中考数学 阅读理解题及答案
城市让生活更美好-初一数学上册期末试题
阅读理解题
1．(2019·重庆中考A卷22题)《道德经》中的“道生
一，一生二，二生三，
三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某<
br>种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现
在我们来研究
另一种特珠的自然数——“纯数”．定义：对于自然数
n
，在计算
n
＋(n
＋1)＋(
n
＋2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数
n为“纯数”．
例如：32是“纯数”，因为计算32＋33＋34时，各数位都不产生进位；
23不是“纯数”，因为计算23＋24＋25时，个位产生了进位．
(1)判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；
(2)求出不大于100的“纯数”的个数．
解
(1)2019不是“纯数”，2020是“纯数”．
理由：当
n
＝2019时，<
br>n
＋1＝2020，
n
＋2＝2021，
∵个位是9＋0＋1＝10，需要进位，
∴2019不是“纯数”；
当
n
＝2020时，
n
＋1＝2021，
n
＋2＝2022，
∵个位是0＋1＋2＝3，不需要进位，十位是2＋2＋2＝6，不需要进位，百
位为0＋0＋0＝0，
不需要进位，千位为2＋2＋2＝6，不需要进位，
∴2020是“纯数”．
(2)由题意可得，
连续的三个自然数个位数字是0,1,2，其他位的数字为0,1,2,3时，不会产
生进位，
当这个数是一位自然数时，只能是0,1,2，共3个，
当这个自然数是两位自然数时，十位数字是1,2,3，个位数字是0,1,2，共
9个，
当这个数是三位自然数时，只能是100，
由上可得，不大于100的“纯数”的个数为3＋
9＋1＝13，即不大于100的
“纯数”有13个．
2．阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；
双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说
中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在
二次根式中
也有这种相辅相成的“对子”，如：(5＋3)(5－3)＝－4，(3＋2)(3－2)<
br>＝1，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是
另一个的有理化因
式．于是，二次根式除法可以这样解：如
11×33
＝＝，
33×3
3
2＋32＋32＋3
＝＝7＋43.像这样，通过分子、分母同乘以一个式子
把
2－32－32＋3
分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化．
解决问题：
11
(1)比较大小：________(用“＞”“＜”或“＝”填空)；
6－25－3
(2)计算：
2222
＋＋＋…＋；
3＋353＋3
575＋579997＋9799
(3)设实数
x
，
y
满足(
x
＋
x
2
＋2019)(
y
＋
y
2＋2019)＝2019，求
x
＋
y
＋2019
的值．
解 (1)
16＋26＋2
＝＝，
2
6－26－26＋2
15＋35＋3
＝＝，
2
5－35－35＋3
∵6＋2＞5＋3，∴
11
＞ .
6－25－3
3－353－3575－579997－9799
＝(2)原式＝2
＋＋＋…＋
6307099×97×2
<
br>
1
1
99
335579799
99<
br>
＝2
－
＝1－2
－＋－
＋－＋…＋
＝1－
－
99
61
26
2198
11
.
33
(3)∵(
x
＋
x
2
＋2019)(
y
＋
y
2
＋2019)＝2019，
∴
x
＋
x
2
＋2019＝
2019
y
＋
y
2
＋2019
2019
y
－
y
2
＋2019
＝
－2019
＝
y
2
＋2019－
y
，①
同理可得
2019
y
＋
y
＋2019＝
x
＋
x
2
＋2019
2
2019
x
－
x
2
＋2019
＝
－2019
＝
x
2
＋2019－
x
，②
①＋②得
x
＋
y
＝0，∴
x
＋
y
＋2019＝2019.
3．阅读材料：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分
子的次数高于分母
的次数，在实际运算中往往难度比较大，这时我们可以考虑逆
用分数(分式)的加减法，将假分数(分式
)拆分成一个整数(或整式)与一个真分数
的和(或差)的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们
称之为分离整数法，
此法在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明．
x
2－
x
＋3
x
x
＋1－2
x
＋1
＋5
x
x
＋12
x
＋15
解：＝＝－＋
＝
x
－2＋
x
＋1
x
＋1
x
＋1
x
＋1
x
＋1
5
.
