小升初数学必考的34个重要公式
重庆传媒大学-华中师范大学分校
小升初数学必考的34个重要公式.DOC
公式基础中的基础;如果公式都懒得记;那想要提升成绩肯定是不可能的。
1、和差倍问题
已知条
件
公式适
用范围
和差问题
几个数的和与
差
和倍问题
几个数的
和与倍数
差倍问题
几个数的差
与倍数
已知两个数的和;差;倍数关系
①(和－差)÷2
=较小数
较小数＋差=
较大数
和－较小数=
较大数
②(和＋差)÷2
=较大数
较大数－差=
较小数
和－较大数=
较小数
和÷(倍数＋
1)=小数
小数×倍数
=大数
和－小数=
大数
差÷(倍数-1)=
小数
小数×倍数=
大数
小数＋差=大
数
公式
关键问
题
求出同一条件下的
和与差
和与倍数
差与倍数
2、年龄问题的三个基本特征
①两个人的年龄差是不变的;
②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的;
③两个人的年龄的倍数是发生变化的;
3、归一问题的基本特点
问题中有一个不变的量;一般是那个“单一量”;题目一般用“照这样的速度”……等词语来
表示。
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关键问题：
根据题目中的条件确定并求出单一量;
4、植树问题
在直线
或者不
基本
类型
封闭的
曲线上
植树;两
端都植
树
棵数=
段数＋
基本
公式
1
棵距×
段数=
总长
关键
问题
确定所属类型;从而确定棵数与段数的关系
棵数=段
数－1
棵距×段
数=总长
棵数=段数
棵距×段数=总长
在直线或
者不封闭
的曲线上
植树;两
端都不植
树
在直线或
者不封闭
的曲线上
植树;只有
一端植树
封闭曲
线上植
树
5、鸡兔同笼问题
基本概念：
鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题;就是把假设错的那部分置换出来;
基本思路：
①假设;即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：
②假设后;发生了和题目条件不同的差;找出这个差是多少;
③每个事物造成的差是固定的;从而找出出现这个差的原因;
④再根据这两个差作适当的调整;消去出现的差。
基本公式：
①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）
②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）
关键问题：找出总量的差与单位量的差。
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6、盈亏问题
基本概念：
一定量的
对象;按照某种标准分组;产生一种结果：按照另一种标准分组;又产生一种结果;由于分组
的标准不同
;造成结果的差异;由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量。
基本思路：
先将两种分配方案进行比较;分析由于标准的差异造成结果的变化;根据这个关系求出参加分配的
总份数;然后根据题意求出对象的总量。
基本题型：
①一次有余数;另一次不足;
基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差
②当两次都有余数;
基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差
③当两次都不足;
基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差
基本特点：
对象总量和总的组数是不变的。
关键问题：
确定对象总量和总的组数。
7、牛吃草问题
基本思路：
假设每头牛吃草的速度为“1”份;根据两次不同的吃法;求出其中的总草量的差
;再找出造成这种差
异的原因;即可确定草的生长速度和总草量。
基本特点：
原草量和新草生长速度是不变的;
关键问题：
确定两个不变的量。
基本公式：
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生长量=（较长时间×长时间牛头数-
较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）;
总草量=较长时间×长时间牛头数-
较长时间×生长量;
8、周期循环与数表规律
周期现象：
事物在运动变化的过程中;某些特征有规律循环出现。
周期：
我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。
关键问题：
确定循环周期。
闰 年：一年有366天;
①年份能被4整除;②如果年份能被100整除;则年份必须能被400整除;
平
年：一年有365天。
①年份不能被4整除;②如果年份能被100整除;但不能被400整除;
9、平均数
基本公式：
①平均数=总数量÷总份数
总数量=平均数×总份数
总份数=总数量÷平均数
②平均数=基准数＋每一个数与基准数差的和÷总份数
基本算法：
①求出总数量以及总份数;利用基本公式①进行计算.
