中国专科学校排名-诺贝尔文学奖获奖作品

匚的作用
▼的作用
羊族和狼族发生了一场惊
天动地的大混战.战斗打得天 昏
地暗*同梭内部偶尔也会出 现口
和號杀- 战场上，▲和▼这 两种
武器被广迂使用，它们的 作用却
不相同.
第十一讲整数数列计算





在三年级的时候我们已经学习了有关等差数列的知识， 如等差数列2, 5,
8, 11, 14, 17, ? •在等差数列中，称每一个数为一个项，第一个数 2为首项， 最后一
个数称为末项，数列中所有数的个数称为项数，相邻两项差
差.
你们还记得等差数列的首项、末项、公差、项数以及数列和该怎么求吗?
第m项和第n项相差个公差（m> n）；
项数公式：
项数 末项首项 公差
1
;
3, 3称为公
m n
求和公式：
和 首项末项 项数
2
；
项数为奇数时有：
和 中间项 项数
.

在涉及到等差数列的整数数列计算中，我们常用到“分组配对”的思想•事 实上，
“分组配对”不仅在等差数列中用得到，在很多与数列计算相关的问题中 也能够发挥作用.
战场的某个肃落里*有这样 串争斗（顺序从左至右）.
例题1
这场争斗最后幸存卜来的是羊还足狼?

计算：
100
呢？
98 96 94 92 90 L 8 6 4 2
.
「分析」
算式中的符号是加减交替的，几个符号为一个周期？能不能由此找到计 算的捷径
练习1
计算：
100 99 98 97 96 95 L 2 1
.
例题2
计算：
50 49 48 47 46 45 44 43 L 4 3 2 1
.
「分析」
算式中的符号是加减交替的，几个符号为一个周期？能不能由此找到计 算的捷径
呢？最后一组是否包含 4、3、2、1这4个数呢？
练习2
计算：
95 93 91 89 87 85 83 81 L 7 5 3 1
.
除了等差数列，还有多种整数数列，其中，平方数列就是非常常见的一种.
乘法是加法的简便运算，例如我们可以把
6 6 6 6 6
简写为
6 5
.乘方 是乘法的简便运
算，例如我们可以把
6 6 6 6 6
简写为
6
5
，读作“ 6的5次方”.再 举几个例子：
10 1 0
可以
记为
10
2
，读作“10的2次方”或“10的平方”；10 10 10
可以记为
10
3
，读作“ 10的3
次方”或“ 10的立方”；
10 10 10 10
可以记为
10
4
， 读作“ 10的4次方”.对于字母代
表的数也有同样的表示方法，例如
a
2
a a
，
b
4
b b b b
等.
已知平方差公式：
a
2

b
2

a b a b
（把等式右边的乘法运算采用乘法 分配律拆开即可得等
式左边算式，大家可以试试）.
可以用如下一句话来解释平方差公式：两个数的平方差等于它们的和乘以差， 简记为
“平方差等于和乘差”.
例题3
已知平方差公式：『
b
2 a b a b

.
计算：（1 ）
666
2

334
2

;
（2）
50 1
2 2 2 2 2 2
50 1
；
18 17 16 15
L 2
2
2
(3)
20 19
1 .
「分析」对于20
2

19
2
我们可以写为
20 19
20
19 20 19
，是不是整个算式中的数

都可以这样转化呢？

练习3

计算：
1 1
2
1 0
2
9
2
8
2
7
2
6
2
5
2
4
2

3
2

2
2
1
2

.
本讲一开始的漫画中，幸存下来的是羊还是狼呢？故事中的 和 是我们新 定义的运算
符号，这类定义新运算的问题我们以前没有遇到过•在这类问题中， 新引入的运算符号代
表新的含义，而且在不同的题目中，符号代表的含义不一样.
例题4
规定运算“ @”为：
a@b a 1 b 2
.计算：
6@ 5@3
.
「分析」
算式中涉及到两次“ @”运算，那么应该先算哪一个呢？
练习4
规定运算 为：
a b 2 a b
，计算：(1) 6 5 4 ； (2) 6 5 4 .
例题5
计算
:123456789L 97 98 99
.
「分析」
算式中的符号是加减交替的，几个符号为一个周期？能不能由此找 到计算的
捷径呢？
例题6
计算：
100 99 99 98 98 97 97 96 L 4 3 3 2 2 1
.
「分析」算式是一加一减的形式，能不能把两对乘积分成一组？各组之间有什么关系呢？
课堂内外

