2019-高思数学计算模块
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2019高思数学
计算模块
七大模块：计算、几何、应用题、数论、
计数、组合、数字谜
1
一、计算模块
（一）四则运算
1、交换律
2、结合律
3、分配律
注意：打开括号是否变号，变除为乘，拆某数构造公因数巧算。
（二）数列找规律
1、找规律，周期性问题等
2、一项一项地看，两项两项地看，奇数项和偶数项分开看，双重多重数列
3、通过归纳递推，注意一般和特殊情况
4、等差数列，等比数列，兔子数列斐波那契数列
（三）整数数列计算
1、等差数列
项数＝（末项－首项）÷公差＋1
和＝（首项＋末项）×项数÷2
项数为奇数：和＝中间项×项数。连续奇数：1，3，5，…天下无双，项数平方
2、多重等差数列，注意拆分
3、平方差公式：
4、平方和公式：
＝
（
）
5、立方和公式：
＝
（四）多位数巧算
1、凑整法：999…9=1000…000-1
2、叠数：245245=245×1001，321321321=321×1001001
3、提取公因数：33333=11111×3
（五）数表规律计算
1、数表就是一个行、列问题：行位置、列位置、对应数据
2、具有周期性和规律性，根据位置找数据，根据数据找位置
3、注意对应序号，奇偶性
（六）小数巧算
1、凑整法
2、充分使用四则运算定律
3、提取公因数，变形提取公因数
2
4、拆数、构造因数
（七）整数裂项
1、最后一项往后添加一项，最前一项往前添加一项
＋ ＋
＝
1×2+2×3＋3×4＋…+99×100＝（99×100×101－0×1×2）÷3
2、不是从1开始的，前面项补足，再相减
11×12+12×13＋13×14＋…+99×100＝（99×
100×101－10×11×12）÷3
3、公差为d（公差不为1）的整数相乘
1×3＋3×5＋5×7＋…+27×29＝（27×29×31－1×3×5）÷(3×2)＋1×3
4×7＋7×10＋10×13＋…+40×43＝（40×43×46－1×4×7）÷(3×3)
4、三项相乘，裂项为四项相乘，要除以4d
1×2×3＋2
×3×4＋3×4×5＋…+18×19×20＝(18×19×20×21－0×1×2×3)÷4
2×4×6＋4×6×8＋…+26×28×30=(26×28×30×32－0×2×4×6)÷（4×2）
(或者提公因数)＝2×2×2×(13×14×15×16－0×1×2×3)÷4
（八）分数基本计算
1、分数表示份数比例，三类分数：真分数、假分数、带分数
2、分数基本性质：分数的分子和分母同乘或除以相同的非零数，大小不变。
3、利用分数的
基本性质，可以进行约分和通分。约分的时候需要分解因数或者分
解质因数，通分的时候需要找公倍数。
4、分数加减法，先通分，再根据需要是否约分。分数乘除法，先用倒数变除为乘，
然后约分，
再分子分母分别相乘。
5、分数混合运算，先括号，再乘除，再加减。
6、定义新运算，符号与数字替换。
3
（九）解方程与方程组
1、方程：含有未知数的等式。
2、等式性质1：等式两边加减同一个数，结果仍相等。
3、等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个非零数，结果仍相等。
4、方程利用等
式的性质求解，注意移项后要改变符号。分数方程可以同乘以一个
数（或者式子）后去分母，化成整数方
程；或者通分后交叉相乘，再化整。
5、一元一次方程解法：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验。
（十）分数计算与比较大小
1、分数计算的一些技巧：分组计算，拆数分组计算。
2、比较分数大小的方法：通分，通分子，交叉相乘，基准数，糖水原理，化小数
计算：
答案：
（十一）分数与循环小数
1、循环节，纯循环小数，混循环小数，非循环小数
2、