x
＋1
x
2
－
x
＋35
这样，分式就拆分成一个整式
x
－2与一个分式
的和的形式．
x
＋1
x
＋1
解决问题：
x
2<
br>＋6
x
－3
(1)将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，
x
－1
则结果为________；
2
x
2
＋5
x
－20
(2)已知整数
x
使分式的值为整数，则满足条件的整数<
br>x
＝
x
－3
________；
(3)若关于
x<
br>的方程2
x
2
＋(1－2
a
)
x
＋(4－3
a
)＝0有整数解，求正整数
a
的
值．
解
(1)
x
＋7＋
4
[解法提示]
x
－1
x2
＋6
x
－3
x
－1
2
＋8
x
－1＋444
＝＝
x
－1＋8＋＝
x
＋7＋.故结果为<
br>x
x
－1
x
－1
x
－1
x
－1＋7＋
4
.
x
－1
(2)2,4,16，－10
[解法提示]
2
x
2
＋5
x
－202
x
2
－6
x
＋11
x
－33＋13
＝
x
－
3
x
－3
＝
2
x
x
－3＋11x
－3＋13
x
－3
13
.
x
－3
＝2
x
＋11＋
13
要使原式的值为整数，则为整数，故
x
＝2,4,16，－10.
x
－3
(3)∵2
x
2<
br>＋(1－2
a
)
x
＋(4－3
a
)＝0，
∴2
x
2
＋
x
－2
ax
＋4－3<
br>a
＝0，
即(2
x
＋3)
a
＝2
x
2
＋
x
＋4，
2
x
2
＋
x
＋
47＋2
x
＋3
x
－1
∴
a
＝＝
2
x
＋32
x
＋3
＝
x
－1＋
7
.
2
x
＋3
又∵
a
，
x
均为整数，∴
2
x
＋3是7的约数，
∴2
x
＋3＝±1，±7，
x
＝－1，
∴
a
＝5
x
＝－2，
或
a
＝－10
x
＝2，
或
a
＝2
x
＝－5，
或
a
＝－7.
又∵
a
为正整数，∴
a
＝5或2.
4．阅读下列材料：
已知实数
m
，
n
满足(2
m
2
＋
n
2
＋1)(2
m
2
＋
n<
br>2
－1)＝80，试求2
m
2
＋
n
2
的值．
解：设2
m
2
＋
n
2
＝
t
，则原
方程变为(
t
＋1)(
t
－1)＝80，整理得
t
2
－1＝80，
t
2
＝81，∴
t
＝±9，因为2
m
2
＋
n
2
＞0，所以2
m
2
＋
n
2
＝9.
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方
法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新
字母代替(即换元)，则
能使复杂的问题简单化．
解决问题：
(1)已知实数
x
，
y满足(2
x
2
＋2
y
2
＋3)(2
x
2
＋2
y
2
－3)＝27，求
x
2
＋
y<
br>2
的值；
(2)若四个连续正整数的积为11880，求这四个连续正整数．
解
(1)令2
x
2
＋2
y
2
＝
t
，
则原方程变为(
t
＋3)(
t
－3)＝27，
整理得，
t
2
－9＝27，
t
2
＝36.
t
＝±6.
∵2
x
2
＋2
y
2
≥0，∴2
x
2
＋2
y
2
＝6，∴
x
2<
br>＋
y
2
＝3.
(2)设四个连续正整数为
k
－1，
k
，
k
＋1，
k
＋2(
k
≥2且
k
为整数)．
由题得(
k
－1)
k
(
k
＋1)(
k
＋2)＝11880，
∴(
k
－1)(
k＋2)
k
(
k
＋1)＝11880，
∴(
k
2
＋
k
－2)(
k
2
＋
k
)＝11880
.
令
t
＝
k
2
＋
k
，
则(<
br>t
－2)·
t
＝11880，
t
2
－2
t<
br>－11880＝0，
∴
t
1
＝110，
t
2
＝－108(舍去)， <
/p>
则
k
2
＋
k
＝110，得
k
1
＝10，
k
2
＝－11(舍去)．
综上，四个连续正整数为9,10,11,12.
5．阅读材料：
材料一：对实数
a
，
b
，定义
T
(
a
，
b
)的含义为：当
a
＜
b
时，
T
(
a
，<
br>b
)＝
a
＋
b
；
当
a
≥
b
时，
T
(
a
，
b
)＝
a
－
b
.
例如：
T
(1,3)＝1＋3＝4；
T
(2，－1
)＝2－(－1)＝3.
材料二：关于数学家高斯的故事：200多年前，高斯的算术老师提出了下面
的问题：1＋2＋3＋4＋…＋100＝？据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加
时，十
岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：(1＋100)＋(2＋99)＋…
＋(50＋51)＝
101×50＝5050.
也可以这样理解：令
S
＝1＋2＋3＋…＋100①，则
S
＝100＋99＋…＋3＋2
＋1②，①＋②得2
S
＝1＋10
0＋2＋99＋
100
3＋98＋…＋100＋1＝100×(1＋
个
100)＝10100，
即
S
＝
100×1＋100
＝5050.
