眉山职业-qqhd是什么意思

第十七讲 整数型计算综合提高



一、多位数计算

1．

凑整、凑
9
的思想；

与一个小于它的数相乘，积的数字和是
9
×
n
．

2．

数字和问题：
999
142
L
43
9


二、等差数列

n个9
1．

等差数列的“配对”思想；

2．

求和公式：

（1）

首项末项

项数2

；

．

（2）
中间项项数

3．

项数公式：

末项-首项

公差1
．



4．

第
n
项：
首项
< br>n1

公差
．


三、等比数列：

等比数列“错位相减”法求和，基本步骤是：

（
1
）设等比数列的和为
S
；

（
2
）等式两边同时乘以公比（或者公比的倒数）；

（
3
）两式对应的项相减，消去同样的项，求出结果；


四、基本公式

1．

平方差公式

a
2
b
2


ab

ab

．


2．

平方求和

1
2
 2
2
3
2
Ln
2

n

n1



2n1

6
2
．


3．

立方求和

1
3
2
3
3
3
Ln
3


12Ln


．


五、整数裂项

n

n1



n2

3
1．

122334Ln

n1


2．
< br>123234345Ln

n1



n2



；


n

n1



n2



n 3

4
．

经典题型

整数数列基本计算

一、
1．

公式型计算；

2．

平方差公式的应用；

3．

整数裂项：

基本裂项：例如
1
×
2
、
1
×
2
×
3
等；

（1）
高等裂项：与阶乘或其它数列相关的裂项．

（2）
计算技巧

二、
1．

换元思想；

2．

分组思想；

3．

裂项思想；

4．

数论思想在计算中的应用；



例1．
（1）
88888888
2
11111111
2
的计算结果是多少？
（ 2）
888
142
L
43
8333
142
L43
3
的计算结果的数字和是多少？
30个830个3
「分析」（1） 还记得平方差公式吗？（2）可以用凑整的思想计算出这个算式的结果，
再算数字和．

练习1、
999999999999999999
的计算结果的数字和是多少？


例2．
某书的页码是连续的自然数1、2、3、…、9、10、…；小 须把这些页码相加时，将其
中连续2个页码漏掉了，结果得到2013，那么这本书共有多少页？漏掉的 2页是多少？
「分析」首先可以估算一下这本书的大概页数是多少？确定页码总数的范围后再计算就变得简单一些了．

练习2、把从1开始的所有奇数进行分组，其中每一组的第一个数都 等于这一段中所有
数的个数，例如：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17，19， 21，23，25），（27，29，
LL
，79），（81，83，
LL
） ，那么第8组中所有数的和是多少？

对自然数
a
和
n
，规定
ana
n
a
n1
，例如
32 3
2
312
，那么：

例3．
（1）计算：
1222L302
；

（2）计算：
2122L210
．


「分析」首先理解题目定义的新运算规则，然后再计算，注意三角符号前后数字顺序．



练习
3
、对自然数
a
和
n
， 规定
ana
n
a
n1
，例如
333
3
3
2
36
，那么：算式：
1323L303
的结果是多少？




计算：
12+(1+2)4 +(1+2+3)6+(1+2+3+4)8+L+(1+2+L+20)40
．

例4．
「分析」试着计算几项，寻找一下规律．


1
3
1
3
2
3
1
3
2
3
33
1
3
2
3
3
3

L
 100
3

L

练习
4
、计算：
．

112123123
L
100



计算：
123456L99100
．

例5．
「分析」这是一道整数裂项的题目，分析一下如何进行拆分．




计算：
1!32!43!54!6L2009!2 0112010!20122011!20132012!

