河南一本院校-员工福利管理制度

第20讲 抽屉原理
学习目标






①理解抽屉原理的基本概念、基本用法；
②掌握用抽屉原理解题的基本过程；
③能够构造抽屉进行解题；
④利用最不利原则进行解题；；
⑤利用抽屉原理与最不利原则解释并证明一些结论及生活中的一些问题。
知识梳理
一、知识点介绍


抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利 克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的
问题，因此，也被称为狄利克雷原则．抽屉原理是组合数学 中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以
解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用． 许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，
在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决。
二、抽屉原理的定义
一般情况下，把n＋1或多于n＋1个苹果放到n个抽屉里，其中必定至 少有一个里至少有两个苹果。
我们称这种现象为抽屉原理。
三、抽屉原理的解题方案
1、利用公式进行解题
苹果÷抽屉＝商……余数
余数：(1)余数＝1， 结论：至少有(商＋1)个苹果在同一个抽屉里
(2)余数＝
x

1x

n1


， 结论：至少有(商＋1)个苹果在同一个抽屉里
(3)余数＝0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里
2、利用最值原理解题
将题目中没有阐明的量进 行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”
方法、特殊值方法。
典例分析

考点一：直接利用公式解题
例1、
6
只鸽子要飞 进
5
个笼子，每个笼子里都必须有
1
只，一定有一个笼子里有
2只鸽子．对吗？



、
例2、人的头发平均有12万根，如果最多不超过20万根，那么13亿中国人中至少有 人的头发的根数
相同。




例3、“六一”儿童节， 很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人．试说明：在游园的小朋
友中，至少有两个小 朋友遇到的熟人数目相等．





例4、在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被
3
整除？



例5、求证：对于任意的8个自然数，一定能从中找到6个数a，b， c，d，e，f，使得
(ab)(cd)(ef)
是

105的倍数．



例6、某班有16名学生，每个月教师把学 生分成两个小组．问最少要经过几个月，才能使该班的任意两个
学生总有某个月份是分在不同的小组里?




例7、一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：基础分10分，每道题答对得3分，答错扣 1分，不
答不得分。问：要保证至少有4人得分相同，至少需要多少人参加竞赛？





考点二：构造抽屉利用公式进行解题
例1、在一只口袋中有 红色、黄色、蓝色球若干个，小聪明和其他六个小朋友一起做游戏，每人可以从口袋
中随意取出
2
个球，那么不管怎样挑选，总有两个小朋友取出的两个球的颜色完全一样．你能说明这是为什
么吗？

例2、从1 ，2，3……，2010，2011这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差不等于
4？





例3、时钟的表盘上按标准的方式标着 1，2，3，…，11，12这12个数，在其上任意做n个120°的扇形，
每一个都恰好覆盖4个数 ，每两个覆盖的数不全相同．如果从这任做的n个扇形中总能恰好取出3个覆盖
整个钟面的全部12个数 ，求n的最小值．
11
10
9
8
7
6
5
12
1
2
3
4




< br>例4、有苹果和桔子若干个，任意分成
5
堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子的 总数都是偶数？




考点三：最不利原则
例1、“ 走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题．每个年级
12
道题，并且至少有
8道题与其他各年级都
不同．如果每道题出现在不同年级，最多只能出现
3
次．本届 活动至少要准备 道决赛试题．

例2、在
100
张卡片上不重复地编写上
1
~
100
，请问至少要随意抽出几张卡片才能保证所抽出卡片上的数相乘后之乘积可被
4
整除？



例3、从1，2，3，4，5，……，99，100这100个数中任意选出51个数，证明：






(1)在这51个数中，一定有两个数互质；
(2)在这51个数中，一定有两个数的差等于50；
(3)在这51个数中，一定存在9个数，他们的最大公约数大于1.
实战演练

