教养笔记-计划生育宣传工作

.
整数裂项



整数裂项基本公式
1
(1)
122334...(n1)n
(n1)n(n1)

3
1
(2)
123234345...(n2) (n1)n(n2)(n1)n(n1)

4


【例 1】
122334L4950
=_________
【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 这是整数的裂项。裂项思想是：瞻前顾后，相互抵消。
设
S
＝
122334L4950

1×2×3＝1×2×3
2×3×3＝2×3×（4－1）＝2×3×4－1×2×3
3×4×3＝3×4×（5－2）＝3×4×5－2×3×4……
49×50×3＝49×50×（51－48）=49×50×51－48×49×50
3< br>S
＝1×2×3＋2×3×3＋3×4×3＋…＋49×50×3＝49×50×51
S
＝49×50×51÷3＝41650
【答案】
41650


【巩固】
1223344556677889 910
________
【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 本题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对 于项数较多的情况显然
不能这样进行计算．对于项数较多的情况，可以进行如下变形：
11< br>n

n1

n2



n 1

n

n1

，
333
111< br>
1

1

所以原式
123

234123


L


91 0118910


333

3

3

1
91011330

3
另解：由于
n

n1

n
2
n
，所以
n< br>
n1


n

n1

n 2



n1

n

n1

原式
1
2
12
2
2L9
2
 9


11


1
2
22
L9
2



12L9

91019910
330

62
1
采用此种方法 也可以得到
1223Ln

n1

n
< br>n1

n2

这一结论．
3
【答案】
330


【例 2】
1447710L4952
=_________
【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 设
S
＝
1447710L4952

1×4×9＝1×4×7＋1×4×2
4×7×9＝4×7×（10－1）＝4×7×10－1×4×7
7×10×9＝7×10×（13－4）＝7×10×13－4×7×10
………….
整理可编辑

.
49×52×9＝49×52×（55－46）＝49×52×55－46×49×52
9
S
＝49×52×55＋1×4×2
S
=（49×52×55＋1×4×2）÷9＝15572
【答案】
15572


【例 3】
123234345L91011

【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算
11
【解析】
n

n1

n2

n

n1

n2

n3
< br>

n1

n

n1

n 2

，所以，
44
111

1

1< br>
原式
1234

23451234


L


910111289101 1


4

44

44

1< br>4
9101112
2970

从中还可以看出，
1 23234345Ln

n1


n2


1
4
n

n1
n2

n3


【答案】
2970


【例 4】 计算：
135357L171921
．
【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 可以进行整数裂项．

357
35791357
8
，

579
579113579
8
，

171921
1719212315171921
8
，
所以原式
135
35791357171 92123
8
L
15171921
8
135 
17192123135717192123
8

135
8
19503

也可适用公式．
原式

32

3

32


< br>52

5

52

L

192

19

192




3
2
2
2

3

5
2< br>2
2

5L

19
2
2
2

19



3
3
5
3< br>L19
3

4

35L19




1
3
3
3
5
3
L 19
3

4

135L19

3

而
1
3
3
3
5
3
L1 9
3


1
3
2
3
3
3L20
3



2
3
4
36
3
L20
3



1
420
2
21
2
8
1
4
10
2
11
2
19900
，
135L1910
2
100
，所以原式
199004100319503
．
【答案】
19503

整理可编辑


.

【巩固】 计算：
123434565678L979899100

【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 一般的整数裂项各项之间都是连续的，本题中各项之间是断开的，为此可以将中间缺少的项补 上，
再进行计算．
记原式为
A
，再设
B234545 676789L96979899
，
则
AB123 423453456L979899100

1
9798991001011901009880
，
5< br>现在知道
A
与
B
的和了，如果能再求出
A
与
B
的差，那么
A
、
B
的值就都可以求出来了．
AB1 2342345345645675678L979899 100

4(123345567...979899)

22 22
4


2(21)4(41)6(61)
L
98(981)



4(2
3
 4
3
6
3
L98
3
)4(246L98 )

11
4849
2
50
2
41 0049
48010200

42
所以，
A

190100988048010200

2974510040
．
【答案】
974510040


【例 5】
2004 2003200320022002200120012000L21

【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 原式
2003220012L3212

2

135L20012003


2

12003

10022

2008008

其中也可以直接根据公式
1357L

2n1

n
2
得出
135L200120031002
2

【答案】
2008008


【例 6】
11!22!33!L20082008!

【考点】整数裂项 【难度】4星 【题型】计算
【解析】 观察发现
22!221(31)213!2!
，
33!3321(41)3214!3!
，……
20082008!200820082007
L
21
， < br>(20091)20082007
L
212009!2008!可见，原式
1!(2!1!)(3!2!)L(2009!2008!)

2009!

【答案】
2009!


123456
L
99100


2345
L
9899
【考点】整数裂项 【难度】5星 【题型】计算
【例 7】 计算：
【解析】 设原式=
B

A
AB122334L989999100

1





123012< br>


234123


L
< br>
991001019899100



3< br>整理可编辑

.
1

99100101333300

3
BA1232L992501005000

B33330050003383


A33330050003283
3383
【答案】

3283

整理可编辑