②基准数法：根据给出的数之
间的关系;确定一个基准数;一般选与所有数比较接近的数或者中间
数为基准数;以基准数为标准;求所
有给出数与基准数的差;再求出所有差的和;再求出这些差的平
均数;最后求这个差的平均数和基准数的
和;就是所求的平均数;具体关系见基本公式②
10、抽屉原理
抽屉原则一：
如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里;那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。
例：把4个物体放在3个抽屉里;也就是把4分解成三个整数的和;那么就有以下四种情况：
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①4=4+0+0 ②4=3+1+0
③4=2+2+0 ④4=2+1+1
观察上面四种放物体的方式;我们会发现一个共同特点
：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物
体;也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。
抽屉原则二：
如果把n个物体放在m个抽屉里;其中n>m;那么必有一个抽屉至少有:
①k=[nm ]+1个物体：当n不能被m整除时。
②k=nm个物体：当n能被m整除时。
理解知识点：
[X]表示不超过X的最大整数。
例[4.351]=4;[0.321]=0;[2.9999]=2;
关键问题：
构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量;而后依据抽屉原则进行运算。
11、定义新运算
基本概念：
定义一种新的运算符号;这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路：
严格按照新定义的运算规则;把已知的数代入;转化为加减乘除的运算;然后按照
基本运算过程、规
律进行运算。
关键问题：
正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：
①新的运算不一定符合运算规律;特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
12、数列求和
等差数列：
在一列数中;任意相邻两个数的差是一定的;这样的一列数;就叫做等差数列。
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基本概念：
首项：等差数列的第一个数;一般用a1表示;
项数：等差数列的所有数的个数;一般用n表示;
公差：数列中任意相邻两个数的差;一般用d表示;
通项：表示数列中每一个数的公式;一般用an表示;
数列的和：这一数列全部数字的和;一般用Sn表示．
基本思路：
等差数列中涉及五个量：a1 ,an, d, n,sn,,通项公式中涉及四个量;如果己知其中三
个;就可求出第
四个;求和公式中涉及四个量;如果己知其中三个;就可以求这第四个。
基本公式：
通项公式：an = a1+（n－1）d;
通项＝首项＋（项数一1)×公差;
数列和公式：sn,= (a1+
an)×n÷2;
数列和＝（首项＋末项）×项数÷2;
项数公式：n=
(an+ a1)÷d＋1;
项数=（末项-首项）÷公差＋1;
公差公式：d =（an－a1））÷（n－1）;
公差=（末项－首项）÷（项数－1）;
关键问题：
确定已知量和未知量;确定使用的公式;
13、二进制及其应用
十进制：
用0～9十个数字表示;逢10进1;不同数位上的数字表示不同的含义
;十位上的2表示20;百位上
的2表示200。所以234=200+30+4=2×102+3×1
0+4。
=An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×
10n-4+An-4×10n-5+An-6×10n-7+……
+A3×102+A2×101+A
1×100
注意：N0=１;N１=N（其中N是任意自然数）
二进制：
用0～1两个数字表示;逢2进1;不同数位上的数字表示不同的含义。
（2）= An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-
4×2n-5+An-6×2n-7
+……+A3×22+A2×21+A1×20
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注意：An不是0就是1。
十进制化成二进制：
①根据二进制满2进1的特点;用2连续去除这个数;直到商
为0;然后把每次所得的余数按自下而
上依次写出即可。
②先找出不大于该数的2的
n次方;再求它们的差;再找不大于这个差的2的n次方;依此方法一直
找到差为0;按照二进制展开式
特点即可写出。
14、加法乘法原理和几何计数
加法原理：
如果完成一件任务有n类方法;在第一类方法中有m1种不同方法;在第二类方法
中有m2种不同
方法……;在第n类方法中有mn种不同方法;那么完成这件任务共有：m1+
m2....... +mn种不同
的方法。
关键问题：
确定工作的分类方法。
基本特征：
每一种方法都可完成任务。
乘法原理：
如果完成一件任务需要
分成n个步骤进行;做第1步有m1种方法;不管第1步用哪一种方法;第2
步总有m2种方法……不管
前面n-1步用哪种方法;第n步总有mn种方法;那么完成这件任务共有：
m1×m2.......