2
解决问题：
(1)已知
x
＋
y
＝10，且x
＞
y
，求
T
(5，
x
)－
T
(5，
y
)的值；
(2)对于正数
m
，有
T
(
m
2
＋1，－1)＝3，
求
T
(1，
m
＋99)＋
T
(2，
m
＋99)＋
T
(3，
m＋99)＋…＋
T
(199，
m
＋99)的值．
解 (1)∵
x
＋
y
＝10，且
x
＞
y
，∴
x
＞5，
y
＜5.
∴
T
(5，
x
)－T
(5，
y
)＝(5＋
x
)－(5－
y
)＝<
br>x
＋
y
＝10.
(2)∵
m
2
＋1＞－1
，∴
m
2
＋1－(－1)＝3，
∵
m
＞0，∴
m
＝1，
∴
T
(1，m
＋99)＋
T
(2，
m
＋99)＋
T
(3，
m
＋99)＋…＋
T
(199，
m
＋99)
＝<
br>T
(1,100)＋
T
(2,100)＋
T
(3,100)＋
…＋
T
(199，100)
＝(1＋100)＋(2＋100)＋…＋(99＋10
0)＋(100－100)＋(101－100)＋…＋
(199－100)
＝(1＋2＋3＋…＋199)－100
＝
199×1＋199
－100＝19900－100＝19800.
2
6．(热点信息)在现今“互联网＋”的时代，密码与我们的生活已经紧密相
连，密不可分，
而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简
单方法产生一组容易记忆的密码就
很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的
密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多
项式：
x
3
＋
x
2
－4
x
－4
因式分解的结果为(
x
＋1)(
x
＋2)(
x
－2)，当
x
＝15时，
x
＋1＝16，
x
＋2＝17，< br>x
－2＝13，此时可以得到数字密码161713.
(1)根据上述方法，当
x
＝20，
y
＝17时，对于多项式
x
2
y
＋< br>x
2
＋
xy
＋
x
分解因
式后可以形成哪些数 字密码？(写出三个)
(2)若多项式
x
3
＋(
m
－3< br>n
)
x
2
－
nx
－21因式分解后，利用本题的方法 ，当
x
＝
27时可以得到其中一个密码为242834，求
m
，n
的值．
解 (1)
x
2
y
＋
x
2
＋
xy
＋
x
＝
x
(
xy
＋
x
＋
y
＋1)＝
x
(
x
＋1)(
y＋1)．
∴当
x
＝20，
y
＝17时，
x
＝ 20，
x
＋1＝21，
y
＋1＝18.
∴形成的数字密码可以是202118,211820,182021(其他结果合理即可)．
(2)由题意得，
x
3
＋(
m
－3
n
)
x
2
－
nx
－21＝(
x
－3)(
x
＋1 )(
x
＋7)，
∵(
x
－3)(
x
＋1)(x
＋7)＝
x
3
＋5
x
2
－17
x< br>－21，
∴
x
3
＋(
m
－3
n
)
x
2
－
nx
－21＝
x
3
＋5
x
2
－17
x
－21.
m
－3
n
＝5，
∴
n
＝17，
m
＝56，
解得
n
＝17.
∴
m
，
n
的值分别是56,17.
7．已知一个三位自然 数，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的和，
则称这个数为“和数”，若满足百位数字等于十位数 字与个位数字的平方差，则
称这个数为“谐数”．如果一个数既是“和数”，又是“谐数”，则称这个数 为
“和谐数”．例如321，∵3＝2＋1，∴321是“和数”，∵3＝2
2
－1< br>2
，∴321是
“谐数”，∴321是“和谐数”．
(1)证明：任意“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数；
(2)已知
a＝10
m
＋4
n
＋716(0≤
m
≤7,1≤
n
≤3，且
m
，
n
均为正整数)是一个
“和数”，请求出所 有
a
的值．
解 (1)证明：设“谐数”的百位数字为
x
，十位数 字为
y
，个位数字为
z
(1≤
x
≤9,0≤
y≤9,0≤
z
≤9且
y
＞
z
，
x
，< br>y
，
z
均为整数)，
由题意知
x
＝
y2
－
z
2
＝(
y
＋
z
)(
y
－
z
)，
∴
x
＋
y
＋
z
＝(
y
＋
z
)(
y
－
z
)＋
y
＋
z
＝(
y
＋
z
)(
y
－
z
＋1)．
∵
y
＋
z
，
y
－
z
的奇偶性相同，
∴
y
＋
z
，
y
－z
＋1必然一奇一偶．
∴(
y
＋
z
)(
y< br>－
z
＋1)必是偶数．
∴任意“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数．
(2)∵0≤
m
≤7，∴2≤
m
＋2≤9.
