1）
3
a
4
aaaa
1
2
11
22
1
3
1
4
11

34
a

1
2
1
4
1
8
111

248
7
8
7
12
(2)
aaa[a(aa)]aaaa
2
3
a

(3)
3
(ab)(ab)

3
4
2（4）
4
(ab)
3
(ab)

1
3
（5）
abab(abab)

3
2222
13 15

（６）
4
(ab)(ab)(ab)


3.求下列各式的值：


1
2
3323
23
4
3
1
3
2
(1)
2
； （2 ）
(
1
2
64
49
)

1
2； （3）
10000

3
4
125

3)
；（4）
(
27
2
解：（１）
2(11)1 1
11
1
2
2
2
1
2
11

1
64

2
8
2

2
8
2()
87
（2）
()(
2
)()
2
()
1


49778
7
3
4
3
4
3
4()
4
(3)
10000

(10)
4

1010
3
0.001

2
125

3
5
3

3
5
3
3
5
3(
3
)
59
)(
3
) [()]()()
2

(4)
(

2733325
3
222

4.用计算器求值(保留4位有效数字)
12
4
3
11



(1)
5
3
；（2）
321
3；（3）
73
2
；（4）
67
5
；(5)
8 3
2
；（6）25·
8
4

1
3
23
1
2
解：（1）
5
＝1.710（2）
321
＝46.88（3）
73
4
5
1
2

3
4

＝0.1170
（4）
67
＝28.90（5）
8 3
＝2.881（6）
8




14 15
＝0.08735

板书设计
分数指数幂
1.正分数指数幂意义 3.有理指数幂性质
m
n
a
n
a
m
（
ａ
＞0，
ｍ
，
ｎ
∈N
*
，
ｎ
＞１ ） （1）
ａ
ｒ
·
ａ
ｓ
＝
ａ
ｒ
＋
ｓ

（2）（
ａ
ｒ
）
ｓ
＝
ａ
ｒｓ

（
ａ
＞0，
ｒ
，
ｓ
∈Q）
（3）（ａ
·
ｂ
）
ｒ
＝
ａ
ｒ
·
ａｒ

（
ａ
＞0，
ｂ
＞0，
ｒ
∈Ｑ）
2.规定 4.例题

m
n
(1)
a
1
a
mn
［例1］
（
ａ
＞０，
ｍ
，
ｎ
∈N
*
，ｎ
＞１）， ［例2］
(2)0的正分数指数幂等于0， 5.学生练习
(3)0的负分数指数幂无意义.


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