×mn种不同的方法。
关键问题：
确定工作的完成步骤。
基本特征：
每一步只能完成任务的一部分。
直线：
一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动;形成的轨迹。
直线特点：
没有端点;没有长度。
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线段：
直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。
线段特点：
有两个端点;有长度。
射线：
把直线的一端无限延长。
射线特点：
只有一个端点;没有长度。
①数线段规律：总数＝1+2+3+…+（点数一1）;
②数角规律=1+2+3+…+（射线数一1）;
③数长方形规律：个数=长的线段数×宽的线段数：
④数长方形规律：个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数
15、质数与合数
质数：
一个数除了1和它本身之外;没有别的约数;这个数叫做质数;也叫做素数。
合数：
一个数除了1和它本身之外;还有别的约数;这个数叫做合数。
质因数：
如果某个质数是某个数的约数;那么这个质数叫做这个数的质因数。
分解质因数：
把一个数用质数相乘的形式表示出来;叫做分解质因数。通常用短除
法分解质因数。任何一个合数
分解质因数的结果是唯一的。
分解质因数的标准表示形式：
N=
;其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因数;且a1
求约数个数的公式：
P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)
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互质数：
如果两个数的最大公约数是1;这两个数叫做互质数。
16、约数与倍数
约数和倍数：
若整数a能够被b整除;a叫做b的倍数;b就叫做a的约数。
公约数：
几个数公有的约数;叫做这几个数的公约数;其中最大的一个;叫做这几个数的最大公约数。
最大公约数的性质：
1、
几个数都除以它们的最大公约数;所得的几个商是互质数。
2、
几个数的最大公约数都是这几个数的约数。
3、
几个数的公约数;都是这几个数的最大公约数的约数。
4、
几个数都乘以一个自然数m;所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。
例如：12的约数有1、2、3、4、6、12;
18的约数有：1、2、3、6、9、18;
那么12和18的公约数有：1、2、3、6;
那么12和18最大的公约数是：6;记作（12;18）=6;
求最大公约数基本方法：
1、分解质因数法：先分解质因数;然后把相同的因数连乘起来。
2、短除法：先找公有的约数;然后相乘。
3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除;能够整除的那个余数;就是所求的最大公约数。
公倍数：
几个数公有的倍数;叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个;叫做这几个数的最小公倍数。
12的倍数有：12、24、36、48……;
18的倍数有：18、36、54、72……;
那么12和18的公倍数有：36、72、108……;
那么12和18最小的公倍数是36;记作[12;18]=36;
最小公倍数的性质：
1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数;2、分解质因数的方法
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17、数的整除
基本概念和符号：
1、整除：如果一个整数a;除以一个自然数b;得到一个整数商c;而且
没有余数;那么叫做a能被b
整除或b能整除a;记作b|a。
2、常用符号：整除符号“|”;不能整除符号“ ”;因为符号“∵”;所以的符号“∴”;
整除判断方法：
1.能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2.能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3.能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4.能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
5.能被7整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6.能被11整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7.能被13整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
整除的性质：
1.如果a、b能被c整除;那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。
2.如果a能被b整除;c是整数;那么a乘以c也能被b整除。
3.如果a能被b整除;b又能被c整除;那么a也能被c整除。
4.如果a能被b、c整除;那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
18、余数及其应用
基本概念：
对任意自然数a、b、q、r
;如果使得a÷b=q……r;且0
余数的性质：
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①余数小于除数。
②若a、b除以c的余数相同;则c|a-b或c|b-a。
③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。
④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。
19、余数、同余与周期
同余的定义：
①若两个整数a、b除以m的余数相同;则称a、b对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m;如果m|a-b;就称a、b对于模m同余;记作a≡b(mod
m);读作a同余
于b模m。
同余的性质：
①自身性：a≡a(mod m);
