圣诞节快乐英文-林黛玉人物形象分析

第八讲：抽屉原理（二）

一、知识点介绍
抽屉原理有时也被称为鸽笼原 理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的
问题，因此，也被称为狄利克雷原 则．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以
解决很多有趣的问题，并且常常能 够起到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，
在利用抽屉原则后，能很快使问题 得到解决．

二、抽屉原理的定义
（1）举例
桌上有十个苹果，要把这 十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放
两个，有的可以放五个，但最 终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。
（2）定义
一般情况下，把 n＋1或多于n＋1个苹果放到n个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹
果。我们称这种现 象为抽屉原理。

三、抽屉原理的解题方案
（一）、利用公式进行解题
苹果÷抽屉＝商„„余数
余数：（1）余数＝1， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里
（2）余数＝
x

1x

n1


， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里
（3）余数＝0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里
（二）、利用最值原理解题
将题目中没有阐明的 量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”
方法、特殊值方法．
【例 1】 在一只口袋中有红色、黄色、蓝色球若干个，小聪明和其他六个小朋友一起做游戏，每人可 以
从口袋中随意取出
2
个球，那么不管怎样挑选，总有两个小朋友取出的两个球的颜色 完全一
样．你能说明这是为什么吗？



【巩固】 11名学生 到老师家借书，老师的书房中有文学、科技、天文、历史四类书，每名学生最多可借
两本不同类的书，最 少借一本．试说明：必有两个学生所借的书的类型相同



【巩固】 体 育用品的仓库里有许多足球、排球和篮球，有66个同学来仓库拿球，要求每个人至少拿一个，
最多拿两 个球，问至少有多少名同学所拿的球的种类是完全一样的？


【巩固】 幼儿园买 来很多玩具小汽车、小火车、小飞机，每个小朋友任意选择两件不同的，那么至少要
有几个小朋友才能保 证有两人选的玩具是相同的？


【例 2】 红、蓝两种颜色将一个
2 5
方格图中的小方格随意涂色（见下图），每个小方格涂一种颜色．是
五年级.第8讲.抽屉原 理（二） 教师版 page 1 of 8

否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？
第
第第
第第
四
三五
一二
列
列列
列 列
第一行
第二行


8
、
50
这
25
个偶数中至少任意取出多少个数，【例 3】 从
2
、
4
、
6
、才能保证有
2
个数 的和是
52
？

、



【巩固】 证明：在从1开始的前10个奇数中任取6个，一定有2个数的和是20.



【巩固】 从1，4，7，10，„，37，40这14个数中任取8个数，试证：其中至少有2个数的和是41.




【巩固】 从2、4、6、„、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个数之和是34．



【例 4】 从1，2，3，4，„，1994这些自然数中，最多可以取 个数，能使这些数中任意两个数的差
都不等于9．


【巩固】 从1、2 、3、4、„、19、20这20个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一定包括两
个数，它们 的差是12．


【巩固】 从1，2，3，4，„，1988，1989这些自然 数中，最多可以取____个数，其中每两个数的差不等
于4．



【例 5】 从
1
、
2
、
3
、
4
、
5
、
6
、
7
、
8
、
9
、
10
、
11
和
12
中至多选出 个数，使得在选出
的数中，每一个数都不是另一个数的
2
倍．



【巩固】 从1到20这20个数中，任取11个不同的数，必有两个数其中一个是另一个数的倍数．


【巩固】 从1，3，5，7，„，97，99中最多可以选出多少个数，使得选出的数中，每一个数都 不是另一
个数的倍数?

五年级.第8讲.抽屉原理（二） 教师版 page 2 of 8

【巩固】 从整数1、2、3、„、199、200中任选101 个数，求证在选出的这些自然数中至少有两个数，
其中的一个是另一个的倍数.



【例 6】 从1，2，3，„„49，50这50个数中取出若干个数，使其中任意两个数 的和都不能被7整除，
则最多能取出多少个数？



【例 7】 从1，2，3，„，99，100这100个数中任意选出51个数．证明：(1)在这51个数中，一定有两个数互质；(2)在这51个数中，一定有两个数的差等于50；(3)在这51个数中，一定存在9个数，它们的最大公约数大于1．


【例 8】 有49个小孩，每人胸前有 一个号码，号码从1到49各不相同．现在请你挑选若干个小孩，排
成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的 号码数的乘积小于100，那么你最多能挑选出多少个孩子?


【例 9】 要把 61个乒乓球分装在若干个乒乓球盒中，每个盒子最多可以装5个乒乓球，问：至少有多少
个盒子中的乒 乓球数目相同？


【例 10】 有苹果和桔子若干个，任意分成
5堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子的总数都是偶
数？


【例 11】 在长度是
10
厘米的线段上任意取
11
个点，是否至 少有两个点，它们之间的距离不大于
1
厘米？



【巩固】 在
1
米长的直尺上任意点五个点，请你说明这五个点中至少有两个点的距离 不大于
25
厘米．



【巩固】 在
20米长的水泥阳台上放
12
盆花，随便怎样摆放，请说明至少有两盆花它们之间的距离小于< br>2
米．



【例 12】 在边长为3的正三角形内，任意放入10个点，求证：必有两个点的距离不大于1．
五年级.第8讲.抽屉原理（二） 教师版 page 3 of 8

【巩固】 在边长为3米的 正方形中，任意放入28个点，求证：必定有四个点，以它们为顶点的四边形的
面积不超过1平方米．



【巩固】 在一个矩形内任意放五点，其中任意三点不在一条直线上。 证明：在以这五点为顶点的三角形
中，至少有一个的面积小于矩形面积的四分之一。

【例 13】 在一个直径为
2
厘米的圆内放入七个点，请证明一定有两个点的距离不 大于
1
厘米

【巩固】 平面上给定17个点，如果任意三个点中总有两个 点之间的距离小于1，证明：在这17个点中必
有9个点可以落在同一半径为1的圆内。
O
1
O
2

【例 14】 9条直线的每一条都把一个正方形分成两个梯形，而且它们的面积之比为2∶3。证明：这9 条
直线中至少有3 条通过同一个点。
A
N
H
D

E
P
Q
F
B
G
M
C


【例 15】 如图，能否在
8
行
8
列的方格表的每一个空格中分别 填上
1
，
2
，
3
这三个数，使得各行各列及
对角线 上
8
个数的和互不相同？并说明理由．

