关于春节的儿童画-留学diy

专业 引领 共成长

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课程编号
课题
课型
日期

预习

旋转体
教学目标

1．掌握圆柱和圆锥的有关概念，理解祖暅原理和图形割补等思想方法；
2．会求柱体和锥体的表面积和体积．

教学重点

1．圆柱、圆锥的有关概念、表面积和体积的计算公式；
2．旋转体的有关几何问题．

教学安排

1
2
3
4
5
知识梳理
例题解析
巩固训练
师生总结
课后练习
版块 时长
10
60
30
20
30

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旋转体
知识梳理


1、旋转体的概念
（1）平面上一条封闭曲线所围成的区域绕着它所在 平面上的一条定直线旋转而形成的几何体叫做旋转体，
该定直线叫做旋转体的轴；
（2）圆柱 ：将矩形
ABCD
绕其一边
AB
所在直线旋转一周，所形成的的几何体叫做圆 柱；
AB
所在直线
叫做圆柱的轴；
线段
AD
和
BC
旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；
线段< br>CD
旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；
CD
叫做圆柱侧面的一条母线；
圆柱的两个底面间的距离（即
AB
的长度）叫做圆柱的高

【性质】根据圆柱的形成过程易知：
① 圆柱有无穷多条母线，且所有母线都与
轴平行；
② 圆柱有两个相互平行的底面.

（3）圆锥：将直角三角形
ABC
（及其内部）绕其一条直角边
AB
所在直线旋转一周，所形成的几何体叫
做圆锥；
AB
所在直线叫做圆锥的轴；点
A
叫做圆锥的顶点；
直角边
BC
旋转而成的圆面叫做圆锥的底面；
斜边
AC
旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面；
斜边
AC
叫做圆锥侧面的一条母线；
圆锥的顶点到底面间的距离叫做圆锥的高．
【性质】根据圆锥的形成过程易知：
① 圆锥有无穷多条母线，且所有母线相交
于圆锥的顶点；
② 每条母线与轴的夹角都相等.

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（4）球：将圆心为
O
的半圆绕其直径
AB
所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做球；半圆的圆弧所形
成的曲面叫做球面，把点O
称为球心，把原半圆的半径和直径分别称为球的半径和球的直径．
【补充】
① 球心到球面上任意点的距离都相等；
② 任意平面与球面的交线都是圆；当平面
通过球心时，所得交线是大圆；当平面
不通过球心时，所得交线是小圆.


2、侧面积、表面积和体积
圆柱，圆锥的侧面积：

S
圆 柱侧
=cl=2

rl
，其中
r
，
c
分别 为圆柱的底面半径、周长，
l
为母线长；

S
圆锥侧
=
1
cl=

rl
，其中
r
，
c
分别为圆锥的底面半径、周长，
l
为母线长.
2
圆柱、圆锥的体积

V
圆柱
=Sh=

rh
，其中
S
为底面积，
h
为高，
r
为底面半径；

V
圆锥
=Sh=

r
2
h
，其中
S
为底面积，
h
为高，
r
为底面半径。


2
1
3
1
3


例题解析
1、旋转体的概念
【例1】有下列命题:
①在圆柱的上､下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线；
②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
③过球面上任意两点和球心有且只有一个大圆；
④圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的.
其中正确的是( )
A
.①②；
B
.②③；
C
.①③；
D
.②④.



【例2】
下列命题中的真命题是（ ）
A
．
以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；
B
．
以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆柱；
C
．
圆柱、圆锥的底面都是圆；
D．圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径．

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【例3】用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是 （ ）

A
、圆锥
B
、圆柱
C
、球体
D
、以上都有可能


【巩固训练】
1．用一张长、宽分别为
8cm,12cm
的矩形纸张卷成一 个没有底面的圆柱筒，则圆柱的底面积
为 ．



2．轴截面是正方形的圆柱叫等边圆柱。若一个等边圆柱的轴截面面积为
P
，则它的底面积为 ．



3．如图所示的几何体是从一个圆 柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到
的，现用一个平面去截这个几何体 ，若这个平面垂直于圆柱底面所在的平面，那么所截得的图形可能是图
中的_______．








