台湾签证办理流程-毛概试题

抽屉原理
知识框架
一、 知识点介绍
抽屉原理有时也被称为鸽笼 原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中
的问题，因此，也被称为狄利克雷 原则．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可
以解决很多有趣的问题，并且常常 能够起到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，
在利用抽屉原则后，能很快使问 题得到解决．
二、 抽屉原理的定义
（1）举例
桌上有十个苹果，要把这十个苹 果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放
两个，有的可以放五个，但最终我们 会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。
（2）定义
一般情况下，把n＋1 或多于n＋1个苹果放到n个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹
果。我们称这种现象为抽 屉原理。
三、 抽屉原理的解题方案
（一）、利用公式进行解题
苹果÷抽屉＝商……余数
余数：（1）余数＝1， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里
（2）余数＝
x

1x

n1


， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里
（3）余数＝0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里
（二）、利用最值原理解题
将题目中没有阐明的 量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”
方法、特殊值方法．



例题精讲
一、直接用公式进行解题
（1）求结论
【例 1】
6
只鸽子要飞进
5
个笼子，每个笼子里都必须有1
只，一定有一个笼子里有
2
只鸽子．对吗？
【考点】抽屉原理 【难度】1星 【题型】解答
【解析】
6
只鸽子要飞进< br>5
个笼子，如果每个笼子装
1
只，这样还剩下
1
只鸽子．这只 鸽子可以任意飞进其
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中的一个笼子，这样至少有一个 笼子里有
2
只鸽子．所以这句话是正确的．
利用刚刚学习过的抽屉原理来解释这个问 题，把鸽笼看作“抽屉”，把鸽子看作“苹果”，
6511
，
112
（只）把
6
个苹果放到
5
个抽屉中，每个抽屉中都要有
1
个苹果，那么肯
定有一个抽屉中有两个苹果，也就是一定有一个笼子里有
2
只鸽子．
【答案】对

【巩固】 教室里有5名学生正在做作业，现在只有数学、英语、语文、地理四科作业 试说明：这5名学
生中，至少有两个人在做同一科作业．
【考点】抽屉原理 【难度】1星 【题型】解答
【解析】 略．
【答案】将5名学生看作5个苹果 将数学、英语、语文、地理作业各看成一个抽屉，共4个抽屉 由抽屉
原理，一定存在一个抽屉，在这个抽屉里至少有2个苹果．即至少有两名学生在做同一科的作业

【例 2】 向阳小学有730个学生，问：至少有几个学生的生日是同一天？
【考点】抽屉原理 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 略．
【答案】一年最多有366天，可看做366个抽屉，730个学生看做73 0个苹果．因为
7303661
所以，至少有1＋1＝2（个）学生的生日是同一天

【巩固】 人的头发平均有12万根，如果最多不超过20万根，那么13亿中国人中至少有 人的头发的
根数相同。
364
，

图8
【考点】抽屉原理 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】2009年，第7届，希望杯，4年级，1试
【解析】 这是一道抽屉原理的题目 ，所以要先分清楚什么是抽屉，什么是苹果。此题中的抽屉是人的头发：
有20万个，中国的人数是苹果 ：13亿人，所以至少应有：
13000000002000006500
（人）。
【答案】
650
人
【例 3】 四个连续的自然数分别被
3
除后，必有两个余数相同，请说明理由．
【考点】抽屉原理 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 略．
【答案】想一想，不同的自然数被
3
除的余数有几类？在这 道题中，把什么当作抽屉呢？
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把这四个连续的自然 数分别除以
3
，其余数不外乎是
0
，
1
，
2
，把这
3
个不同的余数当作
3
个“抽
屉”，把这
4
个连续的自然数按照被
3
除的余数，分别放入对应的
3
个“抽屉”中，根据 抽屉原理，
至少有两个自然数在同一个抽屉里，也就是说，至少有两个自然数除以
3
的 余数相同

【巩固】 在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被
3
整除？
【考点】抽屉原理 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 略．
【答案】因为任何整数除以
3
，其余数只可能是
0
，
1
，
2
三种情形．我们将余数的这三种情形看成是三个
“ 抽屉”．一个整数除以
3
的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个“抽屉”里．将四个自然数 放入
三个抽屉，至少有一个抽屉里放了不止一个数，也就是说至少有两个数除以
3
的余 数相同（需要对
学生利用余数性质进行解释：为什么余数相同，则差就能被整除）．这两个数的差必能被
3
整除