例6．
「分 析」关于阶乘的计算一定牢记：
n!

n1


n1

!
，本题是否有类似计算．

数学史上的一代王者——欧拉
莱昂哈德
·
欧拉（
Leonhard Euler
，
17 07
年
4
月
5
日～
1783
年
9
月
18
日）是瑞士
数学家和物理学家．他被一些数学史学者称为历史上最伟大的两位数 学家之一（另一位
是卡尔
·
弗里德里克
·
高斯）．欧拉是第一个使用 “函数”一词来描述包含各种参数的表
达式的人．他是把微积分应用于物理学的先驱者之一．

欧拉
1707
年
4
月
15
日出生于瑞士，在那里受 教育．他一生大部分时间在俄罗斯帝
国和普鲁士度过．欧拉是一位数学神童．他作为数学教授，先后任教 于圣彼得堡和柏林，
尔后再返圣彼得堡，柏林科学院的创始人之一．欧拉是有史以来最多遗产的数学家， 他
的全集共计
75
卷．他是刚体力学和流体力学的奠基者，弹性系统稳定性理论的开创
人．欧拉在固体力学方面的著述也很多，诸如弹性压杆失稳后的形状，上端悬挂重链的
振动问题 ，等等．欧拉实际上支配了
18
世纪的数学，对于当时的新发明微积分，他推
导出了很 多结果．在他生命的最后
7
年中，欧拉的双目完全失明，尽管如此，他还是以
惊人的速 度产出了生平一半的著作．

1733
年，丹尼尔吃够了神圣俄罗斯的苦头回自由的瑞 士去了，
26
岁的欧拉坐上了
科学院的第一把数学交椅．他感到自己以后的生活要固定 在圣彼得堡，便决定结婚，定
居下来，并随遇而安．夫人凯瑟琳娜
(Catharina)，是彼得大帝带回俄国的画家格塞尔的
女儿．后来政治形势变得更糟了，欧拉曾经绝望得想逃走，但 随着孩子一个接一个地很
快出生，他又感到被拴得越来越牢了，使到不休止的工作中去寻求慰藉．某些传 记作家
把欧拉的无比多产追溯到他这第一次旅居俄国的时期；平常的谨慎迫使他去成了勤奋工
作 的牢不可破的习惯．

欧拉是能在任何地方、任何条件下进行工作的几个伟大数学家之一．他很 喜欢孩子
（他自己曾有
13
个，但除了
5
个以外，都很年轻就死了） ．他写论文时常常把一个婴儿

抱在膝上，而较大的孩子都围着他玩．他写作最难的数学作品时 也令人难以置信的轻松．
许多关于他才思横溢的传说流传至今．有些无疑是夸张的，但据说欧拉确实常常 在
两次叫他吃晚饭的半小时左右的时间里赶出一篇数学论文．文章一写完，就放到给印刷
者准备 的不断增高的稿子堆儿上．当科学院的学报需要材料时，印刷者便从这堆儿顶上
拿走一打．这样一来，这 些文章的发表日期就常常与写作顺序颠倒．由于欧拉习惯于为
了搞透或扩展他已经做过的东西而对一个课 题反覆搞多次，这种恶果便显得更严重，以
至有时关于某课题的一系列文章发表顺序完全相反．

1730
年小沙皇死去，安娜．伊凡诺芙娜
(Annalvanovna
，彼 得的侄女
)
当了女皇．就
科学院而言，受到了关心，工作活跃多了．而俄国，在安娜的 宠臣欧内斯特的间接统治
下，遭受了其历史上一段最血腥的恐怖统治．
10
年里，欧拉 沉默地埋头工作．这中间，
他遭受了第一次巨大的不幸．他为了赢得巴黎奖金而投身于一个天文学问题， 那是几个
有影响的大数学家搞了几个月时间的，欧拉在三天之后把它解决了．可是过分的劳累使
他得了一场病，病中右眼失明了．

欧拉的离世也很特别：在朋友的派对中他中途退场去工作， 最后伏在书桌上安静的
去了．

欧拉的专著和论文多达
800
多种． 小行星欧拉
2002
是为了纪念欧拉而命名的．

作业
1.
333333333333
的计算结果的数字和是多少？


2.
甲、乙二人每天背单词，甲背单词的数量每天增加5个，乙背单词的数量每天增加1倍，已知第一天二人共背了33单词，第二天二人共背了40个单词，那么从第几天起乙
每天背的单 词要比甲多，从第几天起乙背过的单词数量要比甲多？


3.
计算：（ 1）
21
2
22
2
23
2
L40
2
；（2）
2
2
4
2
6
2
L42
2
；（3）
1
2
3
2
5
2
L 23
2
，
的结果？