②对称性：若a≡b(mod
m);则b≡a(mod m);
③传递性：若a≡b(mod m);b≡c(mod
m);则a≡ c(mod m);
④和差性：若a≡b(mod m);c≡d(mod
m);则a+c≡b+d(mod m);a-c≡b-d(mod m);
⑤相乘性：若a≡ b(mod m);c≡d(mod m);则a×c≡ b×d(mod
m);
⑥乘方性：若a≡b(mod m);则an≡bn(mod m);
⑦同倍性:若a≡ b(mod m);整数c;则a×c≡ b×c(mod m×c);
关于乘方的预备知识：
①若A=a×b;则MA=Ma×b=（Ma）b
②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md
被3、9、11除后的余数特征：
①一个自然数M;n表示M的各个数位上数字的和;则M≡n(mod 9)或（mod
3）;
②一个自然数M;X表示M的各个奇数位上数字的和;Y表示M的各个偶数数位上数字
的和;则M≡
Y-X或M≡11-（X-Y）(mod 11);
费尔马小定理：
如果p是质数（素数）;a是自然数;且a不能被p整除;则ap-1≡1(mod p)。
20、分数与百分数的应用
基本概念与性质：
分数：把单位“1”平均分成几份;表示这样的一份或几份的数。
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分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外）;分数的大小不变。
分数单位：把单位“1”平均分成几份;表示这样一份的数。
百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。
常用方法：
①逆向思维方法：从题目提供条件的反方向（或结果）进行思考。
②对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。
③转化思维方
法：把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是转换成比例和转换成
倍数关系;把不同的标
准（在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成同一条件下的分率。常见
的处理方法是确定不同的标准
为一倍量。
④假设思维方法：为了解题的方便;可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设
某种情况成立;
计算出相应的结果;然后再进行调整;求出最后结果。
⑤量不变思维
方法：在变化的各个量当中;总有一个量是不变的;不论其他量如何变化;而这个量是
始终固定不变的。
有以下三种情况：A、分量发生变化;总量不变。B、总量发生变化;但其中有的
分量不变。C、总量和
分量都发生变化;但分量之间的差量不变化。
⑥替换思维方法：用一种量代替另一种量;从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。
⑦同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。
⑧浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。
21、分数大小的比较
基本方法：
①通分分子法：使所有分数的分子相同;根据同分子分数大小和分母的关系比较。
②通分分母法：使所有分数的分母相同;根据同分母分数大小和分子的关系比较。
③基准数法：确定一个标准;使所有的分数都和它进行比较。
④分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时;分子或分母越大的分数值越大。
⑤倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小;除了运用以上方法外;可以用同倍
率的
变化关系比较分数的大小。（具体运用见同倍率变化规律）
⑥转化比较方法：把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较。
⑦倍数比较法：用一个数除以另一个数;结果得数和1进行比较。
⑧大小比较法：用一个分数减去另一个分数;得出的数和0比较。
⑨倒数比较法：利用倒数比较大小;然后确定原数的大小。
⑩基准数比较法：确定一个基准数;每一个数与基准数比较。
22、分数拆分
将一个分数单位分解成两个分数之和的公式。
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23、完全平方数
完全平方数特征：
1.末位数字只能是：0、1、4、5、6、9;反之不成立。
2.除以3余0或余1;反之不成立。
3.除以4余0或余1;反之不成立。
4.约数个数为奇数;反之成立。
5.奇数的平方的十位数字为偶数;反之不成立。
6.奇数平方个位数字是奇数;偶数平方个位数字是偶数。
7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。
平方差公式：
X2-Y2=（X-Y）（X+Y）
完全平方和公式：
（X+Y）2=X2+2XY+Y2
完全平方差公式：
（X-Y）2=X2-2XY+Y2
24、比和比例
比：
两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项;比号后面的数叫比的后项。
比值：
比的前项除以后项的商;叫做比值。
比的性质：
比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外）;比值不变。
比例：
表示两个比相等的式子叫做比例。a:b=c:d
比例的性质：
两个外项积等于两个内项积(交叉相乘);ad=bc。
13
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正比例：
若A扩大或缩小几倍;B也扩大或缩小几倍（AB的商不变时）;则A与B成正比。
反比例：
若A扩大或缩小几倍;B也缩小或扩大几倍（AB的积不变时）;则A与B成反比。
比例尺：
图上距离与实际距离的比叫做比例尺。
按比例分配：
把几个数按一定比例分成几份;叫按比例分配。
25、综合行程
基本概念：
行程问题是研究物体运动的;它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系.