（2）求抽屉
【例 4】 把十只小兔放进至多几个笼子里，才能保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔？
【考点】抽屉原理 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 要想保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔，把小兔子当作“物品”，把“笼子”当作 “抽屉”，
根据抽屉原理，要把
10
只小兔放进
1019
个笼里 ，才能保证至少有一个笼里有两只或两只以上
的小兔．
【答案】
9


【巩固】 袋中有外形安全一样的红、黄、蓝三种颜色的小球各10个，每个小朋友只能从中 摸出1个小球，
至少有______个小朋友摸球，才能保证一定有两个人摸的球颜色一样．
【考点】抽屉原理 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】2007年，第5届，走美杯，3年级，初赛
【解析】 本题属于抽屉原理中构造 抽屉解决问题，每个小朋友从中摸一个小球，小球的颜色可能为红、黄、
蓝三种情况，故为三个抽屉，若 想保证一定有两个人摸的球颜色一样，必须有

21

314
（个）
小朋友。
【答案】
4


【例 5】 把125本书分给五⑵班的学生，如果其中至少有一个人分到至少4本书，那么，这个班最多有
多少人？
【考点】抽屉原理 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 本题需要求抽屉的数量，需要反用抽屉原理和最“坏”情况的结合，最坏的情况是只有1个人 分到
4本书，而其他同学都只分到3本书，则

1254

3 401
，因此这个班最多有：
40141
(人)(处
理余数很关键，如果 有42人则不能保证至少有一个人分到4本书)．
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【答案】
41


【巩固】 某次选拔考试，共有1 123名同学参加，小明说：“至少有10名同学来自同一个学校．”如果他的
说法是正确的，那么最多 有多少个学校参加了这次入学考试？
【考点】抽屉原理 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 本题需要求抽屉的数量，反用抽屉原理和最“坏”情况的结合，最坏的情况是 只有10个同学来自
同一个学校，而其他学校都只有9名同学参加，则

11231 0

91236
，因此最多有：
如果有125个学校则不能保证至少有1 0名同学来自同一个
1231124
个学校(处理余数很关键，
学校)
【答案】
124


（3）求苹果
【例 6】 班上有
50
名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到
不少于两本书？
【考点】抽屉原理 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 把
50
名小朋友当作
50
个“抽屉”，书 作为物品．把书放在
50
个抽屉中，要想保证至少有一个抽屉
中有两本书，根据抽屉原 理，书的数目必须大于
50
，而大于
50
的最小整数是
5015 1
，所以至
少要拿
51
本书．
【答案】
51
本书

【巩固】 班上有
28
名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才 能保证至少有一个小朋友能得到
不少于两本书？
【考点】抽屉原理 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 老师至少拿
29
本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书．
【答案】
29
本书

【例 7】 一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：基础分10分，每道题答对得3分，答错扣 1分，
不答不得分。问：要保证至少有4人得分相同，至少需要多少人参加竞赛？
【考点】抽屉原理 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 由题目条件这次数学竞赛的得分可以从10-10=0分到10+3×10=40分，但注意 到39、38、35这3
个分数是不可能得到的，要保证至少有4人得分相同，至少需要3×（41-3 ）+1=115人.
【答案】115人

【巩固】 一次测验共有10道问答题， 每题的评分标准是：回答完全正确，得5分；回答不完全正确，得
3分，回答完全错误或不回答，得0分 ．至少____人参加这次测验，才能保证至少有3人得得分
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相同．
【考点】抽屉原理 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】（第十届《小数报》数学竞赛决赛）
【解析】 根据评分标准可知 ，最高得分为50分，最低得分为0分，在0～50分之间，1分，2分，4分，7
分，47分，49分 不可能出现．共有
51645
（种）不同得分．根据抽屉原理，至少有
452 191
（人）参赛，才能保证至少有3人得分相同．
【答案】3


二、构造抽屉
【例 8】 学校里买来数学、英语两类课外读物若干本，规定每位同学可以借 阅其中两本，现有
4
位小朋
友前来借阅，每人都借了
2
本．请问，你 能保证，他们之中至少有两人借阅的图书属于同一种
吗？
【考点】抽屉原理 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 略．
【答案】每个小朋友 都借
2
本有三种可能：数数，英英，数英．第
4
个小朋友无论借什么书，都可 能是这
三种情况中的一种，这样就有两个同学借的是同一类书，所以可以保证，至少有
2
位小朋友，他
们所借阅的两本书属于同类．
总结：此题如用简单乘法原理的话，有难度，因 为涉及到简单加法原理，所以推荐使用列表法。
与之前不同的是，本题借阅的书只说了两本并没说其他要 求，所以可以拿
2
本同样的书

