数学运算公式总结

余年寄山水
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2020年11月15日 19:52
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2020年11月15日发(作者:蓝奕邦)



(一)

返运动平均速度公式:V均=(2v1*v2)(v1+v2)
(二)沿途数车问题核心公式:发车的间隔时间T=Sv车=2t1t2(t1+t2)
车速和人速的比N=v车v人=(t1+t2)(t2-t1)
地铁检修车沿地铁线路匀速前进,每6 分钟有一列地铁从后面追上,每2分钟有一列地铁迎面开来。
假设两个方向的发车间隔和列车速度相同, 则发车间隔是( )
A、2 B、 3 C、4 D、5
发车的间隔时间T=Sv车=2t1t2(t1+t2)

(三)
“漂流瓶”问题核心公式 漂流所需时间T=SV水=2t逆t顺(t逆-t顺)
(三)碰到车数问 题(不算之前就在路上的有1辆甲出时乙出的+(606-1辆甲到时乙
出的)=10辆,从甲站出来时 路上已有606-1辆甲出时乙到的=9辆,所以共19辆)
(四)相遇、追及问题:
A.两辆汽车分别从A、B两站同时出发,第n次相遇两人就一共走了2n-1个全程。
B.第一、两次相遇公式:单岸型 S=(3S1+S2)2 两岸型 S=3S1-S2 , 两次相遇地
点距离 X=S- S1-S2 =2*S1-2*S2
(五)1、变速往返接人: aV人=(S-2a)V车+(S-a)V’车 (车速不变则V
车=V’车)
2、多次往返接人:所有人分成m拨 即a=2S(2m-1+n),步行距离=(m-1)a
3、车速不变往返接人题型(两拨人):a=2S(3+n),n=V车:V人(a为步行距离)
容斥定理
M=X+Y+Z-a- b-c+m(其中X与Y与Z、Z与X重叠部分的面积依次是a、b、c)
M=X+Y+Z-(a+b+c-3m)-2m=X+Y+Z-a-b-c+m
★最不利原则解题:(总的思想:先算每次没过的,考虑最不利的情况)
三、组 合 问 题
(一)排列组合两个恒等公式的利用
1、C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+……+C(n,n)=2^n



2、C(m,n)+C(m,n+1)=C(m+1,n+1)
(二)对称原理的应用
(三)环形排列:需要一人坐下来作为参照位置,再对剩下的N-1人进行全排列。
(四)难题巧解
N人传接球M次公式:次数=(N-1)^MN ,最接近的整数为末次传他人次数,第二接近
的整数为末次传给自己的次数
(五)特殊方法解题
4、错位重排:a(n)=n*a(n-1)+(-1)^n 前几个数字是0、1、2、9、44、265,……
5、间隔问题:要想使3盆红花互不相邻,只能是 放在4盆黄花形成的空里,4盆黄花有5
个空,从中任意拿3个空来放红花即可,即
C
5
3

543
10

321
6、排列 组合之“捆绑法”、“插空法”、“插板法”(4个不同的球放入3个不同的
盒子中,每个盒子至少一个 球,记得先选两个球捆绑再分到3个盒子中,免得重复
C(4,2)*P(3,3))
例题9.学校准备了1152块正方形彩板,用它们拼成一个长方形,有多少种不同的拼
法?( )
A.12 B.14 C.15
D.16 解
析:1152=2^7*3^2,则(7+1)*(2+1)2=12(2选0个……7个8种选择、 3有3种,考
虑长宽对调的情况,所以除以2)
六、过 河 问 题
来回数=[(总量-可乘数)(可乘数-1)]*2+1=2*(总量-1)(可乘数-1)-1
次数=[(总量-可乘数)(可乘数-1)]+1=(总量-1)(可乘数-1)
八、比 赛 场 次 问 题
(1)淘汰赛:仅需决出冠、亚军,比赛场次=N-1



需决出第1、2、3、4名 ,比赛场次=N
(2)循环赛 :单循环(任意两个队打一场比赛),比赛场次=C(N,2)=N(N-1)2
双循环(任意两个队打两场比赛),比赛场次=P(N, 2)=N(N-1)
如果参加的队数是偶数,则比赛轮数为队数减1。例:8个队参加比赛,比赛轮 数为8-1=7
轮。 如果参加的队数是奇数,则比赛轮数等于队数。 例:5个队参加比赛,比
赛就要进行5轮。
九、统 筹 问 题
(二)货物装卸问题
如果有M辆车和N(N>M)个工厂,所需装卸工的总数就是需要装卸工 人数最多的M个
工厂所需的装卸工人数之和。(若M≥N,则把各个点上需要的人加起来即答案)
(四)货物集中问题