(1)
(2)
(3)
(4)
2、旋转体的侧面展开
【例4 】如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其轴截面是边长为2的正方形，P是BC中点，现
有一 只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点
P
处取得米粒 ，则
它所需经过的最短路程为 ．



D
C



【例5】如图，一竖立在水平对面上 的圆锥形物体的母线长为
4m
，一只小虫
从圆锥的底面圆上的点
P
出 发，绕圆锥表面爬行一周后回到点
P
处，则该小
虫爬行的最短路程为
43m< br>，则圆锥底面圆的半径等于（ ）



A
B
P

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A.
1m
B.
34
m
C.
m

23
D.
2m


【例6】已知顶点为
S
的圆锥的母线长为
60cm
，底面半径为
25cm
，
A,B
是底面圆周上的两点，
O
为底面
中心，且
AOB
3
< br>，求在圆锥侧面上由点
A
到点
B
的最短路线长．
5




【巩固训练】

1．圆锥底面半径为10，母线长为60，底面圆周上一点B沿侧面绕两周回到B点，求这个最短距离．


2．有一根长为
3

cm,底面半径为
1cm
的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕
2
圈，并使铁丝的两个端
点落在圆柱 的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少？





3．已知圆锥的底面半径
OA10cm
，母线
PA30cm
，由底面圆 周上一点
A
出发绕其侧面一周的最短路
线的长度是多少？最短路线上的点到底面的距离 最大是多少？

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3、旋转体的侧面积、表面积和全面积
【例 7】已知一圆锥的底面直径、高和一圆柱的底面直径与高均是
d
，那么圆锥的全面积与圆柱的全 面积
之比为




【例8】圆 锥的轴截面为正三角形，母线长为8，圆锥的内接圆柱的高为x，当内接圆柱的侧面积S最大时，
x的值 为 ．





【例9】 如图，已知圆锥底面半径
r20cm
，点
Q
为半圆弧
AC
的中点，点
P
为母线
SA
的中点，
PQ
与
SO S
所成的角为
arctan2
．求：
（1）圆锥的全面积；
（2）
P、Q
两点在圆锥侧面上的最短距离．







P
B
A
E
Q
C
O
【巩固训练】

1．若圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则该圆锥的侧面积为 ．





2．若圆锥的表面积为
a
m
2< br>，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面圆的半径是 ．




3．若圆锥侧面积为全面积的
A．



2
，则侧面展开图的圆心角为
3
（ ）
2

B．

C．
2

D．以上都不对
3

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4、旋转体的体积
【例10】⑴若一个圆柱的高扩大为原来的2倍，底面积扩大为原来的3倍，则体积扩大为原来的 倍；
⑴若一个圆锥的高不变，要使体积扩大为原来的5倍，则底面半径应扩大为原来的 倍．






【例11】甲乙两人分别利用一张长 20厘米，宽15厘米的纸，用两种不同的方法围成一个圆柱体（接头处
不重叠），那么围成的圆柱（ ）
A．体积相等 B．用20厘米作为高的体积大
C．用15厘米作为高的体积大 D．无法比较





【例12】如图，圆锥形封闭容器，高为
h
，圆锥内水面高为
h< br>1
，h
1

为
h
2
，求h
2
.







2
2
【例13】由曲线
x4y
，
x4y
，
x4
， < br>x4
围成图形绕
y
轴旋转一周所得为旋转体的体积为
h
,
若将圆锥倒置后，圆锥内水面高
3
V
1
，满足
x
2
y
2
16
，
x
2
(y2)
24
，
x
2
(y2)
2
4
的点
(x,y)
组成的图形绕
y
轴旋转一周所
得旋转体的体积为
V2
，则 （ ）
A、
V
1






12
V
2
B、
V
1
V
2
C、
V
1
V
2

V
1
2V
2

23
【巩固训练】

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1． 若一个圆柱的高是
H
，它的侧面展开图中母线与对角线的夹角是
60

，则此圆柱的体积为____．






2．圆锥母线长为l，侧面展开圆心角为240°，该圆锥的体积是( )
A．





3．设圆锥底面圆周上两点A、B间的距离为4，圆锥 顶点到 直线AB的距离为2
3
，AB和圆锥的轴的
距离为2，则该圆锥的体积为________．

4．把一 个圆柱切削成一个最大的圆锥，已已知削去部分的体积比圆锥体积大3.6立方分米，那么圆锥的体
积是 立方分米．
2245
810
π B．π C．π D．π
8181
8181