【巩固】 11名学生到老师家借书，老师 的书房中有文学、科技、天文、历史四类书，每名学生最多可借
两本不同类的书，最少借一本．试说明： 必有两个学生所借的书的类型相同
【考点】抽屉原理 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 略．
【答案】设不同的类型书为Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四种，若学生只借 一本书，则不同的类型有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四
种；若学生借两本不同类型的书，则不同的类型有AB、AC 、AD、BC、BD、CD六种．共有10
种类型，把这10种类型看作10个“抽屉”，把11个学生 看作11个“苹果”．如果谁借哪种类型的
书，就进入哪个抽屉，由抽屉原理，至少有两个学生，他们所 借的书的类型相同

【例 9】 红、蓝两种颜色将一个
25
方格图中的 小方格随意涂色（见下图），每个小方格涂一种颜色．是
否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同 ？
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第
一
列
第一行
第二行
第
二
列
第
三
列
第
四
列< br>第
五
列

【考点】抽屉原理 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 用红、蓝两种颜色给每列中两个小方格随意涂色，只有下面四种情形：
红
红
红
蓝
蓝
红
蓝
蓝

将 上面的四种情形看成四个“抽屉”，把五列方格看成五个“苹果”，根据抽屉原理，将五个苹果放
入四个 抽屉，至少有一个抽屉中有不少于两个苹果，也就是至少有一种情形占据两列方格，即这
两列的小方格中 涂的颜色完全相同．
【答案】是

【巩固】 将每一个小方格涂上红色、黄色或蓝 色．（每一列的三小格涂的颜色不相同），不论如何涂色，其
中至少有两列，它们的涂色方式相同，你同 意吗？

【考点】抽屉原理 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 这道题是例题的拓展提高，通过列举我们发现给这些方格涂色，要使每列的颜 色不同，最多有
6
种不同的涂法，
红
蓝
黄
红
黄< br>蓝
蓝
红
黄
蓝
黄
红
黄
红
蓝< br>黄
蓝
红

涂到第六列以后，就会跟前面的重复．所以不论如何涂色，其中至少有两列它们的涂色方式相同．
【答案】同意

三、最不利原则
【例 10】 有一个布袋中有40个相 同的小球，其中编上号码1、2、3、4的各有10个，问：一次至少要取
出多少个小球，才能保证其中 至少有3个小球的号码相同？
【考点】抽屉原理 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 将1、2、3、4四种号码看作4个抽屉，要保证一个抽屉中至少有3个苹果 ，最“坏”的情况是每
个抽屉里有2个“苹果”，共有：
428
(个)，再取1个 就能满足要求，所以一次至少要取出9个
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小球，才能保证其中至少有3个小球的号码相同．
【答案】9个小球

【巩固】 有一个布袋中有5种不同颜色的球，每种都有20个，问：一次至少要取出多少个 小球，才能保
证其中至少有3个小球的颜色相同？
【考点】抽屉原理 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 5种颜色看作5个抽屉，要保证一个抽屉中至少有3个苹果，最“坏”的情况是每个抽屉里有2 个
“苹 果”，共有：
5210
个，再取1个就能满足要求，所以一次至少要取出11个小球，才能 保
证其中至少有3个小球的颜色相同
【答案】11个小球

课堂检测
【随练1】 在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是
3
的倍数？
【考点】抽屉原理 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 略．
【答案】至多有两个数在同一个抽屉里，那么每个抽屉里都有数，在每个抽屉 里各取一个数，这三个数被
3
除的余数分别为
0
，
1
，2
．因此这三个数之和能被
3
整除．综上所述，在任意的五个自然数中，
其中必有三个数的和是
3
的倍数


【随练2】 100个苹果最多分给多少个学生，能保证至少有一个学生所拥有的苹果数不少于12个.
【考点】抽屉原理 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 从不利的方向考虑：当分苹果的学生多余某一个数时，有可能使每个学生分得的学生少于12 个，
求这个数. 100个按每个学生分苹果不多于11个（即少于12个）苹果，最少也要分10人（ 9人
11个苹果，还有一人一个苹果），否则9×11＜100，所以只要分苹果的学生不多余9人就能 使保
证至少有一个学生所拥有的苹果数不少于12个（即多于11个）.
【答案】
9