基本公式：
路程=速度×时间;路程÷时间=速度;路程÷速度=时间
关键问题：
确定运动过程中的位置和方向。
相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）
追及问题：追及时间＝路程差÷速度差（写出其他公式）
流水问题：顺水行程=（船速+水速）×顺水时间
逆水行程=（船速-
水速）×逆水时间
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
静水速度=（顺水速度+逆水速度）÷2
水 速=（顺水速度-
逆水速度）÷2
流水问题：关键是确定物体所运动的速度;参照以上公式。
过桥问题：关键是确定物体所运动的路程;参照以上公式。
主要方法：画线段图法
基本题型：
已知路程（相遇路程、追及
路程）、时间（相遇时间、追及时间）、速度（速度和、速度差）中
任意两个量;求第三个量。
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26、工程问题
基本公式：
①工作总量=工作效率×工作时间
②工作效率=工作总量÷工作时间
③工作时间=工作总量÷工作效率
基本思路：
①假设工作总量为“1”（和总工作量无关）;
②
假设一个方便的数为工作总量（一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数）;利用上述三
个基本关
系;可以简单地表示出工作效率及工作时间.
关键问题：
确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。
27、逻辑推理
条件分析—假设法：
假设可能情况中的一种成
立;然后按照这个假设去判断;如果有与题设条件矛盾的情况;说明该假设
情况是不成立的;那么与他的
相反情况是成立的。例如;假设a是偶数成立;在判断过程中出现了矛
盾;那么a一定是奇数。
条件分析—列表法：
当题设条件比较多;需要多次假设才能完成时;就需要进行列
表来辅助分析。列表法就是把题设的
条件全部表示在一个长方形表格中;表格的行、列分别表示不同的对
象与情况;观察表格内的题设
情况;运用逻辑规律进行判断。
条件分析—图表法：
当两个对象之间只有两种关系时;就可用连线表示两个对象之间的关系;
有连线则表示“是;有”等
肯定的状态;没有连线则表示否定的状态。例如A和B两人之间有认识或不认
识两种状态;有连线
表示认识;没有表示不认识。
逻辑计算：
在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外;还要进行相应的计算;根据计算的结果为推理提
供一个
新的判断筛选条件。
简单归纳与推理：
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根据题目提供的特征和数据;分析其中存在的规律和方法;并从特殊情况推广
到一般情况;并递推出
相关的关系式;从而得到问题的解决。
28、几何面积
基本思路：
在一些面积的计算上;不能直接运
用公式的情况下;一般需要对图形进行割补;平移、旋转、翻折、
分解、变形、重叠等;使不规则的图形
变为规则的图形进行计算;另外需要掌握和记忆一些常规的
面积规律。
常用方法：
1.连辅助线方法
2.利用等底等高的两个三角形面积相等。
3.大胆假设（有些点的设置题目中说的是任意点;解题时可把任意点设置在特殊位置上）。
4.利用特殊规律
①等腰直角三角形;已知任意一条边都可求出面积。（斜边的平方
除以4等于等腰直角三角形的面
积）
②梯形对角线连线后;两腰部分面积相等。
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