∵1≤
n
≤3，∴4≤4
n
≤12.∴10≤4
n
＋6≤18，
∴
a
＝10
m
＋4
n
＋716
＝7×100＋(
m
＋1)×10＋(4
n
＋6)
＝7×100＋(
m
＋2)×10＋(4
n
＋6－10)
＝7×100＋(
m
＋2)×10＋(4
n
－4)，
∵<
br>a
为“和数”，∴7＝
m
＋2＋4
n
－4，即
m＋4
n
＝9.
∵0≤
m
≤7,1≤
n
≤3，
且
m
，
n
均为正整数，
m
＝1，
∴
n
＝2
m
＝5，
或
n
＝1，
∴
a
的值为734或770.
8．如果一个正整数
m
能写
成
m
＝
a
2
－
b
2
(
a
，
b
均为正整数，且
a
≠
b
)，我们
b
称
这个数为“平方差数”，则
a
，
b
为
m
的一个平方差分解，
规定：
F
(
m
)＝.
a
a
＋
b
＝8，
例如：8＝8×1＝4×2，由8＝
a
－
b
＝(<
br>a
＋
b
)(
a
－
b
)，可得
a
－
b
＝1
22
或
a
＋
b
＝4，
a
－
b
＝2.<
br>
a
＝3，
因为
a
，
b
为正整数
，解得
b
＝1，
1
所以
F
(8)＝.
3
1111
或或.
1327
又例如：48＝13
2
－11
2
＝8
2
－4
2
＝7
2
－1
2
，所以
F
(48)＝
(1)判断：6________平方差数(填“是”或“不是”)，并求
F
(45)
的值；
(2)若
s
是一个三位数，
t
是一个两位数，
s<
br>＝100
x
＋5，
t
＝10
y
＋
x
(1≤
x
≤4,1≤
y
≤9，
x
，
y
是整
数)，且满足
s
＋
t
是11的倍数，求
F
(
t)的最大
值．
解 (1)不是
[解法提示] 根据题意，6＝2×3＝1×6
，由6＝
a
2
－
b
2
＝(
a
＋
b
)(
a
－
b
)可得，
a
＋
b<
br>＝3，
a
－
b
＝2
a
＋
b
＝6，
或
a
－
b<
br>＝1，
因为
a
，
b
为正整数，则可判断出6不是平方差数．
根据
题意，45＝3×15＝5×9＝1×45，由45＝
a
2
－
b
2<
br>＝(
a
＋
b
)(
a
－
b
)，
a
＋
b
＝15，
可得
a
－
b
＝3
a
＋
b
＝9，
或
a
－
b
＝5
a
＋
b
＝45，
或
a
－
b
＝1
.
∵
a
和
b
都为正整数，
a
＝9，
解得
b
＝6
a
＝7，
或
b
＝2
a
＝23，
或
b
＝22，
2222
∴
F
(45)＝或或.
3723
(2)根据题意，
s
＝100
x
＋5，
t
＝10
y
＋
x
，
∴
s
＋
t
＝100<
br>x
＋10
y
＋
x
＋5.
∵1≤
x
≤4,1≤
y
≤9，
x
，
y
是整数，
∴100≤
100
x
≤400,10≤10
y
≤90,6≤
x
＋5≤9
，
∴116≤
s
＋
t
≤499.
∵
s
＋
t
为11的倍数，
∴
s
＋
t
最小为11的11倍，最大为11的45倍．
∵
100
x
末位为0,10
y
末位为0，
x
＋5末位为6到9
之间的任意一个整数，
∴
s
＋
t
的末位是6到9之间的任意一个整数．
①当
x
＝1时，
x
＋5＝6，
∴11×16＝176，此时
x
＝1，
y
＝7，
∴
t
＝71.
根据题意，71＝71×1，由71＝
a
2
－
b
2
＝(
a
＋
b
)(
a
－
b
)，可得
a
＋
b
＝71，
<
br>
a
－
b
＝1，
a
＝36，<
br>解得
b
＝35，
35
∴
F
(
t
)＝.
36
②当
x
＝2时，
x
＋5＝7，
∴11×27＝297，此时
x
＝2，
y
＝9.
∴
t
＝92.