解析:从中间开始分析,丙、丁之间(5+7+10 )<(3+12+8)”,应该往右流动;丁、戊
之间(5+7+10+3)>(12+8)”,应该往 左流动;选择丁村。

十一、鸡兔同笼的变式
公式:(贵的*总数- 总价)(贵的-贱的)=贱的数目
十二、时 钟 问 题
A.基本的公式:在初始时 刻需追赶的格数÷(1-1/12)=追及时间(分钟),分针走
一分钟(转6度)时,时针走0.5度 ,分针与时针的速度差为5. 5度分钟
B.当已知原来两针的间隔度数及要形成夹角的度数时,有公 式:两针达到要形成夹角
度数所需时间(分钟)=(原来两针的间隔度数±要形成夹角的度数)÷(6° -0.5°)。



C.每分钟时针比分针少走1112格。
例1:现在是2点,什么时候时针与分针第一次重合?
析:2点时,时针在第10格位置,分针处于第0格,相差10格,则需经过10 (1112)
分钟的时间。
例2:中午12点,时针与分针完全重合,那么到下次12点时,时针与分针重合多少次?
析:时针与分针重合后再追上,只可能分针追及了60格,追及一次耗时60 (1112 )
=72011分钟,而12小时能追及12*60( 72011)=11次,第11次时,时针与分针又完
全重合在12点。
十三、页 码 问 题
一、页码为一位数用1-9页码,用9个数字;页码为两位数用10-99页码,用180个 数字;
三位数100-999页码,用2700个数字
二、关于含“1”的页数问题,总结出的公式就是:总页数的15,再加上100。
十四、抽屉原理
1、按自然数列分放,那么14个房间需要105 张,故最少有2个办公室的桌子数是一
样的。
2、把多于m×n个的物体放到n个抽屉里,则 至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+l
个的物体。
例题3:从几个抽屉中(填最大数)拿出25个苹果,才能保证一定能找到一个抽屉,
从它 当中至少拿了7个苹果?(答案:25÷□=6……□,可见除数为4,余数为1,
抽屉数为4,所以答 案为4个)
盈 亏 问 题
(1)一次盈,一次亏:(盈+亏)÷(两次每人分配数的差)=人数
(2)两次都有盈: (大盈-小盈)÷(两次每人分配数的差)=人数



(3)两次都是亏: (大亏-小亏)÷(两次每人分配数的差)=人数
十六、盐 水 交 换 问 题
公式:mn(m+n)
例题1:有甲乙两杯含盐率不同的盐水,甲杯盐水重120克,乙杯盐 水重80克.现
在从两杯倒出等量的盐水,分别交换倒入两杯中.这样两杯新盐水的含盐率相同.从每杯中倒出的盐水是多少克?
公式: mn(m+n)=120*80(120+80)=48克
十七、空 瓶 换 汽 水
1. 6(N)个空瓶能换1瓶汽水(即5空瓶=1汽水),喝157瓶汽水至少要买多少瓶汽
水?157÷6×5=130.83(向上取整)=131 [157=X+X(N-1)]
X=A÷N×(N-1) (向上取整)
2. 如改为:每瓶饮料1元钱,(空瓶与汽水价钱 比=1:5,则汽水价钱是1*56),131元
最多能喝到多少瓶饮料,则为:
131÷5×6=157.2(向下取整)=157 [X*1*56=131]
A=X÷(N-1)×N (向下取整)
十八、平 润 年、 星 期 几
*每过一年星期数加一,但是闰年加二
十九、取 牌 问 题
例题:有30 0张多米诺骨牌,从1——300编号,每次抽取奇数牌,问最后剩下的一张
牌是多少号?
解析:不管牌书有多少张,都可以这样算:小于等于总牌数的2的N次方的最大
值就是最后剩下的牌的序 号。例题中小于等于300的2的N次方的最大值是2的8次
方,故最后剩下的一张牌是256号。
公式 2*n<300



另:总是拿掉偶数牌,最后剩下的是第一张牌,即编号是1的。
二十一、方阵、栽树问题
(一)方阵核心公式:
1.方阵总人数=最外层每边人数的平方(方阵问题的核心)
2.方阵最外层每边人数=(方阵最外层总人数÷4)+1
3.方阵外一层每边比内一层多2 ,每层人数比内一层多8
4.去掉一行、一列的总人数=去掉的每边×2-1

