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第二节 旋转体的概念和性质

一． 旋转体
定义：一条平面曲 线（包括直线）绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形
成的曲面叫旋转面。这线叫旋转轴。无论旋转到 什麽位置这条曲线叫旋转面的母
线。封闭的旋转面围成的几何体叫旋转体。旋转面的轴叫旋转体的轴。
二． 几种常见的旋转体
定义：矩形绕一边旋转一周所围成的几何体叫圆柱。
绕一直角边旋转一周所围成的几何体叫圆锥。
直角梯形绕垂直于底边的腰旋转一周所围成的几何体叫圆台
圆绕它的直径旋转一周所围成的几何体叫球。
O
1

A
1

V
O
1

A
1

注意：（1）垂直于轴的线段绕轴旋转一周形成圆面。
（2）与轴相交的直线绕轴旋转一周形成圆锥面。
（3）与轴平行的直线绕轴旋转一周形成圆柱面。
O A O A O A
（4）不平行也不相交的线段绕轴旋转一周形成圆台面。
折线旋转形成 上锥、下台

2．性质

底 面
的圆
轴 线 过底面圆心
且垂直底面
过顶点和底
圆 柱
平行且全等
圆 锥
圆 面
圆 台
相似的两
个圆面
过上下底过球心

球
面圆心垂直于底面圆心且垂直
面 底面
相交于一点 延长线交
于一点
心
大圆(过球心)
小圆(不过球
母 线 平行且相等
且垂直于底面
轴 截
面
全等的矩全等的等腰全等的等
腰梯
大圆
形,两边是母线,三角形
另两边是两底直
径

平行于
底面的截面
全等的圆与
底面相等
相似的圆
（比例关系）
圆 球心和截面
圆圆心连线垂直
截面
侧面展
开图
矩形 扇形 扇环

三、体中各元素间的关系
上述个体中各元素间的关系是通过三角形、矩形、梯形、 圆、扇形等来体现
的。这些关系是求体积、表面积及其它有关问题的有力依据。
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1．正n棱柱 （n3）
O1
B1


G1
A1

l
侧面展开图
h
h=l=
h


G
A
d
r
O
B
C


三个矩形：ABB1A1 ，AOO1A1 ，GOO1G1
两个直角三角形：RtΔO1A1G1 ≌RtΔOAG
1a
1d
a
2

rd
，
Sin
，
Cos

n2r
nr
4
22
2．正n棱锥





V
侧面展开图
h

l
h
E
d
A
Sin
四个直角三角形：
F
D
r
O C

B

a
；
Cos


d

n2r
nr
（1）RtΔVOA
l
2
h
2
r
2
（2）RtΔVOF
h

2
h
2
d
2

a
2
a
2
22
（3）RtΔVAF
lh


（4）RtΔOAF
rd

4
4
22
3．正n棱台
三个直角梯形：
(1)梯形OO1A1B
l
2
h
2
(rr

)
2

(2)梯形OO1E1E
h

2
h
2
(d d

)
2

d

B
O
1
C
1

A
a

D
E
h

h l
D
A a
O
d
E
C
r
B

(aa

)
2
(3)梯形EE1B1B
lh



4
22
两个相似三角形：RtΔOBE ∽ RtΔO1B1E1

a
a


dd

a
2
a
2
22
Sin
=
rd
；
r

 d


；；
Cos
=
n2r
2r

nrr

44
22

4．圆柱






O
1

r
B
l
A
侧面展开图
C
红色为轴截面

O

矩形OO1BA h=l
2πr
D
矩形ABCD AD=BC=2πr BD=
l
2
4

2
r
2

S圆柱侧=S矩ABCD=2πrl
BD是从B绕圆柱侧面一周到A的最短距离

5．圆锥： 一个三角形及一个扇形







h
O
P
A

θ
侧

面展

l
A
红色为轴
RtΔOPA中
l
2
h
2
r
2


2

r


扇形
PAA
中
AA

=C=2πr ；θ= ；
AA

=2lsin
l2
AA

为从A出发绕圆锥侧面一周再回到A的最短距离
1
S圆锥侧=S扇=πrl=cl
2

B r
6．圆台： 一个梯形及一个扇环。（可恢复成锥）

θ
O

r

A

B

B
侧面展开图
h l
A
2
红色为轴截面
O
r
直角梯形
OO

AA

中
lh
2
(rr

)
2


2

(rr

)


AABBr
ABAB
扇环中 =2π=C ；=2πr =C ；θ=
l
1
S圆 台侧=S扇环=π（r+
r

）l=（c+
c

）l 2
A

B
为从
A

绕圆台一周到A的最近距离 。
l
0
r

l
0
r

证明：∵

由比例性质

lrr

l
0
lr
∴
l
0


r

2

r

2

r

2

(rr

)< br>l
∴θ=


r
rr

l
0
l
l
rr

7．球： 两个直角三角形
RtΔABC中
r
2
=（R+d）（R-d）
AC
2
=2R（R+d）

AB
2
=2R（R-d）

AC
2
+
AB
2
=
BC
2
=4
R
2

RtΔAO
1
O中
R
2
=
r
2
+
d
2


四、表面积和体积公式
1． 球冠定义：球面被平面所截得的一部分叫做球冠，球冠也可以看 作
一段圆弧绕经过它的一个端点直径旋转所成的曲面。
S球冠 = 2πRh（舍）
2． 球缺定义：一个球被平面剪下的一部分叫做球缺。
1
V球缺 = πh
2
（3R-h）（舍）
3

h：球缺的高； R：球的半径。
1
（c+
c

）
h


2
c=
c


c

=0
正棱台侧面积公式 S正棱台侧 =
S正棱柱侧 = c
h

S正棱锥侧 =
圆台侧面积公式 S圆台侧 =
1
c
h


2
1
（c+
c

）l=π（R+r）l
2
c=
c

（r=R）
c

=0（r=0）
1
S圆柱侧 = cl = 2πRl S圆锥侧 = ch=πRl
2

1
h（s+
s

+
ss

）
3
s=
s


s

=0
台体的体积公式 V台 =
V柱 = sh V锥 =
1
πh（r
2
+
r

2
+r
r

）
3
r=
r


r

=0
1
sh
3
圆台的体积公式 V圆台 =
V圆柱 = πr
2
h V圆锥 =
1
πr
2
h
3
球冠表面积：S球冠 = 2πRh
h=2R
S球 = 4πR
2
141
球缺体积：V球缺 = πh
2
（3R-h）
h=2R
V球 = πR
3
= πd
3
336

五、球面距离
在 球面上两点之间的最短距离就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣
弧的长度，这个弧长叫两点间球面 距离。



P
O
Q
K
40°
B O
A
经度
纬度