4.
计算：
139238337436L391
．



5.
已知一个平方数加上143后还是一个平方数，请问两个平方数中较小的那个是多少？

第十七讲 整数型计算综合提高
例题：
例7．
答案：7777777622222223；270
详解：
（1）根据平方差公式可得：
88888888
2
111111112


8888888811111111


< br>8888888811111111

9999999977777777
77777777

1000000001

777777770 000000077777777
7777777622222223

（2）凑整可得：
888
142
L
43
8333
142
L
43
3888
142
L
43
83 3333
142
L
43
3
30个830个330个830个3296296
L
43
296295703
L
43
70 3704
1442
L
4
296
43
999
142
L
43
9296
142142
10个29630个99个2969 个703

数字和是270．

例8．
答案：这本书共有64或63页；漏掉的两页是33、34或1、2
详解：
12 3L642080
．所以共64页，差的两个页码的和是67，所以是33页
和34页．
123L632016
．所以也可以数63页，差的两个页码的和是3，所以是1页 和
2页．

答案：（
1
）
9920
；（
2
）
3069
例9．
详解：

（
1
）根据题目定义的新运算可得：


12L30 2

1
2
1



2
2< br>2

L

30
2
30



1
2
L30
2



1 L30

9920
；
（2）
2122L210< br>
2
1
2
0



2
2
2
1

L

2
10
2
9




2
1
2
2
L2< br>10



2
0
2
1
L2< br>9

2
11
22
10
13069
．

例10．
答案：46970
详解：
12+(1+2)4+(1+2+3)6+(1+2+3+4)8+
L
+(1+2+
L
+20)40
1223342021
= 246
L
40
2222
1
2
222
33
2
4
L
20
2
21

1
2


11

2
2


21

3
2


31


L
20
2


201



1
3
2
3

L
20
3< br>


1
2
2
2

L
 20
2

46970


例11．
答案：169150
详解：
123456
L
99 100


2
2
2



4
2
4



6
2
6


L


100
2
100



2
2
4
2

L
100
2



24
L
100

1717002 550
169150



例12．
答案：
1
详解：

1!32!43!54!6
L
2009 !20112010!20122011!20132012!
1!

12

2!

13

3!

14


L
2010!

12011

2011!

12012

2012!
1!2 !

2!3!



3!4!


L


2010!2011!



2 011!2012!

2012!
1

练习：


练习1、答案：81
简答：
原式11111111199111111111=12345679999999999

654321
结果数字和为81．


练习2、
答案：9563751
简答：找规律，发现每个括号的第一个数恰好是3的次方，即1，3， 9，27，81，
LL
，从
而第8组第1个数为2187，第9个组第1个数为656 1，即求
21872189LL6559
，等
差数列求和得

21876559

218729563751
．

练习3、
答案：225680
简答：
1323L3031
3
1
2
2
3
2
2
3
3< br>3
2
L30
3
30
2

1
2
2
2
3
2
L30
2
1
32
3
3
3
L30
3
225680
．


练习4、
答案：171700
简答：需要借助这样一个公式 ：
1
3
2
3
3
3
LLn
3


123LLn

，因此，
原式
2
 1(12)(123)L(123L100)(122334L100 101)2


1


1
2
22
L100
2

2

12L100
2100101201250502171700
．
6

作业
6.
答案：54
简答：
3333333333339
，数字和是54．

7.
答案：6；8
简答：设第一天两人分别背了a、b个单词，所以甲第n天背
a5( n1)
个单词，乙第n
天背
2
n1
b
个单词，由第一、 二天分别背了的单词数可分别列出方程
ab33
和
a52b40
， 可求得a和b分别为31和2，可知答案为6；8．

8.
答案：（1）19270；（2）13244；（3）2300

9.
答案：10660
简答：
原式1(401)2(402)L39 (4039)40(12L39)(1
2
2
2
L39
2
)

10660
．

10.
答案：1或5041
简答：设已知关系式为
a
2
143b2
，应用平方差公式有
(ba)(ba)143
，然后讨论
143 的约数知两数和与差分别为143与1，或13与11，所以可得答案为1或5041．