平方和公式
计算平方数列求和，往往需要用到“平方和公式”：
1
2

2
2

3
2

L n
2

n n 1 2n 1 6
平方和公式的推导过程需要综合运用到等差数列和整数裂项的知识.
平方数列求和：
1 2
2 2 2 2
3 L n 121 231 341L nn11
=
1 2 2 3 3 4 L nn1 1 2 3 L n
其中，等差数列
1 2 3 L n n n 1 2 ； ...................................... ①
剩下的部分1 2 2 3 3 4 L n n1 1 2 3 L n则是最基本的整数裂项, 我们进行如下操作：
3 1 2 1 2 4 0 1 2
323234123
3 3 4 3 4 5 2 3 4
3nn1nn1 n2 n1nn1
相加，等号右边除了最大项与最小项外，中间的所有项都加减抵消了，因此就有:
3 1 2 2 3 3 4 L n n
n

1
=
n n
n 1
=
n
1
n 2

所以，
1 2 2 3 3 4 L
②减
2 2

n 1 n

2

3 ............
...........
②


①，得平方和公式：
3
2

L n
2
=
n n
1 2

1
1
1
n 2
n 2
2n 4
3 n n 1
3 1 2
2

=
n n

=
n n
=
n n 1 2n 1
6 3 6
6
作业
1. 计算： 99 97 95 93 91 89 L 3 1
2. 计算：（ 1）
55
2

45
2

；（ 2）
63
2

37
2
．

3. 计算： 100
2

99
2

98
2

97
2

96
2

95
2

L 2
2

1
2

4. 规定运算“ ?”为： a b a b+2 ．计算
5 4 2
5． 计算： 1+2 3 4 5 6 7 8 9 L 28 29 30 ．

第十一讲 整数数列计算
1.
例题
1
答案：
50
详解：原式共有
50
项，两个一组，共有
25
组，每一组都是
2
，所以这个算式的结果是
25 2 50
.
2.
例题
2
答案：
51

详解：
原式
(50
49 48 47) (46 45 44 43) L
(6 5 4 3) 2 1
，

3~50
共
48
个数，所以一共分了
12
组，原式
12 4 2 1 51
.
3.

例题
3

答案：(
1
)
332000
；(
2
)
2499
； (
3
)
210

详解：

(
1
)原式
(
666 334
)(
666-334) 332000
；


(
2
)原式
=50
2
1
2
2500 1
2499
；
(
3
)原式
20 19 20 19 18 17 18 17 L 2 1 2 1

20 19 18 17 L
2 1 210
.

4
8.
练习
2
答案：
96
简答：原式
(95 93 91 89) (87 85 83 81) L (7 5 3 1)
，
1~95
连续奇数共有
48
个，
4.
例题 答
案：
28
详解：先算括号里面的：
5@3 (5 1) (3 2)
6，
6@(5@3) 6@6 (6
1) (6 2) 28 .
5.
例题
5
答案：
1584
详解：
原式
(1 2 3) (4 5 6) L
(97 98 99)
0 3 6L 96 (3
例题
6
答
96) 32
1584
.
6.
案：
5000
详解： 原式
=(100 99
99 98) (98 97 97 96) (4 3 3 2) 2 1
99 2 97 2 L 3
(99 1) 50 2 5000
.
7.
练习
1
答
案：
50
简答：原式共有
100
项，两个一组，共有
50
组，每一组都是
1
，所以这个算式的结果是
501 50
.
共分了
12
组，原式
12 8 96
.
9.
练习
3
所以

答案：
66

简答： 原式

11 10 11 10 9 8 9
1 66


11 10 9 8 L 2

10.
练习
4

答案：
10
；
6



简答：

（
1
）
65

4
4

2 6 5 4
6 2 5 4

742
662

7 4 10
；
6 6 6
．
（
2
）
65

11.
作业
1

答案：
50
简答： 原式


= 99 97 95 93 L3
1
，从
1
至
99
，公差为
2
的等差数列共 有


99 1 21
50
项， 每两项为一组，共有
25
组，和
= 2 25 50
．

12.
作业
2
答案：
1000
；
2600

简答：（
1
）原式
= 55
45 55
（
2
）原式
= 63
37 63

45
37
100 10
1000
；


100 26
2600
．

13.
作业
3

答案：
5050
简答：平方差公式，原
式


=100

99 98

97 L

321

，和为
5050
．

14.
作业
4

答案：
52

简答：根据运算规定：
4 2 4

22

10
，
5

4 2 5 10 5

10 2

52
15.
作业
5

答案：
135



简答：三项为一组，共
10
组：
有
原式
= 1 2 3 4 5
67 89 L 28 29 30 03 6L 27
可以看成首项为
3
，末项为
27
，公差为
3
的等差数列，和为
3+27 9 2=135
．