党员党性分析材料-安徽省招生考试院

裂项与通项
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利 用公式的过程，可以分为
观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的 变形，或者先进行一部分
运算，使其变得更加简单明了。本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列 项与通项归纳是密不可分
的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
一、裂项综合
（1）、“裂差”型运算
将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前 后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整
数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个 或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的
观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之 间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂
的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样 的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的 分数，即
那么有
1
形式的，这里我们把较小的数写在前面，即
ab
，
ab
1111
()

abbaab
(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：
1
1
，形式的，我们有：
n(n1)(n2)(n3)
n(n1)(n2)
1111
[]

n(n1)(n 2)2n(n1)(n1)(n2)
1111
[]

n(n 1)(n2)(n3)3n(n1)(n2)(n1)(n2)(n3)
（ 2）裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x (x为任意自然数)的，但是只要将x
提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
a
2
b
2
a< br>2
b
2
ab
abab11
（1）

（2）


abababba
abababba
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，< br>同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
三、整数裂项
1
(1)
122334...(n1)n
(n1)n(n1)

3
1
(2)
123234345...(n2) (n1)n(n2)(n1)n(n1)

4
模块一、分数裂项
【例 1】 (美国长岛小学数学竞赛)

1-2-3.裂项与通项归纳.题库
1

11111

。
1223344556

111
【巩固】
......
101111125960
1111
【巩固】




13355799101

2222
【巩固】




109985443

11111
【巩固】

。
1

111

1



【巩固】 (2009年迎春杯初赛六年级)计算：
25



2325

133557

3245671
【巩固】 计算：


255771111161622222929
2551
【巩固】 (2008年台湾小学数学竞赛选拔赛初赛)




4 881212162000200420042008

11111
【例 2】 (第五届《小数报》数学竞赛初赛计算题第3题)计算：
123420

261220420

1111111
【巩固】 计算：



3195
111
【例 3】




123234789

111
【巩固】 计算：




1232 349899100
1111
【巩固】 计算：




135246357202224

4444
【巩固】
......
135357939597959799

9998971
【巩固】




12323434599100101

11111
【例 4】

1234234 53456678978910

333
【巩固】
......
1234234517181920

12349
【例 5】





2232342345234

10

5719
【巩固】 计算：



．
1232348910
123456
【巩固】
 
1212312341234512345612345 67

2
1-2-3.裂项与通项归纳.题库

【巩固】 计算：

2399

.
3!4!100!
【巩固】 (2009年迎春杯初赛五年级)计算：
1155
（

【巩固】 计算：

571719




）
234345891091011
34512




12452356346710111314
1111< br>【例 6】





11212 312

100

23450



【巩固】
1(12)(12 )(123)(123)(1234)(123

49)(1 23

50)

234100



【巩固】
1(12)(1 2)(123)(123)(1234)(12

99)(1 2

100)

2310
1


【巩固】
1
（
12
）
(12)(123)(123

9)(12 3

10)

111111
【例 7】 (仁华学校入学测试题)
2

2

2

2

2

2

.
31517191111131

35715
【巩固】 计算：
22

22

22



22< br>
12233478

3
2
15
2
17
2
11993
2
11995
2
1
【 巩固】 计算：
2

2

2



．
22
3151711993119951

1
2
2
2
3
2
50
2
【巩固】 计算：



．
13355799101

56677889910
【例 8】

56677889910

365791113
【巩固】


57612203042


【巩固】



3571220283042

3827
【巩固】



2330123124


3549637791105

31
【巩固】


6

12

20

30

42
< br>56

1
8


8






5791113151719
【巩固】 计算：
1

6122

1
2
2
2
2
2
3
2
18
2
19
2< br>19
2
20
2
【巩固】

122318191920
1-2-3.裂项与通项归纳.题库
3

11111
(......)
【巩固】
120072 2006n(2008n)2006220071
20071111
(... ...)

20081200622005n(2007n)20061
模块二、整数裂项
【例 9】
1223344950
=_________
14477104952
=_________ 【巩固】
1 223344556677889910
________ 【巩固】

12323434591011
【例 10】
20042003200320022002200120012000 21
【巩固】
11!22!33!20082008!
【巩固】

【例 11】 计算：
135357171921
．
模块三、通项归纳
11
1
31999
【例 12】
2





111111
1( 1)(1)(1)(1)

(1)
223231999

111
【巩固】 计算：
1


12123122007

1111
【巩固】





335357357

21

224466881010
【例 13】

13355779911

121231234123

50
【巩固】



22323423

50

1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
3
2
1
2
2
2
3
2
 4
2
1
2
2
2
26
2
【例 14】
3

3


3
112
3
1
3
2
3
3
3
1
3
2< br>3
3
3
4
3
12
3
26
3

1

1

1

11

1
【巩固】


222
21

31

991


1
2
2
2
2
2
3
2
2004
2
2005
2
2005
2
2006
2
【巩固】 计算：




12232004200520052006

12389
【巩固】
(1)(2)(3)(8)(9)

234910

2
2
3
2
99
2
【例 15】 计算：
2

2



2


2131991

1
2
2
2
99
2
【巩固】 计算：
2



2

．
110050002
2
20050009999005000

1-2-3.裂项与通项归纳.题库
4