➢ 课堂狙击
1、年级一班学雷锋小组有
13
人．教数学的张老师说：“你 们这个小组至少有
2
个人在同一月过生日．”你知
道张老师为什么这样说吗？







2、五年级数学小组共有 20名同学，他们在数学小组中都有一些朋友，请你说明：至少有两名同学，他们

的朋友人数一样多．








3、四个连续的自然数分别被
3
除后，必有两个余数相同，请说明理由．





4、幼儿园买来许多牛、马、羊、狗塑料玩具，每个小朋友 任意选择两件，但不能是同样的，问：至少有多
少个小朋友去拿，才能保证有两人所拿玩具相同？ 5、从1至2013这2013个自然数中最多能取出多少个数，使得其中任意的两数都不连续且差不等于4 ？




6、在
20
米长的水泥阳台上放12
盆花，随便怎样摆放，请你说明至少有两盆花它们之间的距离小于
2
米．

7、一个口袋中装有 500粒珠子，共有5种颜色，每种颜色各100粒。如果你闭上眼睛，至少取出多少粒珠
子才能保证其 中有5粒颜色相同？






8、一个口袋 里分别有红、黄、黑球4，7，8个，为保证取出的球中有6个同色，则至少要取小球______个。






➢ 课后反击
1、向阳小学有730个学生，问：至少有几个学生的生日是同一天？




2、求证：可以找到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数．

3、100个苹果最多分给多少个学生，能保证至少有一个学生所拥有的苹果数不少于12个.





4、从
2
、
4
、
6
、
8
、
50



5、请证明：在1，4，7，10，…，100中任选20个数，其中至少有不同的两组数其和都等于104 .








6、从1到20这20个数中，任取11个不同的数，必有两个数其中一个是另一个数的倍数．





7、从1，2，3，……，49，50这50个 数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除，则最
多能取出多少个数？
、这
25
个偶数中至少任意取出多少个数，才能保证有
2
个数的和是52
？

8、有 红、黄、蓝、白4色的小球各10个，混合放在一个布袋里．一次摸出小球8个，其中至少有几个小
球的 颜色是相同的？



9、一幅扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数？
直击赛场

1、(第十届《小数报》数学竞赛决赛) 一次测验共有10道问答题 ，每题的评分标准是：回答完全正确，得5
分；回答不完全正确，得3分，回答完全错误或不回答，得0 分．至少____人参加这次测验，才能保证至
少有3人得得分相同．



2、(走美杯初赛)袋中有外形安全一样的红、黄、蓝三种颜色的小球各10个，每个小朋友只能从中摸 出1个
小球，至少有______个小朋友摸球，才能保证一定有两个人摸的球颜色一样．





3、(春蕾杯决赛) 从
1
、
2
、
3
、
4
、
5
、
6
、
7
、
8
、
9
、
10
、
11
和
12
中至多选出 个数，使得在选
出的数中，每一个数都不是另一个数的
2
倍．

4、(清华附中入学测试) 6、如图，在时钟的表盘上任意作
9
个
120°
的扇形，使得每一个扇形都恰 好覆盖
4
个
数，且每两个扇形覆盖的数不全相同，求证：一定可以找到
3个扇形，恰好覆盖整个表盘上的数．并举一个
反例说明，作
8
个扇形将不能保证上 述结论成立．
11
10
9
8
7


12
1
2
3
4
6
5

重点回顾

抽屉原理的定义：
一般情况下，把n＋1或多于n＋1个苹果放到n个抽屉里，其 中必定至少有一个里至少有两个苹果。
我们称这种现象为抽屉原理。


名师点拨

抽屉原理的解题方案
1、利用公式进行解题

苹果÷抽屉＝商……余数
余数：(1)余数＝1， 结论：至少有(商＋1)个苹果在同一个抽屉里
(2)余数＝
x

1x

n1


， 结论：至少有(商＋1)个苹果在同一个抽屉里
(3)余数＝0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里
2、利用最值原理解题
将题目中没有阐明的量进 行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”
方法、特殊值方法．

学霸经验

➢ 本节课我学到




➢ 我需要努力的地方是