于丹感悟人生-蝎子草

§1.1 简单旋转体

一、教学目标

1．知识与技能

（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。
（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。
（3）会用语言概述圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征。
（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。
2．过程与方法
（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征。
（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
3．情感、态度与价值观
（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生
的观察能 力。
（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。
二、教材分析
重点
：让学生感受大量空间实物及模型、概括出圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征。
难点
：圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征的概括。
三、教学方法
探析讨论法
四、教学过程
(一)、新课导入
在我们周围存在着 各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分.如果我们只考虑这些
物体的形状和大小，而不考虑其他因 素，那么由这些抽象出来的空间图形就称为空间几何体.
观察下面几个几何体，说说它们有何共同特征？

容易看出，组成几何体的每个面不都是平面图形。像这样的几何
体称为旋转体。这节课，我们就来学习简单的旋转体。
(二)、研探新知
1.旋转体
首先，我们来看旋转体的概念。
一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面
称为旋转面；封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体。绕之旋转的
定直线称为旋转体的轴，如图直线OO′。
2.简单的旋转体
A
(1)球
人类赖以生存的地球，天体中的月亮，太阳，
体育比赛中的足球、篮球等，都给我们球的形象。
O
那么，球的定义是什么呢?
半径
①定义
球心
以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转
所形成的曲面称为球面。球面所围成的几何体
B
称为球体，简称球。半圆的圆心称为球心。连接
球心和球面上任意一点的线段称为球的半径。
连接球面上两点且过球心的线段称为球的直径。
②表示
球用表示球心的字母表示，右图中球表示为球O。
③截面
O
用一个平面去截一个球，截面是圆面。
R d
球面被经过球心的平面截得的圆称为大圆；
被不经过球心的平面截得的圆称为小圆。
r
O'
设球的半径为R，截面圆半径为r，球心与截面圆
P
圆心的距离为d，则R、r、d的关系：

22
rRd

（2)圆柱
①定义
以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余各边旋转形成的曲面所 围成的几何体称为圆

柱。在圆柱的形成中，旋转轴称为圆柱的轴，在轴上这条边的长度称 为圆柱的高。垂直于轴
的边旋转而成的圆面称为圆柱的底面，平行于轴的边旋转而成的曲面称为圆柱的侧 面，平行
于轴的边在旋转中的任何位置称为圆柱侧面的母线.
②表示
圆柱用表示圆柱的轴的字母表示，
右图中圆柱表示为圆柱OO'。
③结构特征
A.底面是平行且半径相等的圆面；
B.侧面展开图是矩形；
C.母线平行且相等；
D.平行于底面的截面是与底面平行且半径相等的圆面；
E.轴截面是全等的矩形。
（3)圆锥
①定义
以直角三角形的一条直角边为旋转轴,其余两边旋转所
形成的曲面围成的几何体称为圆锥.旋转轴称为圆锥的轴,
在轴上这条边的长度称为圆锥的高。垂直于轴的边旋转而成
的曲面称为圆锥的底面。不垂直于轴的边旋转而成的曲面
称为圆锥的侧面。无论旋转到什么位置不垂直于轴的边
都称为圆锥的母线。
②表示
圆锥用表示它的轴的字母表示，右图中圆锥表示为圆锥SO。
③结构特征
A底面是圆面
B.侧面展开图是以母线长为半径的扇形
C.母线相交于顶点
D.平行于底面的截面是与底面平行且半径不相等的圆面
E..轴截面是全等的等腰三角形．
（4)圆台
①定义
以直角梯形的垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,其余各边旋 转而形成的曲面所围成
的几何体称为圆台.旋转轴叫做圆台的轴,在轴上这条边的长度称为圆台的高。垂 直于轴的边
旋转而成的曲面叫做圆台的底面。不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆台的侧面。无论旋< br>转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆台的母线。当然，圆台也可看作用一平行于圆锥底面
的平面 去截圆锥，底面与截面之间的部分。
②表示
圆台用表示它的轴的字母表示，右图中圆台表示为圆台OO'。
③结构特征
A.底面是平行且半径不相等的圆面；
B.侧面展开图是扇环；
C.母线延长后交于一点
D.平行于底面的截面是与底面平行且半径不相等的圆面
E.轴截面是全等的等腰梯形。

（三）典例精讲
题型一 球的概念
例1 下列说法正确的是( )
①球是以任意一条直线为旋转轴，将半 圆旋转所形成的几何体；②用任一平面去截球，
截面是一个圆；③过球的球心做球的截面，所得截面的半 径与球的半径相等．
A．①
B
．②
C
．③
D
．②③
点拨:利用球的概念解题．
答案与解析：C 根据球的概念，以半圆的直径所在的直线为旋转 轴，将半圆旋转所形成的曲
面叫做球面，球面所围成的几何体叫球，故①不对，用一个平面去截球，截面 是圆面，而不
是圆，故②不正确；由球的知识可知③正确．

