第八章第二讲：抽屉原理.课后练习
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教学目标
抽屉原理是一种特殊的思维方法
，不但可以根据它来做出许多有趣的推理和判断，同时能够帮助同学
证明很多看似复杂的问题。本讲的主
要教学目标是：
1．理解抽屉原理的基本概念、基本用法；
2．掌握用抽屉原理解题的基本过程；
3. 能够构造抽屉进行解题；
4.
利用最不利原则进行解题；
5.利用抽屉原理与最不利原则解释并证明一些结论及生活中的一些问题。
知识点拨
一、知识点介绍
抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，
它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中
的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．
抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可
以解决很多有趣的问题，并且常常能够起
到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，
在利用抽屉原则后，能很快使问题得到
解决．
二、抽屉原理的定义
（1）举例
桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九
个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放
两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至
少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。
（2）定义
一般情况下，把n＋1或多于n
＋1个苹果放到n个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个
苹果。我们称这种现象为抽屉原理。
三、抽屉原理的解题方案
（一）、利用公式进行解题
苹果÷抽屉＝商……余数
余数：（1）余数＝1，
结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里
（2）余数＝
x
1x
n1
，
结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里
（3）余数＝0，
结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里
（二）、利用最值原理解题
将题目中没有阐明的
量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”
方法、特殊值方法．
知识精讲
模块一、利用抽屉原理公式解题
（一）、直接利用公式进行解题
（1）求结论
【例 1】
6
只鸽子要飞进
5
个笼子，每个笼子里都必须有
1
只，一定有一个笼子
里有
2
只鸽子．对吗？
【例 2】
向阳小学有730个学生，问：至少有几个学生的生日是同一天？
【例 3】
三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩．
【例 4】 “六一”
儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人．试说明：在游
园的小朋友中，至少
有两个小朋友遇到的熟人数目相等．
【例 5】
在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被
3
整除？
【例 6】 证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数．
【例 7】
任给11个数，其中必有6个数，它们的和是6的倍数．
【例 8】 任意给定2008个
自然数，证明：其中必有若干个自然数，和是2008的倍数(单独一个数也当做
和)．
【例 9】 求证：可以找到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数．
【例 10】 求证：对于任意的8个自然数，一定能从中找到6个数
a
，
b
，
c
，
d
，
e
，
f
，使得
(ab)(cd)(ef)
是105的倍数．
【例 11】 把1、2、
3、…、10这十个数按任意顺序排成一圈，求证在这一圈数中一定有相邻的三个数之
和不小于17．
【例 12】 证明：在任意的6个人中必有3个人，他们或者相互认识，或者相互不认识．
【例 13】 上体育课时，21名男、女学生排成3行7列的队形做操．老师是否总能从队
形中划出一个长方
形，使得站在这个长方形4个角上的学生或者都是男生，或者都是女生?如果能，请说
明理由；
如果不能，请举出实例．
【例 14】 8个学生解8道
题目．(1)若每道题至少被5人解出，请说明可以找到两个学生，每道题至少被
过两个学生中的一个解
出．(2)如果每道题只有4个学生解出，那么(1)的结论一般不成立．试
构造一个例子说明这点.
（2）求抽屉
【例 15】
把十只小兔放进至多几个笼子里，才能保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔？
【例
16】
把125本书分给五⑵班的学生，如果其中至少有一个人分到至少4本书，那么，这个班最多有
多少人？
【例 17】 某班有16名学生，每个月教师把学生分成两个小组．问最少要经过几个月，
才能使该班的任意
两个学生总有某个月份是分在不同的小组里?
（3）求苹果
【例
18】 班上有
50
名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋
友能得到
不少于两本书？
【例 19】 海天小学五年级学生身高的厘米数都是整
数，并且在
140
厘米到
150
厘米之间（包括
140
厘米
到
，那么，至少从多少个学生中保证能找到
4
个人的身高相同？
150
厘米）
【例 20】
一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：基础分10分，每道题答对得3分，答错扣
1分，
不答不得分。问：要保证至少有4人得分相同，至少需要多少人参加竞赛？
（二）、构造抽屉利用公式进行解题
【例 21】 在一只口袋中有红色、黄色、蓝色球若干
个，小聪明和其他六个小朋友一起做游戏，每人可以
从口袋中随意取出
2
个球，那么不
管怎样挑选，总有两个小朋友取出的两个球的颜色完全一
样．你能说明这是为什么吗？
【例 22】 红、蓝两种颜色将一个
25
方格图中的小方格随意涂色（见下图），
每个小方格涂一种颜色．是
否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？
第
第第
第第
四
三五
一二
列
列列
列列
第一行
第二行
【例 23】 将每一个小方格涂上红色、黄色或蓝色．（每一列的三小
格涂的颜色不相同），不论如何涂色，
其中至少有两列，它们的涂色方式相同，你同意吗？
【例 24】 从
2
、
4
、
6
、
8
、、
50
这
25
个偶数中至少任意取出多少个数，才能保证有<
br>2
个数的和是
52
？
【例 25】
（北京市第十一届“迎春杯”刊赛）从1，2，3，4，…，1994这些自然数中，最多可以取
个
数，能使这些数中任意两个数的差都不等于9．
【例 26】
（2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛决赛）从
1
、
2
、
3
、
4
、
5
、
6
、
7
、
8
、
9
、
10
、
11
和
12
中至多
选出 个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的
2
倍．
【例 27】 从1，3，5，7，…，97，99中最多可以选出多少个数，使得选出的数中，每一个
数都不是另一
个数的倍数?
【例 28】 从整数1、2、3、…、199、20
0中任选101个数，求证在选出的这些自然数中至少有两个数，
其中的一个是另一个的倍数.
