除夕守岁-劳动合同书

百度文库 - 让每个人平等地提升自我

学生
教师
课题
文佳宇
林老师
学校
日期
岭南花园小学 年级
时段
六年级 科目
次数
数学
3
分数裂项求和
教学
重点：清楚掌握几种简单的裂项求和的方法及其解答过程。
重点
难点
难点：能判断所处题目的运用的形式，并用其对应的方法进行解答。





一、课前热身:
对裂项求和这个概念认识有多少？分数裂项求和呢？这 节课就让我们一起
来学习这个板块的内容。内容比上两节的难一些，所以需要学生认真点耐心
教
点的来跟着老师学。
学
步

骤
二、内容讲解：
及
教

学

分数裂项求和
内

容

分数裂项知识点属于计算大板块内容，其实分数 裂项很大程度
上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式
等过程。很多时 候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或
者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。 分数裂项是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项
归纳是密不可分的，所以先找通项是裂 项的前提，是能力的体现，
对学生要求较高。
将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆

11

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项计算称为裂 项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方
法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇 到裂项的计算
题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具
有的相同的关系 ，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一
般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项 的相似部分，
让它们消去才是最根本的。



实质：将一个分数裂项，分成几个分数的和与差的形式。
例


1
6
7


12
3211


3223
3411


3434
目的：将一串分数 中的每一个分数适当地裂项，出现一对一对可以抵消的数，
从而简化计算。
减法裂项：分母分成两数之积，分子为两数之差。
直接裂项
加法裂项：分母分成两数之积，分子为两数之和。


变形裂项：先变形为直接裂项。



【典型例题】
22

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例1 计算：

1

1

26
111


122030

观察：直接裂项
1

111
1111




62323
21212

1

1

1

1
.............
123434








1

20

1


1





（ ）-（ ）
1

30


（ ）-（ ）
解：原式 =

= 1-
11111


1223344556
1 11111111


223344556
1
= 1-
6
5
=
6





例2 计算：
1
5

6
79111 31517


2


观察：直接裂项
5

23

1

1

62323
73411


123434



33
9
45
11

...............
20
4545

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11

3 0


56



67






（ ）+（ ）

（ ）+（ ）
13

42



111
解：原式
1

（）（）（）（）（） （）（）
23344556677889


1
1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

23344556677889

1
1

9


8

9


例3.
222
2


……+
911
133557


变形裂项：


1111211
()



132231313

1

1
(
1

1
)

2

1

1

352353535
..............





1111111
（）（)()(
解：原式

133557
1
)

911
44

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
1

1

1

1

1

1

1

1

133


1

1

111


10

11



557911
例4
1

1

1

2
1111


48163264128
观察前一个数是后一个数的2倍，“补一退一”
111
解：原式
（
111111

）
2488128
11111111



（）
248
1111111



（）
248163232128
111111



（）
2481616128


1
2
1

2128


127

128











例5
11111


22222
21416181101
由
a
2

b
2
(ab)(ab)
知，可以将原式变形为：

55

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11111


13355779911
1111111



（
1

1
）（)()()< br>


1335579112
111111111

（）

1335579112
111

（）

1112


5

11
解：原式


牛刀小试：

【我能行】
1．








2．










1
1111
+

……+
2001200 2
2002
199619971997199819981999
11
11
+++……+
2558
8112629
分数裂项求和方法总结
（一） 用裂项法求
66
1
型分数求和
n(n1)

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分析：因为
n1n1
11

＝（n为自然数）
nn1
n(n1)n(n1)n(n1)
111


n(n1)nn1
所以有裂项公式：
【例1】 求

111
的和。
......
101111125960
111111
()()......()
1
11




1060
1

12



（二） 用裂项法求
1
型分数求和
n(nk)
分析：
1
型。（n,k均为自然数）
n(nk)
因为
1111nkn1
()[]

knnkkn(nk)n(nk)n(nk)
1111
()
所以
n(nk)knnk

11111

【例2】 计算
577991111131315

1111
()()()()()

257279295


[()()()()()]

2577991111131315


111
[]
2515

1

15


77

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（三） 用裂项法求
k
型分数求和
n(nk)
分析：

k
型（n,k均为自然数）
n(nk)
k
nkn
11

＝＝

nnk
n(nk)n(nk)
n(nk)
所以
k
11
＝


n(nk)
nnk
求【例3】

2222
的和
......
1335579799
1111111
(1)()()......()
335579799< br>1

1

99
98

99











（四）

用裂项法求
2k
型分数求和
n(nk)(n2k)
分析：

2k
（n,k均为自然数）
n(nk)(n2k)
88

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2k11

n(nk)(n2k)n(n k)(nk)(n2k)

【例4】 计算：
4444

 ......
135357939597959799
11111111
()()......()()
13353557939595 9795979799
11




139799
3200

9603






（五） 用裂项法求
1
型分数求和
n(nk)(n2k)(n3k)
分析：
1
（n,k均为自然数）
n(nk)(n2k)(n3k)

1111
()

n(nk)(n2k)(n3k)3kn(nk)(n2k)(nk)(n2k)(n 3k)
111
......
【例5】 计算：
1234234517181920

1111111[()()......()]
312323423434517 1819181920
111
[]
3123181920

1139
20520







99

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（六） 用裂项法求
分析：
3k
型分数求和
n(nk)(n2k)(n3k)
3k
（n,k均为自然数）
n(nk)(n2k)(n3k)
3k11


n(nk )(n2k)(n3k)n(nk)(n2k)(nk)(n2k)(n3k)
【例6】



计算：
333
< br>......
1234234517181920
11111 1
()()......()
12323423434517 1819181920
11




123181920
1139

6840













三、
作业布置
：


1、．
1






1010



32

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4．
33333




144771028313134
3、









1111


2612110

个 性 化 教 学 辅 导 教 案

1111

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一、学生评定
学生签字：
项目 内容





评
分
内容
休息时间是否合理
是否留作业并检查作业
听课中是否激发了学习兴趣
讲课是否与练习相结合
教师课堂是否精神饱满
形象是否得体大方
评分






教学时间保障 是否有效充分利用课堂时间
教学流程保障 教学是否计划性
教师个性教学 听课过程能否学会该学科学习方法
教学内容 教学内容是否有针对性
教师课堂教学 能否听懂老师讲课
教学语言是否准确
课
后
评
价
评分标准：每项满分为10分，十分满意10分，满意9分，
一般7— 8分，不满意6分，很不满意5分以下。共100分。
总分
二、教师评价

1、学生上次作业评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差

2、学生本次上课总体情况评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差

3.本堂课学生掌握知识点的情况：○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差


教师签字：




教师
留言




校长签字： 日期： 年 月 日

1212