规律技巧 掌握球的概念是解决此类问题的关键．
变式训练1 球的半径有________条，直径有____ ____条，用任意平面截球，截面为
________．答案: 无数 无数 圆面
题型二 圆柱、圆台与圆锥的概念
例2 下列叙述中正确的个数是( )
①以直角三角形的一边为 轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋
转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥 、圆台的底面都是圆；④用一个平面去截圆锥，
得到一个圆锥和一个圆台．
A
．0
B
．1
C
．2
D
．3
点拨 利用圆柱、圆锥、圆台的概念解题．
答案与解析：A 对于①，若以直角三角形的斜边为轴旋转一周
所得的几何体是两个同底的圆锥，故①不正确；对于②，若以
直角梯形中与底边不垂直的腰为轴旋转一周所得的旋转体是
一个圆台中挖去一个小圆锥和一个圆锥，如图所示，故②
不正确；由于圆柱、圆锥、圆台的底面是圆面而不是圆，故③
不正确；对于④，若平面与圆锥的底面不平行时，就得不到一个圆锥和圆台，故④也不正确．
规律技巧 掌握圆柱、圆锥、圆台的概念及特征是解决此类问题的关键．
变式训练2 下列说法正确的是( )
①圆台可以由任意一个梯形绕其一边旋转形成；②用任意一个与底面平行的 平面截圆
台，截面是圆面；③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线平行，圆锥的任意两条母线相交，圆台的任意两条母线延长后相交．

A
．①②
B
．②③
C
．①③
D
．②④
答案与解析：
D
①错，圆台是直角梯形绕其直角边或等腰梯形绕其底边的中线旋转形成的；
②正确；由母线的定 义知③错，④正确．所以应选
D
.

例3 一个直角梯形的上、下底边 的长分别为15和25，一腰与下底成60°角，以它的一条
直角腰为轴旋转一周得到一圆台，求圆台的 母线长．
点拨:直角梯形与底边不垂直的腰的长度即为圆台的母线长．
解 如图，ABCD为直角梯形，AD＝15，BC＝25，AB⊥BC，∠DCB＝60°.
过D作DE⊥BC交BC于E，
则CE＝CB－BE＝CB－AD＝10，
在
Rt
△DEC中，

CD＝
CE10
＝＝20，故圆台的母线长为20.
cos
60°1
2

规律技巧 (1)由圆台的生成规律，可知圆台的母线长即为直角梯形的非直角腰长．
(2)处理旋转体的有关问题，一般要作出轴截面，在轴截面中寻找各元素的关系．
变式训练3 已知一个圆台上、下两底面面积分别为
π
和4
π
，其轴 截面的面积为9，则该
圆台的高为________．
解析：由题可知，圆台上、下两圆的半径分别为1和2，又S
3.
轴截面
＝
2＋4h
＝9，得h＝
2
题型三 简单几何体的综合运用

例4已知ABCD为正方形，分别以AB，AC所在的直线为旋转轴， 将正方形绕旋转轴所在的直
线旋转一周，判断所形成的几何体的形状．
点拨 对于该题可从旋转的方法加以分析．
解析：以线段AB所在的直线为旋转轴，
将正方形ABCD绕旋转轴所在的直线旋转一周，
得到的几何体是以BC为底面半径，以AB为高的
圆柱体，如图①；以AC所在的直线为旋转 轴，将正方形ABCD绕轴所在的直线旋转一周得到
的几何体是两个圆锥，这两个圆锥共底面，如图②.
规律技巧 平面图形旋转时旋转轴不同旋转所得到的几何体也不同．
变式训练5.在直角三角形中，以其斜边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是( )
A．圆锥
B
．圆柱
C
．圆台
D
．以上都不对
①②

答案与解析：D 以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转所得的几何体为两个同底的圆锥．
（四）课时小结
球，圆柱，圆锥，圆台是简单的旋转体，它们是日常生活中常见的几何体。
（五）作业布置
预习：课本第4—5页§1.2简单多面体
提纲：多面体，棱柱、棱锥、棱台的定义各是什么 ？棱柱、棱锥、棱台如何表示，结构特征各
是什么？
五．课后练习与提高
1．下面几何体的截面一定是圆面的是( D )
A．圆柱 B．圆锥 C．圆台
2．下列说法正确的是( B )
A．圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成
B．圆柱的任意两条母线所在直线互相平行
C．用一平面截圆锥，截面与底面之间的部分为圆台
D．在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线
3．如图所示，观察下面四个几何体，其中判断正确的是( C )
D．球

A．①是圆台 B．②是圆台 C．③是圆锥 D．④是圆台
4．圆台的两底面半径分 别为2cm和5cm，母线长为310cm，则它的轴截面面积为
___63cm_____．
解析 圆台的高h＝
S
轴截面
＝
310
2
2
－5－2
2
＝9(
cm
)，
4＋10×9
2
＝63(
cm
)
2
六.教学反思