五年级.第8讲.抽屉原理（二） 教师版 page 4 of 8

【巩固】 能否在10行10列的方格表的每个空格中 分别填上1，2，3这三个数之一，使得大正方形的每
行、每列及对角线上的10个数字之和互不相同？ 对你的结论加以说明．


【例 16】 （南京市第三届“兴趣杯”少年数学邀请赛决赛C卷第12题）如下图① ，
A
、
B< br>、
C
、
D
四
只小盘拼成一个环形，每只小盘中放若干糖果，每 次可取出1只、或3只、或4只盘中的全部
糖果，也可取出2只相邻盘中的全部糖果.要使1至13粒糖 果全能取到，四只盘中应各有
粒糖果.把各只盘中糖果的粒数填在下图②中.
A
B
D
C

图① 图②
【巩固】 如右图
A
、
B
、
C
、
D
四只小盘拼成一个环形，每只小盘中放若干糖果.每次可取出1只、或3
只、或4只盘中的全部糖果， 也可取出2只相邻盘中的全部糖果.这样取出的糖果数最多有几种？
请说明理由.
A
B
D
C


【例 17】 如右图，分别标有数 字
1,2,,8
的滚珠两组，放在内外两个圆环上，开始时相对的滚珠所标的数
字都 不相同．当两个圆环按不同方向转动时，必有某一时刻，内外两环中至少有两对数字相同
的滚珠相对．
五年级.第8讲.抽屉原理（二） 教师版 page 5 of 8

【巩固】 8位小朋友围着 一张圆桌坐下，在每位小朋友面前都放着一张纸条，上面分别写着这8位小朋友
的名字．开始时，每位小 朋友发现自己面前所对的纸条上写的都不是自己的名字，请证明：经
过适当转动圆桌，一定能使至少两位 小朋友恰好对准自己的名字．


【例 18】 时钟的表盘上按标准的方式标着1 ，2，3，„，11，12这12个数，在其上任意做
n
个120°的
扇形，每一个都 恰好覆盖4个数，每两个覆盖的数不全相同．如果从这任做的
n
个扇形中总能
恰好取出 3个覆盖整个钟面的全部12个数，求
n
的最小值．
11
10
9
8
7
6
5
12
1
2
3
4

【巩固】 (2009年清华附中入学测试题)如图，在时钟的表盘上任意作
9
个< br>120°
的扇形，使得每一个扇形
都恰好覆盖
4
个数，且每两个扇形覆 盖的数不全相同，求证：一定可以找到
3
个扇形，恰好覆盖
整个表盘上的数．并举一个 反例说明，作
8
个扇形将不能保证上述结论成立．
11
10
98
7
6
5
12
1
2
3
4


练习1. 篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有若干个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿 两个水果，那
么至少有多少个小朋友才能保证有两个小朋友拿的水果是相同的？



练习2. 将每一个小方格涂上红色、黄色或蓝色．（每一列的三小格涂的颜色不相同），不 论如何涂色，其
中至少有两列，它们的涂色方式相同，你同意吗？

五年级.第8讲.抽屉原理（二） 教师版 page 6 of 8

练习3. 从
1
，
2< br>，
3
，

，
100
这
100
个数中 任意挑出
51
个数来，证明在这
51
个数中，一定有两个数
的差为< br>50
。



练习4. 从1至36个数中，最多可以取出___个数，使得这些数种没有两数的差是5的倍数．


练习5. 在
20
米长的水泥阳台上放
11
盆花，随便怎样摆放，至 少有几盆花之间的距离不超过
2
米．


练习6. 用数字1，2 ，3，4，5，6填满一个
66
的方格表，如右图所示，每个小方格只填其中一个数字，将每个
22
正方格内的四个数字的和称为这个
22
正方格的“标示数 ”．问：能否给出一种填
法，使得任意两个“标示数”均不相同？如果能，请举出一例；如果不能，请说 明理由．


练习7. 将400本书随意分给若干同学，但是每个人不许超过11 本，问：至少有多少个同学分到的书的
本数相同？



练习8. 边长为1的等边三角形内有5个点，那么这5个点中一定有距离小于0.5的两点.




【备选1】学校里买来数学、英语两类课外读物若干本，规定每位同学可以借阅其 中两本，现有
4
位小朋
友前来借阅，每人都借了
2
本．请问，你能保 证，他们之中至少有两人借阅的图书属于同一种吗？



【备选2】请证 明：在1，4，7，10，„，100中任选20个数，其中至少有不同的两组数其和都等于104.


【备选3】试说明在一条长100米的小路一旁植树101棵，不管怎样种，总有两棵树的距 离不超过1米．


【备选4】在边长为
1
的正方形内任意放入 九个点，求证：存在三个点，以这三个点为顶点的三角形的面
积不超过
0.125


五年级.第8讲.抽屉原理（二） 教师版 page 7 of 8

【备选5】在
88
的方格纸中，每 个方格纸内可以填上
14
四个自然数中的任意一个，填满后对每个
22
“ 田”
字形内的四个数字求和，在这些和中，相同的和至少有几个？


五年级.第8讲.抽屉原理（二） 教师版 page 8 of 8