(二)栽树核心公式
1、线性栽树:全长=间隔×(棵数-1)
2、环形栽树:全长=间隔×棵数
3、间隔思想 :时钟敲4下,其间有3个间隔,每个间隔是123=4秒
“每隔9天”也即“每10天”,所以实际上是求10,12,8的最小公
倍数。
二十二、 年 龄 问 题
设爸爸、哥哥现在年龄分别为:x、y则当哥哥9岁时爸爸x-(y-9)岁。
二十三、自然数N次方的尾数变化情况
2、3、7、8以4为周期;4、9以2为周期;1、5、6以1为周期。
例:8^n是以“4”为周期进行变化的,分别为8,4,2,6, 8,4,2,6 ……
方法2:2^x=2^(x+4n),4^x=4^(x+2n)
二十五、剪 绳 问 题



将一根绳子连续对折三次,然后每隔一定长度剪一刀,共剪6刀。问这样 操作后,原
来的绳子被剪成了几段?( )
A 18段 B 49段 C 42段 D 52段
公式:2^n*m+1(一根绳连续对折N 次,再剪M 刀)
二十七、拆 数 求 积 问 题
尽量拆成3和2(3越多乘积越大)
二十八、余同加余,和同加和,差同减差,公倍数作周期
① 余同:“一个数除以4余1,除以5余1,除以6余1”,则取1,表示为60n+1
② 和同:“一个数除以4余3,除以5余2,除以6余1”,则取7,表示为60n+7
③ 差同:“一个数除以4余1,除以5余2,除以6余3”,则取3,表示为60n-3
三十、几 何 问 题

(一)圆分割平面公式
n个圆最多分得平面数:n^2-n+2
n条直线最多把平面分成几个区域:n(n+1)2+1
例题:3条直线最多能将平面分成几部分?(7)
(二)割补法:阴影部分可拼成一条对角线 长为16的正方形。如图,故面积是
16×16÷2=128。(把正方形看成两个高等于半径底边等于 直径的三角形,求面积更简
单)

(三)常用几何性质




球:表面积:4πr^2 体积:43πr^3
1 ^3+2^3+.....+N^3=(1+2+3+...+N)^2。1^2+2^2+3^2+…+n^2 =n(n+1)(2n+1)6
三十二、 一些数学性质应用
(一)整除特性
1、末两位数字组成的两位数能被4整除的整数必能被4整除
2、末三位数字组成的三位数能被8整除的整数必能被8整除
3、一个三位以上的整数能否 被7(11或13)整除,只须看这个数的末三位数字表示的
三位数与末三位数字以前的数字所组成的数 的差(以大减小)能否被7(11或13)整

4、各个数位上数字之和能被9整除的整数必能被9整除
5、一个整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差如果能被11的整除,那么它能被11
整除
(二)数学公式
等比数列和公式:Sn=a1(1-q^n)(1-q)
例题1 :计算14+38+716+1532+3164+63128+127256+255512+
511 1024=?
解析∶原式=12-14+12-18+……+12-11024=4+11024=4 (11024)。
(三)韦达定理
一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)
设两个根为X1和X2,则X1+X2= -ba X1*X2=ca
(四)二次函数的性质:
1.抛物线对称轴为直线x = -b2a。



2.抛物线顶点P ( -b2a ,(4ac-b^2)4a ) 当-b2a=0时,P在y轴上;当Δ=
b^2-4ac=0时,P在x轴上。
3.当 a>0时,抛物线向上开口;a<0时,抛物线向下开口。|a|越大,则抛物线的开
口越小。 < br>4.a与b同号(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在
y 轴右。
5.抛物线与y轴交于(0,c)
6.Δ= b^2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。Δ= b^2-4ac=0时,与x轴有1个
交点。

(五)增长率
1.“从2004年到2007年的平均增长率”一般表示不包括2004年的增长率;
2.“2004、2005、2006、2007年的平均增长率”一般表示包括2004年的增长率。
两年混合增长率公式:
如果第二期与第三期增长率分别为r
1
与r
2
,那么第三期相对于第一期的增长率
为:
r
1
+r
2
+r
1
× r
2

增长率化除为乘近似公式:
如果第二期的值为A,增长率为r,则第一期的值A′:
A′=A(1+r)≈A×(1-r)
(实际上左式略大于右式,r越小,则误差越小,误差量级为r
2