5、旋转体中的线面关系
【例14】如图，圆柱的轴截面
AB CD
是正方形，点
E
在底面圆周上，点
F
在
DE
上 ，且
AFDE
，若圆柱的底面积与
ABE
的面积之比等于
。
（⑴）求证：
AFBD
；
（⑴）求直线
DE
与平面
ABCD
所成角的正切值。

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【例15】圆锥SO的轴截面是等腰直角三角形，AB是⑴O的直径，Q是圆周上不同于A、B的点

，SO=h，求底面中心O到平面SQB的距离；
3

（2）若 二面角Q-SA-B等于，求SQ与轴截面SAB所成角的大小 .
3
（1）若⑴ AOQ=








【巩固训练】
1．如图所示，正四面体
ABCD
棱长为
a
，内接一个圆柱，使圆柱下底在底面
BCD
上,上底与底面
ABD
、
面
ABC
、面
ACD
相切。
（1）求侧面积最大时内接的圆柱侧面积；
（2）在用
B
1
C1
D
1
平面截下的正四面体内部作一个侧面积最大的内接的圆
柱，如此无 限继续，求所有内接的圆柱侧面积的和
M






2．如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，
计耗用9．6米铁丝．骨架将圆柱底面8等分．再用
S
平方米塑料片制
圆柱的侧面和 下底面（不安装上底面）．
（1）当圆柱底面半径
r
取何值时，
S
取得最大值？并求出该最大值（精
到0．01平方米）；
（2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点 为端点，安装一些霓虹灯．当灯笼底
半径为0．3米时，求图中两根直线型霓虹灯
A
1
B
3
,A
3
B
5
所在异面直线
成角的大小 （结果用反三角函数值表示）．







A
8
A
1
A
2
A
7
A
6
A
5
A
3
A
4
B
2
B
3
B
4
B
8
B
1
B
7
B
6
B
5
总
成
确
面
所

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圆锥与圆锥

图形


定义

有关线

轴
母线
底面
截面
轴截面


侧面及
展开图
直线
O'O


直线
SO



反思总结
A'A

圆
圆
全等的矩形
SA

圆
圆
全等的等腰三角形
有
关
面


S
侧
cl


2

rl

表面积
S
侧

2
1
cl


rl

2
S
全
2

rh2

r

体积
S
全


rl

r
2

其中
r、l
分别是底面半径和母线长
V
1
Sh

3
V

r
2
l

其中
h
为圆锥的高





课后练习
3
1．圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为
2

cm，半径为
2
cm，则该圆锥的体积为
cm
.

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2．将一个半圆面围成圆锥的侧面,则其任意两条母线间夹角的最大值为_________.





3．用一个半径为10厘米的半圆纸片卷成一个 最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒，如图，
则它的最高点到桌面的距离为 ．





4．一个圆柱与一个圆锥等底等高，如果高要使它们的体积相等，则圆锥的高要 ，或者把圆柱
的高 ；也可以把圆锥的底面积 ，或者把圆柱的底面积 ．






5．如图，要做一个圆锥形帐篷（不包括底面），底面直径6米，高4米，那么至少需要 平方米
的帆布.





6．如图，圆柱的轴 截面
ABCD
是正方形，点
E
在底面的圆周上，
AFDE
，
F
是垂足．
（1）求证：
AFDB
；
（2）如 果圆柱与三棱锥
DABE
的体积的比等于
3

，求直线
D E
与平
面
ABCD
所成的角．

专业 引领 共成长
7．如图，用半 径为
102
cm，面积为
1002

cm
2
的扇形 铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽
略不计）， 该容器最多盛水多少？（结果精确到0.1 cm
3
）








8．如图，已知点
P
在圆柱
OO
1
的底面圆O
上，
AB
为圆
O
的直径，圆柱
OO
1
的表面积为
24
，
OA2
，
AOP120
。
（1）求三棱锥
A
1
APB
的体积。
（2）求异面直线
A
1
B
与
OP
所成角的大小；
（结果用反三角函数值表示）


A
1
O
1
B
1
A

O
B
P