【例 29】 从1，2，3，……49，50这50个数中取出若干个数，使其中任意两个
数的和都不能被7整除，
则最多能取出多少个数？
【例 30】 从1，2，3，
…，99，100这100个数中任意选出51个数．证明：(1)在这51个数中，一定有
两个数互质
；(2)在这51个数中，一定有两个数的差等于50；(3)在这51个数中，一定存在9
个数，它们
的最大公约数大于1．
【例 31】 有49个小孩，每人胸前有一个号码，号码从1到4
9各不相同．现在请你挑选若干个小孩，排
成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100
，那么你最多能挑选出多少个孩子?
【例 32】 要把61个乒乓球分装在若干个乒乓球
盒中，每个盒子最多可以装5个乒乓球，问：至少有多少
个盒子中的乒乓球数目相同？
【例 33】 将400本书随意分给若干同学，但是每个人不许超过11本，问：至少有多少个同学分
到的书的
本数相同？
【例 34】 有苹果和桔子若干个，任意分成
5<
br>堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子的总数都是偶
数？
【例
35】 （难度等级 ※※※）在长度是
10
厘米的线段上任意取
11
个点，
是否至少有两个点，它们之间
的距离不大于
1
厘米？
【例
36】 在边长为3的正三角形内，任意放入10个点，求证：必有两个点的距离不大于1．
【例 37】 在一个直径为
2
厘米的圆内放入七个点，请证明一定有两个
点的距离不大于
1
厘米
【例 38】
9条直线的每一条都把一个正方形分成两个梯形，而且它们的面积之比为2∶3。证明：这9
条
直线中至少有3 条通过同一个点。
A
N
H
D
E
P
Q
F
B
G
M
C
【例 39】 如图，能否在
8
行
8
列的方格
表的每一个空格中分别填上
1
，
2
，
3
这三个数，使得各行
各列及
对角线上
8
个数的和互不相同？并说明理由．
【例 40】 （南京市第三届“兴趣杯”少年数学邀请赛决赛C卷第12题）如下图① ，
A
、
B
、
C
、
D
四
只小盘拼成一个环形，每
只小盘中放若干糖果，每次可取出1只、或3只、或4只盘中的全部
糖果，也可取出2只相邻盘中的全部
糖果.要使1至13粒糖果全能取到，四只盘中应各有
粒糖果.把各只盘中糖果的粒数填在下图②中.
A
B
D
C
图① 图②
【例
41】 如右图，分别标有数字
1,2,,8
的滚珠两组，放在内外两个圆环上，开始时相对的
滚珠所标的数
字都不相同．当两个圆环按不同方向转动时，必有某一时刻，内外两环中至少有两对数字相
同
的滚珠相对．
【例 42】 时钟的表盘上按标准的方式标着1，2
，3，…，11，12这12个数，在其上任意做
n
个120°的
扇形，每一个都恰好
覆盖4个数，每两个覆盖的数不全相同．如果从这任做的
n
个扇形中总能
恰好取出3个
覆盖整个钟面的全部12个数，求
n
的最小值．
11
10
9
8
7
12
1
2
3
4
6
5
模块三、最不利原则
【例 43】
（2008年第六届“走进美妙的数学花园”中国青年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛决赛）
“走
美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题．每个年级
12
道题，并且至少有
8
道题与其他
各年级都不同．如果每道题出现在不同年级，最多只能出现
3
次．本届活
动至少要准备
道决赛试题．
【例 44】 有一个布袋中有40
个相同的小球，其中编上号码1、2、3、4的各有10个，问：一次至少要取
出多少个小球，才能保证
其中至少有3个小球的号码相同？
【例 45】 黑色、白色、黄色的筷子各有8根，混杂
地放在一起，黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的
两双筷子。问至少要取多少根才能保证达到要求？
【例 46】 有红、黄、蓝、白4色的小球各10个，混合放在一个布袋里．一次摸出小球
8个，其中至少有
几个小球的颜色是相同的？
【例 47】 两个布袋各有12个
大小一样的小球，且都是红、白、蓝各4个。从第一袋中拿出尽可能少的球，
但至少有两种颜色一样的放
入第二袋中；再从第二袋中拿出尽可能少的球放入第一袋中，使第
一袋中每种颜色的球不少于3个。这时
，两袋中各有多少个球？
【例 48】 一个玻璃瓶里一共装有44个弹珠，其中：白色的
2个，红色的3个，绿色的4个，蓝色的5个，
黄色的6个，棕色的7个，黑色的8个，紫色的9个．如
果要求每次从中取出1个弹珠，从而
得到2个相同颜色的弹珠，请问最多需要取几次？
【例 49】 （2008年中国台湾小学数学竞赛选拔赛复赛）在
100
张卡片上不
重复地编写上
1
~
100
，请问至
少要随意抽出几张卡片才能保证所
抽出卡片上的数相乘后之乘积可被
4
整除？
【例 50】 一副扑克牌，
共54张，问：至少从中摸出多少张牌才能保证：⑴至少有5张牌的花色相同；⑵
四种花色的牌都有；⑶
至少有3张牌是红桃．(4) 至少有2张梅花和3张红桃．
【例 51】 （
2
006
年华罗庚金杯数学邀请赛）自制的一副玩具牌共计
52
张（含四种牌：红桃、红
方、黑
桃、黑梅．每种牌都有
1
点，
2
点，…，
13
点牌各一张）．洗好后背面向上放好，⑴一次至少抽
取 张牌，才能保证其中必定有<
br>2
张牌的点数和颜色都相同．（2）如果要求一次抽出的
牌中必定有
3
张牌的点数是相邻的（不计颜色），那么至少要取 张牌。