平均增长率近似公式:
如果N年间的增长率分别为r
1
、r
2、r
3
……r
n
,则平均增长率:
r≈r
1
+r
2
+r
3
+……r
n
n



(实际上左式略小于右式,增长率越接近,误差越小)


Abstract: B
ased on the compreh
ensive analysis
on the plas
tic part’s
tructure service requirement, mounding
introduced
数学运算

一、数学类运算
(一)四则运算
1、尾数估算法(如果选项尾数不一样,可用其快速确定答案)
2的n次方,位数分别为:2,4,8,6
3的n次方,位数分别为:3,9,7,1
7的n次方,位数分别为:7,9,3,1
8的n次方,位数分别为:8,4,2,6
9的n次方,位数分别为:9,1
4的n次方,位数分别为:4,6
2、补数法
如果两个数的和正好可以凑成整十、整百、整千,那么我们就可以说这
两个数互为补数。
3、基准数法
彼此相近的数相加时,去一个中间数作为基准数。
4、凑整法
5、运用公式;6、代换法。



(二)比较大小
二、应用计算题
(一)路程问题
1、相遇是速度相加
2、追击问题是速度差(追击路程等于甲的-乙的路程)
3、流水问题
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
船速=(顺水速度+逆水速度)2
水速=(顺水速度-逆水速度)2
(二)比例问题
1、求值型问题
2、比例分配问题
(三)、求面积(要多用割、补)
(四)、工程问题
把工程总量看成1,要是n天完成,效率就是1n,两组的效率就是单个
效率之和。
(五)、年龄问题。多带入,年龄差是不变的。
几年后的年龄=大小年龄差÷倍数差-小年龄
几年前的年龄=小年龄-大小年龄差÷倍数差
(六)、利润问题
(七)、跳进问题(画解析图,直接减去最后一次跳的距离)
(八)、植树问题
1、若植树线路两端都种树,棵数=段数+1=全长株距+1



2、若植树线路一端种树,棵数=段数=全长株距。也相当于封闭路段栽
树,如圆形池塘。
3、若植树线路两端都不种树,棵数=段数-1=全长株距-1。
每隔9天一次,等于每天一次
(九)抽水问题。【动机功率(台数X虚拟单位效率)-渗水率】X时间
是一个恒定量
容斥关系公式:
2.核心公式:
(1)两个集合的容斥关系公式:
A+B=A∪B+A∩B
(2)三个集合的容斥关系公式:
A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C

乘法原理:如果完成一件事 情需要分几步完成,二每一步又有几种不同
的方法,如求完成这件事情共有多少种方法,就需要用乘法。
加法原理:如果完成一件事又几种不同的方法,而每一种方法又可以有
几种不同的方法来完成, 那么若求完成这件事有多少种方法就需要用加法。

(十)、牛吃草问题
第一步:算出每天长草量
第二步:算出原有草量
第三步:求出每天实际消耗原有草量(牛吃的-每天生长的)
第四步:求出可吃天数(第二步第三步)
----------------------- ----------------------------
1、百分数
和谁比谁就在分母位置。
2、百分点(速度、指数、构成等的变动幅度)
例:今年物价上升了6%,去年物价上升了9%,今年比去年物价上升幅



度下降了3个百分点。
3、增长指量的增加或百分比的增加。增幅指量和比例的增加幅度。
增长多少=增长的量比较对象
4、翻番,指量的增加,以2的n次方为变化单位的。
5、发展速度与增长速度
①发展速度:指报告期发展水平基期发展水平。分为环比发展速度和
定基发展速度(某一固定基期)。
定基发展速度=环比发展速度连乘积。
②增长速 度:反映增长程度的相对指标,是报告期增长量与基期发展水
平之比。增长速度=发展速度-1
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一、十字相乘原理
一个集 合中的个体有两个不同的取值,部分个体取值为A,剩余部分取
值为B,平均值为C(总的增长或减少情 况),求取值为A的个体与取值为B
的个体的比例时用。需注意1、用来解决两者之间的比例关系问题2 、得出
的比例关系是基数的比例关系3、总均值放中央,对角线上大数减小数,结
果放在对角线 上,两对角线上结果的比就是。
------------------------------- --------------------
1、几个圆相交最多把平面分隔成多少块?N的平方-N=2;
2、n跳线最多可画出多少个不重叠的三角形F(n)=F(n-1)+F(n-2)
3、去程速度a返程速度b,则全程平均速度v=2aba+b
4、利息=本金X利率X时间









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