纯循环小数化分数：分子＝循环节，分母＝若干个9，分母中9的个数为循环节
个数。需约分化简。
，
，
<
br>3、混循环小数化分数：分子＝小数部分的（循环节－非循环部分），分母＝（若干
个9＋若干个
0），分母中9的个数为循环节个数，分母中0的个数为非循环部分的数字
个数。需约分化简。
，
，
4、
分数化纯循环小数：想办法将分母变为9，99，999…形式（包括11，111，33，
333），
循环节＝分子部分（不足个数的前面用0补足）。
37×3＝111，111×9＝999，101×99＝9999
＝
5、分数化混循环小数：想办法将分母变为90，900,990…形式（包括110，11
10…），
小数部分＝（分子＋前面不循环部分），有多少个9就有多少位循环，有多少个0则小
数部分有多少位不循环（位数不足要补足）
110×9=990
4
6、一些常见的循环小数，常采用它们的周期性与数列结合，判断分子及位数。
（十二5.8）分数裂项
1、分数裂项是归纳递推结果，可以递推出一般的公式。
2、分数裂项包括两类：裂和，裂差
。裂项特征：分母通常为等差数列相乘，裂项
是为了前后抵消。
裂和：分子可以转化为两数和，裂差：分子可以转化为两数差。
必要的时候可以改变分子或者分母，重新构造出恰当的裂和与裂差形式。
裂差：
裂和：
3、裂项类型：连续裂项，部分裂项，拆分裂项
连续裂差：
如果分子为 ， 呢？
多项裂差：
整数裂项＝（末项后推1项－首项前推1项）÷裂项后连乘的个数
连续裂和：
拆分裂差：
拆分裂和：
5
4、分母为乘积形式或者标准序列2，6，12，20，30，42，56，72，90…，或
者它
们的倍数关系序列：1,3,6,10,15,21,28,36,45…，4,12,24,40
,60,84,112，144…，
3,15,35,63,99,143…（想办法变为标准序列）
5、找规律裂项：分母具备裂项特征，先试算，再找一般规律裂项
分组法
＝
（裂项法）
根据
原式＝
从特殊推导一般规律。
（十三）比较与估算（重做习题）
1、比较大小方法：化小数、通分、通分子、放缩法、拆分法、中间数、糖水等
2、估算乘积的整数部分大小
（1）化成分数，可以部分转化
估算33.333×33.333的整数部分，约等于1003×33.333=1111.1
（2）边界条件，极限思想
两个小数的整数部分分别是4和5，其乘积的整数部分有多少种可能？
（4×5）≤（4.a×5.b）<（5×6），20≤[整数部分]<30，共10种可能
6
（十四）计算综合一
1、等差数列，d为公差，通项公式：
2、等差数列求和：倒序相加，或者配对求和。和＝项数×（首项＋末项）÷2
3、等比数列：q为公比，通项公式：
4、等比数列求和Sn：错位相减。
5、一些常见技巧：整体约分（寻找公因式）、合理拆分（观察分母，拆成相同）
整体约分：
合理拆分：
合理拆分：
（十五）计算综合二
1、分小数混合运算，可以考虑提取公因数，或者变形提取公因数，分子分母同乘
以倍数化整
2、换元法：整体用符号替换
3、连分数方程：交叉相乘法，倒数法
求解方程：
＝
7
（十六）整数型计算综合
1、多位数计算
凑整、凑9。A=999…999（n个9）
999…999×不大于A的数，数字和＝9n
12345679×9=111111111
2、等差数列，等比数列
3、基本公式：平方差、平方和、立方和
4、整数裂项
5、计算思想：换元，分组，裂项，数论结合，构造思想
6、构造思想计算：从特殊推导一般规律，通常需要拆分并重新构造
＋
分析：多种解法，可以试算找规律后分组计算；还可以构造一般规律
表示项数）
原式＝
＋
分析：一般规律入手
n(n+1)=n×n＋n，分组计算
原式
但是奇数的平方和公式没有学过，那么换成偶数呢
原式＝
分组
（十七）分数型计算综合
1、凑整、分组、提取公因数、整体约分、连锁约分
2、计算过程中寻找规律
可以用平方差公式，也可以直接计算约分。
8
2、整体约分
＝
9
10