根据题意，92＝92×1＝46×2＝23×4，
由92＝
a
2
－
b
2
＝(
a
＋
b
)(
a
－
b
)，
a
＋
b<
br>＝92，
可得
a
－
b
＝1
<
br>a
＝24，
解得
b
＝22.
∴
F
(
t
)＝
a
＋
b
＝46，
或
a
－
b
＝2
a
＋
b
＝23，
或
a
－
b<
br>＝4.
11
.
12
③当
x
＝3时，
x
＋5＝8，
∴11×38＝418，此时
x
＝3，
y
没有符合题意的值，
∴11×28＝308，此时
x
＝3，
y
没有符合题意的值． ④当
x
＝4时，
x
＋5＝9，∴11×39＝429，此时
x<
br>＝4，
y
＝2.
∴
t
＝24.
根据题意，24＝
24×1＝12×2＝8×3＝6×4，由24＝
a
2
－
b
2
＝(
a
＋
b
)(
a
－
b
)，
a
＋
b
＝24，
可得
a
－<
br>b
＝1
a
＋
b
＝12，
或
a
－
b
＝2
a
＋<
br>b
＝8，
或
a
－
b
＝3
a
＋
b
＝6，
或
a<
br>－
b
＝4.
a
＝7，
解得
b
＝5
a
＝5，
或
b
＝1，
51
∴
F
(
t
)＝或.
75
11×49＝539不符合题意．
351151
综上，
F
(
t
)＝或或或.
361
275
∴
F
(
t
)的最大值为
35
.
3
6
9．(1)问题发现：如图1，在△
ABC
中，
AB
＝
A
C
，∠
BAC
＝60°，
D
为
BC
边
上一
点(不与点
B
，
C
重合)，将线段
AD
绕点
A逆时针旋转60°得到线段
AE
，连
接
EC
，则①∠
A
CE
的度数是________；②线段
AC
，
CD
，
CE
之间的数量关系是
________；
(2)拓展探究：如图2，在△<
br>ABC
中，
AB
＝
AC
，∠
BAC
＝90°
，
D
为
BC
边上一
点(不与点
B
，
C重合)，将线段
AD
绕点
A
逆时针旋转90°得到线段
AE，连接
EC
，
请写出∠
ACE
的度数及线段
AC
，
CD
，
CE
之间的数量关系，并说明理由；
(3)解决问题：
如图3，在四边形
ADBC
中，∠
ABC
＝∠
ACB
＝45
°，∠
BDC
＝
90°.若
BD
＝3，
CD
＝5，
请直接写出
AD
的长．
解 (1)①60°
②
AC
＝
CD
＋
CE
[解法提示]
由题意，得△
ABC
和△
ADE
均为等边三角形，
∴
AB
＝
AC
＝
BC
，
AD
＝
AE
，∠
BAC
＝∠
DAE
＝∠
B
＝60°.
∴∠
BAC
－∠
DAC
＝∠
DAE
－∠
DAC
，即∠
BAD
＝∠
CAE
.
∴△
BAD
≌△
CAE
(SAS)．
∴∠
ACE
＝∠
B
＝60°，
BD
＝
CE
.
∴AC
＝
BC
＝
CD
＋
BD
＝
CD＋
CE
.
(2)∠
ACE
＝45°，2
AC
＝
CD
＋
CE
.
理由：由题意，得∠
BAC
＝∠
DAE
＝90°，
AB
＝
AC
，
AD
＝<
br>AE
.
∴∠
BAC
－∠
DAC
＝∠
DAE
－∠
DAC
.即∠
BAD
＝∠
CAE
.
∴△
BAD
≌△
CAE
.
∴
BD
＝CE
，∠
ACE
＝∠
B
＝45°.
∴
BC<
br>＝
CD
＋
BD
＝
CD
＋
CE
. <
br>∵
BC
＝2
AC
，∴2
AC
＝
CD
＋
CE
.
(3)
AD
的长为2.
[解法提示] 过点<
br>A
作
AE
⊥
AD
交
DC
于点
E，则∠
DAB
＝∠
EAC
.
∵∠
BDC
＝90°，
∴∠
DBA
＋∠
ABC
＋∠
DCB
＝90°.
∴∠
DBA
＋45°＋(45°－∠
ECA
)＝90°.
∴∠
DBA
＝∠
ECA
.
又
AB
＝
AC
.
∴△
BAD
≌△
CAE
(ASA)．
∴
BD
＝
CE
，
AD
＝
AE
，
∴
CD
－
BD
＝
CD
－
CE
＝<
br>DE
，而
DE
＝2
AD
，
∴
CD
－
BD
＝2
AD
，
∴
AD
＝2.