【随练3】 红、黄、白三种颜色的小球各
10
个，混合放在一个布袋中，一次至少摸出 个，才能保
证有
5
个小球是同色的？
【考点】抽屉原理 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】2008年，第八届，春蕾杯，小学数学邀请赛，初赛
【解析】 根据最不利原则，至少需要摸出
43113
（个）．
【答案】
13
个
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家庭作业
【作业1】 年级一班学雷锋小组有
13
人．教数 学的张老师说：“你们这个小组至少有
2
个人在同一月过生日．”
你知道张老师为什么 这样说吗？
【考点】抽屉原理 【难度】1星 【题型】解答
【解析】 略．
【总结】题目中并没有说明什么是“抽屉”，什么是“物品” ，解题的关键是制造“抽屉”，确定假设的“物品”，
根据“抽屉少，物品多”转化为抽屉原理来解．
【答案】从题目可以看出，这道题显然与月份有关．我们知道，一年有
12
个月，把这
12
个月看成
12
个抽
屉，这道题就相当于把
13
个苹果放入
12
个抽屉中．根据抽屉原理，至少有一个抽屉放了两个苹
果．因此至少有 两个同学在同一个月过生日．

【作业2】 试说明400人中至少有两个人的生日相同.
【考点】抽屉原理 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 略.
【答案】将一年中的366天或
365
天视为366个或< br>365
个抽屉，400个人看作400个苹果，从最极端的情况
考虑，即每个抽屉都放一 个苹果，还有
35
个或
34
个苹果必然要放到有一个苹果的抽屉里，所以至少有一个抽屉有至少两个苹果，即至少有两人的生日相同

【作业3】 任给11个数，其中必有6个数，它们的和是6的倍数．
【考点】抽屉原理 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 略．
【答案】设这11个 数为
a
1
，
a
2
，
a
3
，……，
a
11
，由5个数的结论可知，在
a
1
，
a
2
，
a
3
，
a
4
，
a
5
中必有
3个数，其和为3的倍数，不妨设
a
1
a
2
a
3
3k
1
；在
a
4
，
a
5，
a
6
，
a
7
，
a
8
中必有 3个数，其
和为3的倍数，不妨设
a
4
a
5
a
6
3k
2
；在
a
7
，
a
8
，< br>a
9
，
a
10
，
a
11
中必有3个 数，其和为3的倍
数，不妨设
a
7
a
8
a
9< br>3k
3
．又在
k
1
，
k
2
，k
3
中必有两个数的奇偶性相同，不妨设
k
1
，
k2
的奇
偶性相同，那么
3k
1
3k
2
是6的 倍数，即
a
1
，
a
2
，
a
3
，< br>a
4
，
a
5
，
a
6
的和是6的倍数

【作业4】 有
10
只鸽笼，为保证至少有
1
只鸽笼中住 有
2
只或
2
只以上的鸽子．请问：至少需要有几只鸽子？
【考点】抽屉原理 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 有
10
只鸽笼，每个笼子住
1
只鸽子，一共就是
10
只．要保证至少有
1
只鸽笼中住有
2
只或
2
只 以
上的鸽子．那么至少需要
11
只鸽子，这多出的
1
只鸽子会住在这
10
个任意一个笼子里．这样就有
1
个笼子里住着
2
只鸽子 ．所以至少需要
11
只鸽子．
【答案】
11
只鸽子

【作业5】 海天小学五年级学生身高的厘米数都是整数，并且在
140
厘米到
150
厘米之间（包括
140
厘米到
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，那么，至少从多少个学生中保证能找到
4
个人的身高相同？
150
厘米）
【考点】抽屉原理 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 陷阱：以前的题基本全是
2
个人的，而这里出现
4
个人，那么，就“从倍数关系选”。认真思考，
此题中应把什么看作抽屉？有几个抽屉？ 在
140
厘米至
150
厘米之间（包括
140
厘米到< br>150
厘米）共有
11
个整厘米数，把这
11
个整厘米数看< br>作
11
个抽屉，每个抽屉中放
3
个整厘米数，就要
113 33
个整厘米数，如果再取出一个整厘米数，
放入相应的抽屉中，那么这个抽屉中便有
4
个整厘米数，也就是至少找出
33134
个学生，才能
找到
4
个人的身高相同．
【答案】
34
个学生

【作业6】 篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有若干个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，
那么至少有 多少个小朋友才能保证有两个小朋友拿的水果是相同的？
【考点】抽屉原理 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 首先应弄清不同的水果搭配有多少种 ．两个水果是相同的有4种，两个水果不同有6种：苹果和
梨、苹果和桃、苹果和桔子、梨和桃、梨和桔 子、桃和桔子．所以不同的水果搭配共有
4610
（种）．将这10种搭配作为10个“抽 屉”．由抽屉原理知至少需
11
个小朋友才能保证有两个小朋
友拿的水果是相同的
【答案】至少需
11
个小朋友

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